Theorem mhmimasplusg 33048

Description: Value of the operation of the surjective image. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmimasplusg.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
mhmimasplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
mhmimasplusg.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
mhmimasplusg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
mhmimasplusg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
mhmimasplusg.2	⊢ + = (+g‘𝑉)
mhmimasplusg.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mhmimasplusg	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem mhmimasplusg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmimasplusg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mhmimasplusg.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		mhmimasplusg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
4		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝))
5		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
6	4, 5	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
7		mhmimasplusg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
10		simpl2l 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		simpl2r 1228	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
12		mhmimasplusg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
13		mhmimasplusg.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑉)
14		mhmimasplusg.3	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
15	12, 13, 14	mhmlin 18709	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
16	9, 10, 11, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
17		simpl3l 1229	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐵)
18		simpl3r 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19	12, 13, 14	mhmlin 18709	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
20	9, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
23		mhmimasplusg.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
25	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
26		mhmrcl1 18703	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) → 𝑉 ∈ Mnd)
27	7, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
28	3, 22, 24, 25, 27, 13, 14	imasaddval 17444	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))
29	1, 2, 28	mpd3an23 1465	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  –onto→wfo 6487  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168   “_s cimas 17416  Mndcmnd 18650   MndHom cmhm 18697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-imas 17420  df-mhm 18699

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33809