Theorem resmhm2 18881

Description: One direction of resmhm2b 18882. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Proof of Theorem resmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl1 18846	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mnd)
2		submrcl 18861	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	anim12i 624	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6	4, 5	mhmf 18848	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
7		resmhm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
8	7	submbas 18874	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
10	9	submss 18868	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
11	8, 10	eqsstrrd 3973	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
12		fss 6724	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
13	6, 11, 12	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
16	4, 14, 15	mhmlin 18852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
17	16	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
18	17	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
19		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
20	7, 19	ressplusg 17345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
21	20	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
22	21	oveqd 7429	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
23	18, 22	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
24	23	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
26		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
27	25, 26	mhm0 18853	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑈))
28	27	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑈))
29		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
30	7, 29	subm0 18875	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑈))
31	30	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑈))
32	28, 31	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
33	13, 24, 32	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
34	4, 9, 14, 19, 25, 29	ismhm 18844	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
35	3, 33, 34	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3906  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793   MndHom cmhm 18840  SubMndcsubmnd 18841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843

This theorem is referenced by:  resmhm2b  18882  resghm2  19304  zrhpsgnmhm  21715  lgseisenlem4  27523