Theorem mhmvlin 18726

Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmvlin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mhmvlin.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
mhmvlin.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mhmvlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)))

Proof of Theorem mhmvlin

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
2		elmapi 8786	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		elmapi 8786	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
6	5	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵)
8		mhmvlin.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9		mhmvlin.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
10		mhmvlin.q	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑁)
11	8, 9, 10	mhmlin 18718	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
12	1, 4, 7, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
13	12	mpteq2dva 5191	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦)))))
14		mhmrcl1 18712	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
16	15	3ad2antl1 1186	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
17	8, 9	mndcl 18667	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
18	16, 4, 7, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
19		elmapex 8785	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
20	19	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21	20	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
22	3	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
23	6	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
24	21, 4, 7, 22, 23	offval2 7642	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))))
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
26	8, 25	mhmf 18714	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
27	26	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
28	27	feqmptd 6902	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑧)))
29		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦))))
30	18, 24, 28, 29	fmptco 7074	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋‘𝑦) + (𝑌‘𝑦)))))
31		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ∈ V)
32		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(𝑌‘𝑦)) ∈ V)
33		fcompt 7078	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑦))))
34	27, 3, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑦))))
35		fcompt 7078	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑌:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
36	27, 6, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑦))))
37	21, 31, 32, 34, 36	offval2 7642	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋‘𝑦)) ⨣ (𝐹‘(𝑌‘𝑦)))))
38	13, 30, 37	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋 ∘f + 𝑌)) = ((𝐹 ∘ 𝑋) ∘f ⨣ (𝐹 ∘ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8763  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708

This theorem is referenced by:  mhmcoaddmpl  22325  mhmcoaddpsr  42799  mendring  43426