MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resmhm2 18778
Description: One direction of resmhm2b 18779. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm2.u π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resmhm2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Proof of Theorem resmhm2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl1 18749 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
2 submrcl 18759 . . 3 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2anim12i 611 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
4 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
64, 5mhmf 18751 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
7 resmhm2.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
87submbas 18771 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
9 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
109submss 18766 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
118, 10eqsstrrd 4019 . . . 4 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
12 fss 6742 . . . 4 ((𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
136, 11, 12syl2an 594 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
14 eqid 2727 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
15 eqid 2727 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
164, 14, 15mhmlin 18755 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
17163expb 1117 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
1817adantlr 713 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
19 eqid 2727 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘‡)
207, 19ressplusg 17276 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘ˆ))
2120ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘ˆ))
2221oveqd 7441 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
2318, 22eqtr4d 2770 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2423ralrimivva 3196 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
25 eqid 2727 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
26 eqid 2727 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
2725, 26mhm0 18756 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2827adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘ˆ))
29 eqid 2727 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
307, 29subm0 18772 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) β†’ (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘ˆ))
3130adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘ˆ))
3228, 31eqtr4d 2770 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
3313, 24, 323jca 1125 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡)))
344, 9, 14, 19, 25, 29ismhm 18747 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))))
353, 33, 34sylanbrc 581 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057   βŠ† wss 3947  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185   β†Ύs cress 17214  +gcplusg 17238  0gc0g 17426  Mndcmnd 18699   MndHom cmhm 18743  SubMndcsubmnd 18744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746
This theorem is referenced by:  resmhm2b  18779  resghm2  19192  zrhpsgnmhm  21521  lgseisenlem4  27329
  Copyright terms: Public domain W3C validator