MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcsscl 16595
Description: The closure is the minimal closed set; any closed set which contains the generators is a superset of the closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mrcsscl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → (𝐹𝑈) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem mrcsscl
StepHypRef Expression
1 mress 16568 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑉𝐶) → 𝑉𝑋)
213adant2 1162 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → 𝑉𝑋)
3 mrcfval.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
43mrcss 16591 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝑋) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹𝑉))
52, 4syld3an3 1529 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹𝑉))
63mrcid 16588 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑉𝐶) → (𝐹𝑉) = 𝑉)
763adant2 1162 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → (𝐹𝑉) = 𝑉)
85, 7sseqtrd 3837 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → (𝐹𝑈) ⊆ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769  cfv 6101  Moorecmre 16557  mrClscmrc 16558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-mre 16561  df-mrc 16562
This theorem is referenced by:  submrc  16603  isacs2  16628  isacs3lem  17481  mrelatlub  17501  mrcmndind  17681  gsumwspan  17699  symggen  18202  cntzspan  18562  dprdspan  18742  subgdmdprd  18749  subgdprd  18750  dprdsn  18751  dprd2dlem1  18756  dprd2da  18757  dmdprdsplit2lem  18760  ablfac1b  18785  pgpfac1lem1  18789  pgpfac1lem5  18794  evlseu  19838  mrccss  20363  ismrcd2  38048  mrefg3  38057  isnacs3  38059
  Copyright terms: Public domain W3C validator