MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulpipq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulpipq2 10882
Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulpipq2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)

Proof of Theorem mulpipq2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐ด))
21oveq1d 7377 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)))
3 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐ด))
43oveq1d 7377 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
52, 4opeq12d 4843 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
6 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) = (1st โ€˜๐ต))
76oveq2d 7378 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)))
8 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) = (2nd โ€˜๐ต))
98oveq2d 7378 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
107, 9opeq12d 4843 . 2 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
11 df-mpq 10852 . 2 ยทpQ = (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N), ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
12 opex 5426 . 2 โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โˆˆ V
135, 10, 11, 12ovmpo 7520 1 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   ยทN cmi 10789   ยทpQ cmpq 10792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-mpq 10852
This theorem is referenced by:  mulpipq  10883  mulcompq  10895  mulerpqlem  10898  mulassnq  10902  distrnq  10904  ltmnq  10915
  Copyright terms: Public domain W3C validator