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Theorem isnacs3 41448
Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnacs3 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isnacs3
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑖 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nacsacs 41447 . . . 4 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
21acsmred 17600 . . 3 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
3 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ 𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹))
41ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ 𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
5 elpwi 4610 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐢 β†’ 𝑠 βŠ† 𝐢)
65ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐢)
7 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset)
8 acsdrsel 18496 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 βŠ† 𝐢 ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)
94, 6, 7, 8syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)
10 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mrClsβ€˜πΆ) = (mrClsβ€˜πΆ)
1110nacsfg 41443 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”))
123, 9, 11syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”))
1310mrefg2 41445 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)))
142, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)))
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)))
1612, 15mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”))
17 elfpw 9354 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin) ↔ (𝑔 βŠ† βˆͺ 𝑠 ∧ 𝑔 ∈ Fin))
18 fissuni 9357 . . . . . . . . 9 ((𝑔 βŠ† βˆͺ 𝑠 ∧ 𝑔 ∈ Fin) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž)
1917, 18sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž)
20 elfpw 9354 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ↔ (β„Ž βŠ† 𝑠 ∧ β„Ž ∈ Fin))
21 ipodrsfi 18492 . . . . . . . . . . . . 13 (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ β„Ž βŠ† 𝑠 ∧ β„Ž ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑠 βˆͺ β„Ž βŠ† 𝑖)
22213expb 1121 . . . . . . . . . . . 12 (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ (β„Ž βŠ† 𝑠 ∧ β„Ž ∈ Fin)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑠 βˆͺ β„Ž βŠ† 𝑖)
2320, 22sylan2b 595 . . . . . . . . . . 11 (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ β„Ž ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑠 βˆͺ β„Ž βŠ† 𝑖)
24 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž ∧ βˆͺ β„Ž βŠ† 𝑖) β†’ 𝑔 βŠ† 𝑖)
2524ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆͺ β„Ž βŠ† 𝑖 ∧ 𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž) β†’ 𝑔 βŠ† 𝑖)
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) ∧ βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)) β†’ βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”))
272ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
28 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) β†’ 𝑔 βŠ† 𝑖)
295ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐢)
30 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑠)
3129, 30sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐢)
3210mrcsscl 17564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) βŠ† 𝑖)
3327, 28, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) βŠ† 𝑖)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) ∧ βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) βŠ† 𝑖)
3526, 34eqsstrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) ∧ βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)) β†’ βˆͺ 𝑠 βŠ† 𝑖)
36 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) ∧ βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑠)
37 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ 𝑠 β†’ 𝑖 βŠ† βˆͺ 𝑠)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) ∧ βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)) β†’ 𝑖 βŠ† βˆͺ 𝑠)
3935, 38eqssd 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) ∧ βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)) β†’ βˆͺ 𝑠 = 𝑖)
4039, 36eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) ∧ βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)
4140ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (𝑖 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑖)) β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))
4241expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝑠) β†’ (𝑔 βŠ† 𝑖 β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)))
4325, 42syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝑠) β†’ ((βˆͺ β„Ž βŠ† 𝑖 ∧ 𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž) β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)))
4443expd 417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝑠) β†’ (βˆͺ β„Ž βŠ† 𝑖 β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))))
4544rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑠 βˆͺ β„Ž βŠ† 𝑖 β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))))
4623, 45syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ β„Ž ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))))
4746expdimp 454 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ (β„Ž ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))))
4847rexlimdv 3154 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑔 βŠ† βˆͺ β„Ž β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)))
4919, 48syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin) β†’ (βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)))
5049rexlimdv 3154 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)βˆͺ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))
5116, 50mpd 15 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)
5251ex 414 . . . 4 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))
5352ralrimiva 3147 . . 3 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))
542, 53jca 513 . 2 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)))
55 simpl 484 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
565adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐢)
5756sseld 3982 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠 β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢))
5857imim2d 57 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠) β†’ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
5958ralimdva 3168 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
6059imp 408 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢))
61 isacs3 18503 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
6255, 60, 61sylanbrc 584 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) β†’ 𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
6310mrcid 17557 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘‘) = 𝑑)
6463adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘‘) = 𝑑)
6562adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
66 mress 17537 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ 𝑑 βŠ† 𝑋)
6766adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ 𝑑 βŠ† 𝑋)
6865, 10, 67acsficld 18504 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘‘) = βˆͺ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
6964, 68eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ 𝑑 = βˆͺ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
7010mrcf 17553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (mrClsβ€˜πΆ):𝒫 π‘‹βŸΆπΆ)
7170ffnd 6719 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (mrClsβ€˜πΆ) Fn 𝒫 𝑋)
7271adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ (mrClsβ€˜πΆ) Fn 𝒫 𝑋)
7310mrcss 17560 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑔 βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† 𝑋) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) βŠ† ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜β„Ž))
74733expb 1121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑔 βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† 𝑋)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) βŠ† ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜β„Ž))
7574adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) ∧ (𝑔 βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† 𝑋)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) βŠ† ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜β„Ž))
76 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑑 ∈ V
77 fpwipodrs 18493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ V β†’ (toIncβ€˜(𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ (toIncβ€˜(𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
79 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝑑 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑑
8066sspwd 4616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ 𝒫 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑋)
8179, 80sstrid 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋)
82 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (mrClsβ€˜πΆ) ∈ V
83 imaexg 7906 . . . . . . . . . . . . 13 ((mrClsβ€˜πΆ) ∈ V β†’ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ V)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ V)
8672, 75, 78, 81, 85ipodrsima 18494 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ (toIncβ€˜((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))) ∈ Dirset)
8786adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ (toIncβ€˜((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))) ∈ Dirset)
88 imassrn 6071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† ran (mrClsβ€˜πΆ)
8970frnd 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ ran (mrClsβ€˜πΆ) βŠ† 𝐢)
9088, 89sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝐢)
9190adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝐢)
9284elpw 4607 . . . . . . . . . . . 12 (((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ 𝒫 𝐢 ↔ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝐢)
9391, 92sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ 𝒫 𝐢)
9493adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ 𝒫 𝐢)
95 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠))
96 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) β†’ (toIncβ€˜π‘ ) = (toIncβ€˜((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))))
9796eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) β†’ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ↔ (toIncβ€˜((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))) ∈ Dirset))
98 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) β†’ βˆͺ 𝑠 = βˆͺ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
99 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
10098, 99eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠 ↔ βˆͺ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))))
10197, 100imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) β†’ (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠) ↔ ((toIncβ€˜((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))))
102101rspcva 3611 . . . . . . . . . 10 ((((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ 𝒫 𝐢 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) β†’ ((toIncβ€˜((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))))
10394, 95, 102syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ ((toIncβ€˜((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))))
10487, 103mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
10569, 104eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ 𝑑 ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
106 fvelimab 6965 . . . . . . . . 9 (((mrClsβ€˜πΆ) Fn 𝒫 𝑋 ∧ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋) β†’ (𝑑 ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) = 𝑑))
10772, 81, 106syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ (𝑑 ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) = 𝑑))
108107adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ (𝑑 ∈ ((mrClsβ€˜πΆ) β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) = 𝑑))
109105, 108mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) = 𝑑)
110 eqcom 2740 . . . . . . 7 (𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) ↔ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) = 𝑑)
111110rexbii 3095 . . . . . 6 (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) = 𝑑)
112109, 111sylibr 233 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”))
11310mrefg2 41445 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)))
114113ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)))
115112, 114mpbird 257 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”))
116115ralrimiva 3147 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐢 βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”))
11710isnacs 41442 . . 3 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐢 βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑑 = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘”)))
11862, 116, 117sylanbrc 584 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)) β†’ 𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹))
11954, 118impbii 208 1 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  Moorecmre 17526  mrClscmrc 17527  ACScacs 17529  Dirsetcdrs 18247  toInccipo 18480  NoeACScnacs 41440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ocomp 17218  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-drs 18249  df-poset 18266  df-ipo 18481  df-nacs 41441
This theorem is referenced by:  nacsfix  41450
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