MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmvlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmvlin 21746
Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmvlin.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mhmvlin.p + = (+g𝑀)
mhmvlin.q = (+g𝑁)
Assertion
Ref Expression
mhmvlin ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋f + 𝑌)) = ((𝐹𝑋) ∘f (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem mhmvlin
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
2 elmapi 8787 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
323ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
43ffvelcdmda 7035 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ 𝐵)
5 elmapi 8787 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
653ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
76ffvelcdmda 7035 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑌𝑦) ∈ 𝐵)
8 mhmvlin.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
9 mhmvlin.p . . . . 5 + = (+g𝑀)
10 mhmvlin.q . . . . 5 = (+g𝑁)
118, 9, 10mhmlin 18609 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑋𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦))))
121, 4, 7, 11syl3anc 1371 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦))))
1312mpteq2dva 5205 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)))) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦)))))
14 mhmrcl1 18605 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
16153ad2antl1 1185 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
178, 9mndcl 18564 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) ∈ 𝐵)
1816, 4, 7, 17syl3anc 1371 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) ∈ 𝐵)
19 elmapex 8786 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2019simprd 496 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21203ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
223feqmptd 6910 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
236feqmptd 6910 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑌 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑌𝑦)))
2421, 4, 7, 22, 23offval2 7637 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))))
25 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
268, 25mhmf 18607 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
27263ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
2827feqmptd 6910 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐹 = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
29 fveq2 6842 . . 3 (𝑧 = ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))))
3018, 24, 28, 29fmptco 7075 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋f + 𝑌)) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)))))
31 fvexd 6857 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘(𝑋𝑦)) ∈ V)
32 fvexd 6857 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘(𝑌𝑦)) ∈ V)
33 fcompt 7079 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑋:𝐼𝐵) → (𝐹𝑋) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑦))))
3427, 3, 33syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝐹𝑋) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑦))))
35 fcompt 7079 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑌:𝐼𝐵) → (𝐹𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑦))))
3627, 6, 35syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝐹𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑦))))
3721, 31, 32, 34, 36offval2 7637 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝐹𝑋) ∘f (𝐹𝑌)) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦)))))
3813, 30, 373eqtr4d 2786 1 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋f + 𝑌)) = ((𝐹𝑋) ∘f (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cmpt 5188  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601
This theorem is referenced by:  mhmcoaddmpl  40727  mendring  41505
  Copyright terms: Public domain W3C validator