MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mresspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mresspw 17540
Description: A Moore collection is a subset of the power of the base set; each closed subset of the system is actually a subset of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mresspw (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem mresspw
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismre 17538 . 2 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢)))
21simp1bi 1143 1 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆ© cint 4949  β€˜cfv 6542  Moorecmre 17530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-mre 17534
This theorem is referenced by:  mress  17541  mrerintcl  17545  mreuni  17548  mremre  17552  isacs2  17601  mreacs  17606  isacs3lem  18499  dmdprdd  19910  dprdfeq0  19933  dprdss  19940  dprdz  19941  subgdmdprd  19945  subgdprd  19946  dprd2dlem1  19952  dprd2da  19953  dmdprdsplit2lem  19956  mretopd  22816  ismrc  41741
  Copyright terms: Public domain W3C validator