Theorem mresspw 17548

Description: A Moore collection is a subset of the power of the base set; each closed subset of the system is actually a subset of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mresspw	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem mresspw

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismre 17546	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2	1	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∩ cint 4890  ‘cfv 6493  Moorecmre 17538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-mre 17542

This theorem is referenced by:  mress  17549  mrerintcl  17553  mreuni  17556  mremre  17560  isacs2  17613  mreacs  17618  isacs3lem  18502  dmdprdd  19970  dprdfeq0  19993  dprdss  20000  dprdz  20001  subgdmdprd  20005  subgdprd  20006  dprd2dlem1  20012  dprd2da  20013  dmdprdsplit2lem  20016  mretopd  23070  ismrc  43150