Theorem mrelatglb0 18605

Description: The empty intersection in a Moore space is realized by the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrelatglb0	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐺‘∅) = 𝑋)

Proof of Theorem mrelatglb0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		mreclat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
3	2	ipobas 18575	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
4		mrelatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6	2	ipopos 18580	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
8		0ss 4357	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∅ ⊆ 𝐶)
10		mre1cl 17634	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
11		ral0 4455	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑋(le‘𝐼)𝑥
12	11	rspec 3256	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑋(le‘𝐼)𝑥)
13	12	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝑋(le‘𝐼)𝑥)
14		mress 17633	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
15	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
16	2, 1	ipole 18578	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
17	15, 16	mpd3an3 1486	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
18	14, 17	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦(le‘𝐼)𝑋)
19	18	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼)𝑋)
20	1, 3, 5, 7, 9, 10, 13, 19	posglbdg 18457	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐺‘∅) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  lecple 17305  Moorecmre 17622  Posetcpo 18351  glbcglb 18354  toInccipo 18571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-mre 17626  df-odu 18331  df-proset 18338  df-poset 18357  df-lub 18388  df-glb 18389  df-ipo 18572

This theorem is referenced by:  mreclatBAD  18607