Theorem mrcsscl 17557

Description: The closure is the minimal closed set; any closed set which contains the generators is a superset of the closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcsscl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑈) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem mrcsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mress 17530	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → 𝑉 ⊆ 𝑋)
2	1	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → 𝑉 ⊆ 𝑋)
3		mrcfval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
4	3	mrcss 17553	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ⊆ (𝐹‘𝑉))
5	2, 4	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑈) ⊆ (𝐹‘𝑉))
6	3	mrcid 17550	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑉) = 𝑉)
7	6	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑉) = 𝑉)
8	5, 7	sseqtrd 3980	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑈) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  Moorecmre 17519  mrClscmrc 17520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-mre 17523  df-mrc 17524

This theorem is referenced by:  submrc  17565  isacs2  17590  isacs3lem  18477  mrelatlub  18497  mndind  18731  gsumwspan  18749  symggen  19376  cntzspan  19750  dprdspan  19935  subgdmdprd  19942  subgdprd  19943  dprdsn  19944  dprd2dlem1  19949  dprd2da  19950  dmdprdsplit2lem  19953  ablfac1b  19978  pgpfac1lem1  19982  pgpfac1lem5  19987  mrccss  21579  evlseu  21966  ismrcd2  42660  mrefg3  42669  isnacs3  42671