Theorem resmhm2 18729

Description: One direction of resmhm2b 18730. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Proof of Theorem resmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl1 18695	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mnd)
2		submrcl 18710	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6	4, 5	mhmf 18697	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
7		resmhm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
8	7	submbas 18722	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
10	9	submss 18717	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
11	8, 10	eqsstrrd 3965	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
12		fss 6667	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
13	6, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
15		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
16	4, 14, 15	mhmlin 18701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
17	16	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
18	17	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
19		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
20	7, 19	ressplusg 17195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
21	20	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
22	21	oveqd 7363	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
23	18, 22	eqtr4d 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
24	23	ralrimivva 3175	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
25		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
26		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
27	25, 26	mhm0 18702	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑈))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑈))
29		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
30	7, 29	subm0 18723	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑈))
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑈))
32	28, 31	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
33	13, 24, 32	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
34	4, 9, 14, 19, 25, 29	ismhm 18693	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
35	3, 33, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642   MndHom cmhm 18689  SubMndcsubmnd 18690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692

This theorem is referenced by:  resmhm2b  18730  resghm2  19145  zrhpsgnmhm  21521  lgseisenlem4  27316