Theorem ismhmd 39784

Description: Deduction version of ismhm 18038. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ismhmd.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
ismhmd.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
ismhmd.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
ismhmd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ismhmd.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
ismhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
ismhmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
ismhmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
ismhmd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ismhmd.h	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ismhmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   ⨣ (𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
2		ismhmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
3		ismhmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
4		ismhmd.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 3120	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6		ismhmd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)
7	3, 5, 6	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑍))
8		ismhmd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9		ismhmd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
10		ismhmd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
11		ismhmd.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
12		ismhmd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
13		ismhmd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	ismhm 18038	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑍)))
15	1, 2, 7, 14	syl21anbrc 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16555  +_gcplusg 16637  0_gc0g 16785  Mndcmnd 17991   MndHom cmhm 18034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8424  df-mhm 18036

This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  39813  mhphflem  39828