Theorem mress 17546

Description: A Moore-closed subset is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mress	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mresspw 17545	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2	1	sselda 3922	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
3	2	elpwid 4551	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ‘cfv 6492  Moorecmre 17535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-mre 17539

This theorem is referenced by:  mreriincl  17551  mrcid  17570  mrcsscl  17577  submrc  17585  acsfiel  17611  mrelatglb0  18518  isnacs3  43156