Theorem mre1cl 17623

Description: In any Moore collection the base set is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mre1cl	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mre1cl

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismre 17619	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2	1	simp2bi 1160	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4556  ∩ cint 4906  ‘cfv 6522  Moorecmre 17611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fv 6530  df-mre 17615

This theorem is referenced by:  mrerintcl  17626  mreriincl  17627  mreuni  17629  mremre  17633  mrcflem  17639  mrcval  17643  mrccl  17644  mrcun  17655  mrelatglb0  18594  mreclatBAD  18596  mretopd  23153  mreclat  49619