MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mre1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mre1cl 16614
Description: In any Moore collection the base set is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mre1cl (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)

Proof of Theorem mre1cl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismre 16610 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
21simp2bi 1180 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wss 3798  c0 4146  𝒫 cpw 4380   cint 4699  cfv 6127  Moorecmre 16602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fv 6135  df-mre 16606
This theorem is referenced by:  mrerintcl  16617  mreriincl  16618  mreuni  16620  mremre  16624  mrcflem  16626  mrcval  16630  mrccl  16631  mrcun  16642  mrelatglb0  17545  mreclatBAD  17547  mretopd  21274
  Copyright terms: Public domain W3C validator