Theorem mrelatglb0 17911

Description: The empty intersection in a Moore space is realized by the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrelatglb0	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐺‘∅) = 𝑋)

Proof of Theorem mrelatglb0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		mreclat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
3	2	ipobas 17881	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
4		mrelatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6	2	ipopos 17886	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
8		0ss 4285	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∅ ⊆ 𝐶)
10		mre1cl 16968	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
11		ral0 4399	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑋(le‘𝐼)𝑥
12	11	rspec 3120	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑋(le‘𝐼)𝑥)
13	12	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝑋(le‘𝐼)𝑥)
14		mress 16967	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
15	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
16	2, 1	ipole 17884	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
17	15, 16	mpd3an3 1463	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
18	14, 17	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦(le‘𝐼)𝑋)
19	18	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼)𝑋)
20	1, 3, 5, 7, 9, 10, 13, 19	posglbd 17876	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐺‘∅) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  lecple 16675  Moorecmre 16956  Posetcpo 17666  glbcglb 17669  toInccipo 17877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ocomp 16689  df-mre 16960  df-proset 17654  df-poset 17672  df-lub 17700  df-glb 17701  df-odu 17855  df-ipo 17878

This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17913