Theorem ismhmd 18928

Description: Deduction version of ismhm 18927. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ismhmd.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
ismhmd.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
ismhmd.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
ismhmd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ismhmd.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
ismhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
ismhmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
ismhmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
ismhmd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ismhmd.h	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ismhmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   + (𝑥, 𝑦)   ⨣ (𝑥, 𝑦)   0 (𝑥, 𝑦)   𝑍(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ismhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
2		ismhmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
3		ismhmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
4		ismhmd.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6		ismhmd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)
7	3, 5, 6	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑍))
8		ismhmd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9		ismhmd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
10		ismhmd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
11		ismhmd.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
12		ismhmd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
13		ismhmd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	ismhm 18927	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)))
15	1, 2, 7, 14	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  0_gc0g 17557  Mndcmnd 18870   MndHom cmhm 18923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8828  df-mhm 18925

This theorem is used by:  pwspjmhmmgpd  20504  imasmhm  33834  mplvrpmmhm  34097  mhphflem  43540