MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mre1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mre1cl 17471
Description: In any Moore collection the base set is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mre1cl (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)

Proof of Theorem mre1cl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismre 17467 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
21simp2bi 1146 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wne 2942  wral 3063  wss 3909  c0 4281  𝒫 cpw 4559   cint 4906  cfv 6494  Moorecmre 17459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fv 6502  df-mre 17463
This theorem is referenced by:  mrerintcl  17474  mreriincl  17475  mreuni  17477  mremre  17481  mrcflem  17483  mrcval  17487  mrccl  17488  mrcun  17499  mrelatglb0  18447  mreclatBAD  18449  mretopd  22439  mreclat  46992
  Copyright terms: Public domain W3C validator