Theorem mrcsscl 17694

Description: The closure is the minimal closed set; any closed set which contains the generators is a superset of the closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcsscl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑈) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem mrcsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mress 17663	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → 𝑉 ⊆ 𝑋)
2	1	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → 𝑉 ⊆ 𝑋)
3		mrcfval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
4	3	mrcss 17690	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ⊆ (𝐹‘𝑉))
5	2, 4	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑈) ⊆ (𝐹‘𝑉))
6	3	mrcid 17687	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑉) = 𝑉)
7	6	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑉) = 𝑉)
8	5, 7	sseqtrd 3974	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑈) ⊆ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  Moorecmre 17652  mrClscmrc 17653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-mre 17656  df-mrc 17657

This theorem is used by:  submrc  17702  isacs2  17727  isacs3lem  18616  mrelatlub  18636  mndind  18911  gsumwspan  18929  symggen  19564  cntzspan  19938  dprdspan  20123  subgdmdprd  20130  subgdprd  20131  dprdsn  20132  dprd2dlem1  20137  dprd2da  20138  dmdprdsplit2lem  20141  ablfac1b  20166  pgpfac1lem1  20170  pgpfac1lem5  20175  mrccss  21874  evlseu  22264  ismrcd2  43463  mrefg3  43472  isnacs3  43474