Theorem mhmvlin 18769

Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmvlin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mhmvlin.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
mhmvlin.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mhmvlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)))

Proof of Theorem mhmvlin

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
2		elmapi 8796	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		elmapi 8796	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
6	5	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵)
8		mhmvlin.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9		mhmvlin.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
10		mhmvlin.q	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑁)
11	8, 9, 10	mhmlin 18761	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
12	1, 4, 7, 11	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
13	12	mpteq2dva 5178	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦)))))
14		mhmrcl1 18755	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
16	15	3ad2antl1 1187	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
17	8, 9	mndcl 18710	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
18	16, 4, 7, 17	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
19		elmapex 8795	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
20	19	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21	20	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
22	3	feqmptd 6908	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
23	6	feqmptd 6908	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
24	21, 4, 7, 22, 23	offval2 7651	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))))
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
26	8, 25	mhmf 18757	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
27	26	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
28	27	feqmptd 6908	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧)))
29		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))))
30	18, 24, 28, 29	fmptco 7082	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)))))
31		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ∈ V)
32		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(𝑌‘𝑦)) ∈ V)
33		fcompt 7086	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑦))))
34	27, 3, 33	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑦))))
35		fcompt 7086	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑌:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
36	27, 6, 35	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
37	21, 31, 32, 34, 36	offval2 7651	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦)))))
38	13, 30, 37	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ↑_m cmap 8773  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mndcmnd 18702   MndHom cmhm 18749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-map 8775  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751

This theorem is referenced by:  mhmcoaddmpl  22346  mhmcoaddpsr  42993  mendring  43616