Theorem mhmimasplusg 32987

Description: Value of the operation of the surjective image. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmimasplusg.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
mhmimasplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
mhmimasplusg.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
mhmimasplusg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mhmimasplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
mhmimasplusg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
mhmimasplusg.2	⊢ + = (+g‘𝑉)
mhmimasplusg.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mhmimasplusg	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem mhmimasplusg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmimasplusg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mhmimasplusg.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		mhmimasplusg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
4		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝))
5		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
6	4, 5	oveq12d 7412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
7		mhmimasplusg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊))
10		simpl2l 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		simpl2r 1228	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
12		mhmimasplusg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
13		mhmimasplusg.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑉)
14		mhmimasplusg.3	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
15	12, 13, 14	mhmlin 18726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
16	9, 10, 11, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
17		simpl3l 1229	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐵)
18		simpl3r 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19	12, 13, 14	mhmlin 18726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
20	9, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)) = ((𝐹‘𝑝) ⨣ (𝐹‘𝑞)))
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞)))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
23		mhmimasplusg.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
25	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
26		mhmrcl1 18720	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 MndHom 𝑊) → 𝑉 ∈ Mnd)
27	7, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
28	3, 22, 24, 25, 27, 13, 14	imasaddval 17501	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))
29	1, 2, 28	mpd3an23 1465	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  –onto→wfo 6517  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226   “_s cimas 17473  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9411  df-inf 9412  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-fz 13482  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-imas 17477  df-mhm 18716

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33722