Theorem mhmcompl 22241

Description: The composition of a monoid homomorphism and a polynomial is a polynomial. (Contributed by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcompl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhmcompl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mhmcompl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcompl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcompl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcompl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcompl	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mhmcompl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		ovexd 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
4	2, 3	rabexd 5311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
5		mhmcompl.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
6		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	6, 7	mhmf 18847	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
9	5, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
10		mhmcompl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
11		mhmcompl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		mhmcompl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	10, 6, 11, 2, 12	mplelf 22116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14	9, 13	fcod 6732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
15	1, 4, 14	elmapdd 8838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
17		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
18	10, 11	mplrcl 22112	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
19	12, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	16, 7, 2, 17, 19	psrbas 22053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
21	15, 20	eleqtrrd 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
22		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
23		mhmrcl1 18845	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Mnd)
24	5, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
25		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	6, 25	mndidcl 18807	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	24, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28		ssidd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
29		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
30	10, 11, 25, 12	mplelsfi 22113	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
31		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
32	25, 31	mhm0 18852	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
33	5, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
34	22, 27, 13, 9, 28, 4, 29, 30, 33	fsuppcor 9364	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆))
35		mhmcompl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
36		mhmcompl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
37	35, 16, 17, 31, 36	mplelbas 22109	. 2 ⊢ ((𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (𝐻 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆)))
38	21, 34, 37	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463   class class class wbr 5113  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9321  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  Mndcmnd 18792   MndHom cmhm 18839   mPwSer cmps 22023   mPoly cmpl 22025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-tset 17329  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-psr 22028  df-mpl 22030

This theorem is referenced by:  mhmcoaddmpl  22243  rhmcomulmpl  22244  selvcllem4  22258  selvvvval  22262  selvadd  22263  selvmul  22264  rhmmpl  22509  mhmcoply1  22511