Theorem mress 17795

Description: A Moore-closed subset is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mress	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mresspw 17794	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2	1	sselda 3913	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
3	2	elpwid 4569	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6561  Moorecmre 17784

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-mre 17788

This theorem is used by:  mreriincl  17800  mrcid  17819  mrcsscl  17826  submrc  17834  acsfiel  17860  mrelatglb0  18767  isnacs3  43925