MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resmhm2 18744
Description: One direction of resmhm2b 18745. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm2.u π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resmhm2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Proof of Theorem resmhm2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl1 18715 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
2 submrcl 18725 . . 3 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2anim12i 612 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
4 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
64, 5mhmf 18717 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
7 resmhm2.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
87submbas 18737 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
9 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
109submss 18732 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
118, 10eqsstrrd 4016 . . . 4 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
12 fss 6727 . . . 4 ((𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
136, 11, 12syl2an 595 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
14 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
15 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
164, 14, 15mhmlin 18721 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
17163expb 1117 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
1817adantlr 712 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
19 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘‡)
207, 19ressplusg 17242 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘ˆ))
2120ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘ˆ))
2221oveqd 7421 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
2318, 22eqtr4d 2769 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2423ralrimivva 3194 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
25 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
26 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
2725, 26mhm0 18722 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2827adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘ˆ))
29 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
307, 29subm0 18738 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘ˆ))
3130adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘ˆ))
3228, 31eqtr4d 2769 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
3313, 24, 323jca 1125 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡)))
344, 9, 14, 19, 25, 29ismhm 18713 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))))
353, 33, 34sylanbrc 582 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Mndcmnd 18665   MndHom cmhm 18709  SubMndcsubmnd 18710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712
This theorem is referenced by:  resmhm2b  18745  resghm2  19156  zrhpsgnmhm  21473  lgseisenlem4  27262
  Copyright terms: Public domain W3C validator