MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mre1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mre1cl 17503
Description: In any Moore collection the base set is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mre1cl (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)

Proof of Theorem mre1cl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismre 17499 . 2 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢)))
21simp2bi 1146 1 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3928  βˆ…c0 4302  π’« cpw 4580  βˆ© cint 4927  β€˜cfv 6516  Moorecmre 17491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3419  df-v 3461  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fv 6524  df-mre 17495
This theorem is referenced by:  mrerintcl  17506  mreriincl  17507  mreuni  17509  mremre  17513  mrcflem  17515  mrcval  17519  mrccl  17520  mrcun  17531  mrelatglb0  18479  mreclatBAD  18481  mretopd  22495  mreclat  47175
  Copyright terms: Public domain W3C validator