MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addpqnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addpqnq 10953
Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addpqnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)))

Proof of Theorem addpqnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plq 10929 . . . . 5 +Q = (([Q] โˆ˜ +pQ ) โ†พ (Q ร— Q))
21fveq1i 6892 . . . 4 ( +Q โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ((([Q] โˆ˜ +pQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
32a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ( +Q โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ((([Q] โˆ˜ +pQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
4 opelxpi 5709 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q))
54fvresd 6911 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((([Q] โˆ˜ +pQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = (([Q] โˆ˜ +pQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
6 df-plpq 10923 . . . . 5 +pQ = (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N), ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†ฆ โŸจ(((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
7 opex 5460 . . . . 5 โŸจ(((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ โˆˆ V
86, 7fnmpoi 8068 . . . 4 +pQ Fn ((N ร— N) ร— (N ร— N))
9 elpqn 10940 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
10 elpqn 10940 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
11 opelxpi 5709 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N)))
129, 10, 11syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N)))
13 fvco2 6989 . . . 4 (( +pQ Fn ((N ร— N) ร— (N ร— N)) โˆง โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N))) โ†’ (([Q] โˆ˜ +pQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
148, 12, 13sylancr 586 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (([Q] โˆ˜ +pQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
153, 5, 143eqtrd 2771 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ( +Q โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
16 df-ov 7417 . 2 (๐ด +Q ๐ต) = ( +Q โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
17 df-ov 7417 . . 3 (๐ด +pQ ๐ต) = ( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
1817fveq2i 6894 . 2 ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)) = ([Q]โ€˜( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
1915, 16, 183eqtr4g 2792 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โŸจcop 4630   ร— cxp 5670   โ†พ cres 5674   โˆ˜ ccom 5676   Fn wfn 6537  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1st c1st 7985  2nd c2nd 7986  Ncnpi 10859   +N cpli 10860   ยทN cmi 10861   +pQ cplpq 10863  Qcnq 10867  [Q]cerq 10869   +Q cplq 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-plpq 10923  df-nq 10927  df-plq 10929
This theorem is referenced by:  addclnq  10960  addcomnq  10966  adderpq  10971  addassnq  10973  distrnq  10976  ltanq  10986  1lt2nq  10988  prlem934  11048
  Copyright terms: Public domain W3C validator