Theorem mhmimasplusg 33120

Description: Value of the operation of the surjective image. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmimasplusg.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
mhmimasplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
mhmimasplusg.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
mhmimasplusg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
mhmimasplusg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
mhmimasplusg.2	⊢ + = (+g‘𝑉)
mhmimasplusg.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mhmimasplusg	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem mhmimasplusg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmimasplusg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mhmimasplusg.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		mhmimasplusg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
4		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝))
5		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
6	4, 5	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
7		mhmimasplusg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
10		simpl2l 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		simpl2r 1228	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
12		mhmimasplusg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
13		mhmimasplusg.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑉)
14		mhmimasplusg.3	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
15	12, 13, 14	mhmlin 18718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
16	9, 10, 11, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
17		simpl3l 1229	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐵)
18		simpl3r 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19	12, 13, 14	mhmlin 18718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
20	9, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
23		mhmimasplusg.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
25	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
26		mhmrcl1 18712	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) → 𝑉 ∈ Mnd)
27	7, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
28	3, 22, 24, 25, 27, 13, 14	imasaddval 17453	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))
29	1, 2, 28	mpd3an23 1465	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177   “_s cimas 17425  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-imas 17429  df-mhm 18708

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33881