Theorem resmhm2 18460

Description: One direction of resmhm2b 18461. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Proof of Theorem resmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl1 18433	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mnd)
2		submrcl 18441	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6	4, 5	mhmf 18435	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
7		resmhm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
8	7	submbas 18453	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
10	9	submss 18448	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
11	8, 10	eqsstrrd 3960	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
12		fss 6617	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
13	6, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
16	4, 14, 15	mhmlin 18437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
17	16	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
18	17	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
19		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
20	7, 19	ressplusg 17000	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
21	20	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
22	21	oveqd 7292	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
23	18, 22	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
24	23	ralrimivva 3123	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
26		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
27	25, 26	mhm0 18438	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑈))
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑈))
29		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
30	7, 29	subm0 18454	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑈))
31	30	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑈))
32	28, 31	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
33	13, 24, 32	3jca 1127	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
34	4, 9, 14, 19, 25, 29	ismhm 18432	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
35	3, 33, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Mndcmnd 18385   MndHom cmhm 18428  SubMndcsubmnd 18429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431

This theorem is referenced by:  resmhm2b  18461  resghm2  18851  zrhpsgnmhm  20789  lgseisenlem4  26526