Theorem mress 17576

Description: A Moore-closed subset is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mress	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mresspw 17575	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2	1	sselda 3976	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
3	2	elpwid 4613	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604  ‘cfv 6549  Moorecmre 17565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-mre 17569

This theorem is referenced by:  mreriincl  17581  mrcid  17596  mrcsscl  17603  submrc  17611  acsfiel  17637  mrelatglb0  18556  isnacs3  42272