MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mress 17572
Description: A Moore-closed subset is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mress ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)

Proof of Theorem mress
StepHypRef Expression
1 mresspw 17571 . . 3 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)
21sselda 3980 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
32elpwid 4612 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603  β€˜cfv 6548  Moorecmre 17561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-mre 17565
This theorem is referenced by:  mreriincl  17577  mrcid  17592  mrcsscl  17599  submrc  17607  acsfiel  17633  mrelatglb0  18552  isnacs3  42130
  Copyright terms: Public domain W3C validator