Theorem mhmvlin 18860

Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmvlin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mhmvlin.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
mhmvlin.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mhmvlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)))

Proof of Theorem mhmvlin

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
2		elmapi 8847	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7081	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		elmapi 8847	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7081	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵)
8		mhmvlin.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9		mhmvlin.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
10		mhmvlin.q	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑁)
11	8, 9, 10	mhmlin 18852	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
12	1, 4, 7, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
13	12	mpteq2dva 5205	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦)))))
14		mhmrcl1 18846	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
16	15	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
17	8, 9	mndcl 18801	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
18	16, 4, 7, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
19		elmapex 8846	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
20	19	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21	20	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
22	3	feqmptd 6951	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
23	6	feqmptd 6951	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
24	21, 4, 7, 22, 23	offval2 7696	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))))
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
26	8, 25	mhmf 18848	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
27	26	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
28	27	feqmptd 6951	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧)))
29		fveq2 6883	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))))
30	18, 24, 28, 29	fmptco 7127	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)))))
31		fvexd 6898	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ∈ V)
32		fvexd 6898	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(𝑌‘𝑦)) ∈ V)
33		fcompt 7131	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑦))))
34	27, 3, 33	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑦))))
35		fcompt 7131	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑌:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
36	27, 6, 35	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
37	21, 31, 32, 34, 36	offval2 7696	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦)))))
38	13, 30, 37	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8825  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Mndcmnd 18793   MndHom cmhm 18840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842

This theorem is referenced by:  mhmcoaddmpl  22255  mhmcoaddpsr  43296  mendring  43898