Theorem mhmvlin 18976

Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmvlin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mhmvlin.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
mhmvlin.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mhmvlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)))

Proof of Theorem mhmvlin

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
2		elmapi 8853	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7076	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		elmapi 8853	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7076	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵)
8		mhmvlin.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9		mhmvlin.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
10		mhmvlin.q	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑁)
11	8, 9, 10	mhmlin 18968	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
12	1, 4, 7, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
13	12	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦)))))
14		mhmrcl1 18962	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
16	15	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
17	8, 9	mndcl 18911	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
18	16, 4, 7, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
19		elmapex 8852	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
20	19	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21	20	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
22	3	feqmptd 6945	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
23	6	feqmptd 6945	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
24	21, 4, 7, 22, 23	offval2 7702	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))))
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
26	8, 25	mhmf 18964	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
27	26	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
28	27	feqmptd 6945	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧)))
29		fveq2 6877	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))))
30	18, 24, 28, 29	fmptco 7122	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)))))
31		fvexd 6892	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ∈ V)
32		fvexd 6892	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(𝑌‘𝑦)) ∈ V)
33		fcompt 7126	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑦))))
34	27, 3, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑦))))
35		fcompt 7126	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑌:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
36	27, 6, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
37	21, 31, 32, 34, 36	offval2 7702	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦)))))
38	13, 30, 37	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680   ↑_m cmap 8831  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Mndcmnd 18903   MndHom cmhm 18956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8833  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958

This theorem is used by:  mhmcoaddmpl  22412  mhmcoaddpsr  43571  mendring  44148