Theorem mhmimasplusg 33421

Description: Value of the operation of the surjective image. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmimasplusg.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
mhmimasplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
mhmimasplusg.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
mhmimasplusg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
mhmimasplusg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
mhmimasplusg.2	⊢ + = (+g‘𝑉)
mhmimasplusg.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mhmimasplusg	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem mhmimasplusg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmimasplusg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mhmimasplusg.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		mhmimasplusg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
4		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝))
5		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
6	4, 5	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
7		mhmimasplusg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
10		simpl2l 1245	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		simpl2r 1246	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
12		mhmimasplusg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
13		mhmimasplusg.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑉)
14		mhmimasplusg.3	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
15	12, 13, 14	mhmlin 18888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
16	9, 10, 11, 15	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
17		simpl3l 1247	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐵)
18		simpl3r 1248	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19	12, 13, 14	mhmlin 18888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
20	9, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)))
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
23		mhmimasplusg.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
25	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
26		mhmrcl1 18882	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) → 𝑉 ∈ Mnd)
27	7, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
28	3, 22, 24, 25, 27, 13, 14	imasaddval 17608	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))
29	1, 2, 28	mpd3an23 1492	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332   “_s cimas 17580  Mndcmnd 18824   MndHom cmhm 18876

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-imas 17584  df-mhm 18878

This theorem is used by:  algextdeglem8  34178