MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mresspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mresspw 16567
Description: A Moore collection is a subset of the power of the base set; each closed subset of the system is actually a subset of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mresspw (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem mresspw
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismre 16565 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
21simp1bi 1176 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wss 3769  c0 4115  𝒫 cpw 4349   cint 4667  cfv 6101  Moorecmre 16557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-mre 16561
This theorem is referenced by:  mress  16568  mrerintcl  16572  mreuni  16575  mremre  16579  isacs2  16628  mreacs  16633  isacs3lem  17481  dmdprdd  18714  dprdfeq0  18737  dprdss  18744  dprdz  18745  subgdmdprd  18749  subgdprd  18750  dprd2dlem1  18756  dprd2da  18757  dmdprdsplit2lem  18760  mretopd  21225  ismrc  38050
  Copyright terms: Public domain W3C validator