Theorem ismhmd 40164

Description: Deduction version of ismhm 18347. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ismhmd.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
ismhmd.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
ismhmd.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
ismhmd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ismhmd.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
ismhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
ismhmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
ismhmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
ismhmd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ismhmd.h	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ismhmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   ⨣ (𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
2		ismhmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
3		ismhmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
4		ismhmd.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 3114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6		ismhmd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)
7	3, 5, 6	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑍))
8		ismhmd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9		ismhmd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
10		ismhmd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
11		ismhmd.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
12		ismhmd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
13		ismhmd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	ismhm 18347	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)))
15	1, 2, 7, 14	syl21anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300   MndHom cmhm 18343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-mhm 18345

This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  40192  mhphflem  40207