Theorem mresspw 17554

Description: A Moore collection is a subset of the power of the base set; each closed subset of the system is actually a subset of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mresspw	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem mresspw

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismre 17552	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2	1	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  ∩ cint 4889  ‘cfv 6498  Moorecmre 17544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-mre 17548

This theorem is referenced by:  mress  17555  mrerintcl  17559  mreuni  17562  mremre  17566  isacs2  17619  mreacs  17624  isacs3lem  18508  dmdprdd  19976  dprdfeq0  19999  dprdss  20006  dprdz  20007  subgdmdprd  20011  subgdprd  20012  dprd2dlem1  20018  dprd2da  20019  dmdprdsplit2lem  20022  mretopd  23057  ismrc  43133