Theorem ismhmd 18799

Description: Deduction version of ismhm 18798. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ismhmd.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
ismhmd.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
ismhmd.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
ismhmd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ismhmd.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
ismhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
ismhmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
ismhmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
ismhmd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ismhmd.h	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ismhmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   ⨣ (𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
2		ismhmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
3		ismhmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
4		ismhmd.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 3202	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6		ismhmd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)
7	3, 5, 6	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑍))
8		ismhmd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9		ismhmd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
10		ismhmd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
11		ismhmd.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
12		ismhmd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
13		ismhmd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	ismhm 18798	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)))
15	1, 2, 7, 14	syl21anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-mhm 18796

This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20325  imasmhm  33382  mhphflem  42606