Theorem mre1cl 17726

Description: In any Moore collection the base set is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mre1cl	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mre1cl

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismre 17722	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2	1	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∩ cint 4906  ‘cfv 6527  Moorecmre 17714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-mre 17718

This theorem is used by:  mrerintcl  17729  mreriincl  17730  mreuni  17732  mremre  17736  mrcflem  17742  mrcval  17746  mrccl  17747  mrcun  17758  mrelatglb0  18697  mreclatBAD  18699  mretopd  23372  mreclat  50027