Theorem mhmcompl 41575

Description: The composition of a monoid homomorphism and a polynomial is a polynomial. (Contributed by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcompl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhmcompl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mhmcompl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcompl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcompl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhmcompl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcompl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcompl	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mhmcompl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
2		ovex 7434	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	2	rabex 5322	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
5		mhmcompl.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
6		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	6, 7	mhmf 18706	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
10		mhmcompl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
11		mhmcompl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13		mhmcompl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 6, 11, 12, 13	mplelf 21858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	9, 14	fcod 6733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
16	1, 4, 15	elmapdd 8830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
17		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
18		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
19		mhmcompl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20	17, 7, 12, 18, 19	psrbas 21797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
21	16, 20	eleqtrrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
22		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
23		mhmrcl1 18704	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Mnd)
24	5, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
25		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	6, 25	mndidcl 18669	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	24, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28		ssidd 3997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
29		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
30	10, 11, 25, 13, 24	mplelsfi 21855	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
31		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
32	25, 31	mhm0 18711	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
33	5, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
34	22, 27, 14, 9, 28, 4, 29, 30, 33	fsuppcor 9394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆))
35		mhmcompl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
36		mhmcompl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
37	35, 17, 18, 31, 36	mplelbas 21851	. 2 ⊢ ((𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (𝐻 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆)))
38	21, 34, 37	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5138  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669   ∘ ccom 5670  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑_m cmap 8815  Fincfn 8934   finSupp cfsupp 9356  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  Mndcmnd 18654   MndHom cmhm 18698   mPwSer cmps 21757   mPoly cmpl 21759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-psr 21762  df-mpl 21764

This theorem is referenced by:  mhmcoaddmpl  41578  rhmcomulmpl  41579  rhmmpl  41580  selvcllem4  41608  selvvvval  41612  selvadd  41615  selvmul  41616