Theorem mress 17542

Description: A Moore-closed subset is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mress	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mresspw 17541	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2	1	sselda 3975	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
3	2	elpwid 4604	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  𝒫 cpw 4595  ‘cfv 6534  Moorecmre 17531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-mre 17535

This theorem is referenced by:  mreriincl  17547  mrcid  17562  mrcsscl  17569  submrc  17577  acsfiel  17603  mrelatglb0  18522  isnacs3  41998