Theorem resmhm2 18375

Description: One direction of resmhm2b 18376. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Proof of Theorem resmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl1 18348	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mnd)
2		submrcl 18356	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	anim12i 612	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6	4, 5	mhmf 18350	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
7		resmhm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
8	7	submbas 18368	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
10	9	submss 18363	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
11	8, 10	eqsstrrd 3956	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
12		fss 6601	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
13	6, 11, 12	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
16	4, 14, 15	mhmlin 18352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
17	16	3expb 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
18	17	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
19		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
20	7, 19	ressplusg 16926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
21	20	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
22	21	oveqd 7272	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
23	18, 22	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
24	23	ralrimivva 3114	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
26		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
27	25, 26	mhm0 18353	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑈))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑈))
29		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
30	7, 29	subm0 18369	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑈))
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑈))
32	28, 31	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
33	13, 24, 32	3jca 1126	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
34	4, 9, 14, 19, 25, 29	ismhm 18347	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
35	3, 33, 34	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300   MndHom cmhm 18343  SubMndcsubmnd 18344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346

This theorem is referenced by:  resmhm2b  18376  resghm2  18766  zrhpsgnmhm  20701  lgseisenlem4  26431