Theorem mrelatglb0 17797

Description: The empty intersection in a Moore space is realized by the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrelatglb0	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐺‘∅) = 𝑋)

Proof of Theorem mrelatglb0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		mreclat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
3	2	ipobas 17767	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
4		mrelatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6	2	ipopos 17772	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
8		0ss 4352	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∅ ⊆ 𝐶)
10		mre1cl 16867	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
11		ral0 4458	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑋(le‘𝐼)𝑥
12	11	rspec 3209	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑋(le‘𝐼)𝑥)
13	12	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝑋(le‘𝐼)𝑥)
14		mress 16866	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
15	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
16	2, 1	ipole 17770	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
17	15, 16	mpd3an3 1458	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
18	14, 17	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦(le‘𝐼)𝑋)
19	18	3adant3 1128	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼)𝑋)
20	1, 3, 5, 7, 9, 10, 13, 19	posglbd 17762	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐺‘∅) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  lecple 16574  Moorecmre 16855  Posetcpo 17552  glbcglb 17555  toInccipo 17763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ocomp 16588  df-mre 16859  df-proset 17540  df-poset 17558  df-lub 17586  df-glb 17587  df-odu 17741  df-ipo 17764

This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17799