MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismhmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismhmd 18743
Description: Deduction version of ismhm 18742. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ismhmd.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
ismhmd.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
ismhmd.p + = (+g𝑆)
ismhmd.q = (+g𝑇)
ismhmd.0 0 = (0g𝑆)
ismhmd.z 𝑍 = (0g𝑇)
ismhmd.s (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
ismhmd.t (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
ismhmd.f (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
ismhmd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ismhmd.h (𝜑 → (𝐹0 ) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ismhmd (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismhmd
StepHypRef Expression
1 ismhmd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
2 ismhmd.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
3 ismhmd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
4 ismhmd.a . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
54ralrimivva 3197 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
6 ismhmd.h . . 3 (𝜑 → (𝐹0 ) = 𝑍)
73, 5, 63jca 1126 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹0 ) = 𝑍))
8 ismhmd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
9 ismhmd.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
10 ismhmd.p . . 3 + = (+g𝑆)
11 ismhmd.q . . 3 = (+g𝑇)
12 ismhmd.0 . . 3 0 = (0g𝑆)
13 ismhmd.z . . 3 𝑍 = (0g𝑇)
148, 9, 10, 11, 12, 13ismhm 18742 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹0 ) = 𝑍)))
151, 2, 7, 14syl21anbrc 1342 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  0gc0g 17421  Mndcmnd 18694   MndHom cmhm 18738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-mhm 18740
This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20264  imasmhm  33079  mhphflem  41829
  Copyright terms: Public domain W3C validator