![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulpipq2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulpipq2 | โข ((๐ด โ (N ร N) โง ๐ต โ (N ร N)) โ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โจ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ต)), ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต))โฉ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fveq2 6847 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ (1st โ๐ฅ) = (1st โ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq1d 7377 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((1st โ๐ฅ) ยทN (1st โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ฆ))) |
3 | fveq2 6847 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ (2nd โ๐ฅ) = (2nd โ๐ด)) | |
4 | 3 | oveq1d 7377 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((2nd โ๐ฅ) ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ฆ))) |
5 | 2, 4 | opeq12d 4843 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ด โ โจ((1st โ๐ฅ) ยทN (1st โ๐ฆ)), ((2nd โ๐ฅ) ยทN (2nd โ๐ฆ))โฉ = โจ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ฆ)), ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ฆ))โฉ) |
6 | fveq2 6847 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ (1st โ๐ฆ) = (1st โ๐ต)) | |
7 | 6 | oveq2d 7378 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ต โ ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ต))) |
8 | fveq2 6847 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ (2nd โ๐ฆ) = (2nd โ๐ต)) | |
9 | 8 | oveq2d 7378 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ต โ ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต))) |
10 | 7, 9 | opeq12d 4843 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ต โ โจ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ฆ)), ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ฆ))โฉ = โจ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ต)), ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต))โฉ) |
11 | df-mpq 10852 | . 2 โข ยทpQ = (๐ฅ โ (N ร N), ๐ฆ โ (N ร N) โฆ โจ((1st โ๐ฅ) ยทN (1st โ๐ฆ)), ((2nd โ๐ฅ) ยทN (2nd โ๐ฆ))โฉ) | |
12 | opex 5426 | . 2 โข โจ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ต)), ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต))โฉ โ V | |
13 | 5, 10, 11, 12 | ovmpo 7520 | 1 โข ((๐ด โ (N ร N) โง ๐ต โ (N ร N)) โ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โจ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ต)), ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต))โฉ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โจcop 4597 ร cxp 5636 โcfv 6501 (class class class)co 7362 1st c1st 7924 2nd c2nd 7925 Ncnpi 10787 ยทN cmi 10789 ยทpQ cmpq 10792 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pr 5389 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-id 5536 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fv 6509 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-mpq 10852 |
This theorem is referenced by: mulpipq 10883 mulcompq 10895 mulerpqlem 10898 mulassnq 10902 distrnq 10904 ltmnq 10915 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |