MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resmhm2 18701
Description: One direction of resmhm2b 18702. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm2.u π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resmhm2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Proof of Theorem resmhm2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl1 18674 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
2 submrcl 18682 . . 3 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2anim12i 613 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
4 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
64, 5mhmf 18676 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
7 resmhm2.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
87submbas 18694 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
9 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
109submss 18689 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
118, 10eqsstrrd 4021 . . . 4 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
12 fss 6734 . . . 4 ((𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
136, 11, 12syl2an 596 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
14 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
164, 14, 15mhmlin 18678 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
17163expb 1120 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
1817adantlr 713 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
19 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘‡)
207, 19ressplusg 17234 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘ˆ))
2120ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘ˆ))
2221oveqd 7425 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
2318, 22eqtr4d 2775 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2423ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
25 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
26 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
2725, 26mhm0 18679 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2827adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘ˆ))
29 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
307, 29subm0 18695 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘ˆ))
3130adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘ˆ))
3228, 31eqtr4d 2775 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
3313, 24, 323jca 1128 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡)))
344, 9, 14, 19, 25, 29ismhm 18672 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))))
353, 33, 34sylanbrc 583 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  0gc0g 17384  Mndcmnd 18624   MndHom cmhm 18668  SubMndcsubmnd 18669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671
This theorem is referenced by:  resmhm2b  18702  resghm2  19108  zrhpsgnmhm  21136  lgseisenlem4  26878
  Copyright terms: Public domain W3C validator