Theorem mhmimasplusg 33478

Description: Value of the operation of the surjective image. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmimasplusg.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
mhmimasplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
mhmimasplusg.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
mhmimasplusg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
mhmimasplusg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
mhmimasplusg.2	⊢ + = (+g‘𝑉)
mhmimasplusg.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mhmimasplusg	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem mhmimasplusg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmimasplusg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mhmimasplusg.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		mhmimasplusg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
4		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝))
5		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
6	4, 5	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
7		mhmimasplusg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
10		simpl2l 1245	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		simpl2r 1246	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
12		mhmimasplusg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
13		mhmimasplusg.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑉)
14		mhmimasplusg.3	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
15	12, 13, 14	mhmlin 18902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
16	9, 10, 11, 15	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
17		simpl3l 1247	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐵)
18		simpl3r 1248	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19	12, 13, 14	mhmlin 18902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
20	9, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)))
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
23		mhmimasplusg.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
25	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
26		mhmrcl1 18896	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) → 𝑉 ∈ Mnd)
27	7, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
28	3, 22, 24, 25, 27, 13, 14	imasaddval 17619	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))
29	1, 2, 28	mpd3an23 1492	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  –onto→wfo 6531  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343   “_s cimas 17591  Mndcmnd 18837   MndHom cmhm 18890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-imas 17595  df-mhm 18892

This theorem is used by:  algextdeglem8  34235