MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addpqnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addpqnq 10881
Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addpqnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)))

Proof of Theorem addpqnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plq 10857 . . . . 5 +Q = (([Q] โˆ˜ +pQ ) โ†พ (Q ร— Q))
21fveq1i 6848 . . . 4 ( +Q โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ((([Q] โˆ˜ +pQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
32a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ( +Q โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ((([Q] โˆ˜ +pQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
4 opelxpi 5675 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q))
54fvresd 6867 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((([Q] โˆ˜ +pQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = (([Q] โˆ˜ +pQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
6 df-plpq 10851 . . . . 5 +pQ = (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N), ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†ฆ โŸจ(((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
7 opex 5426 . . . . 5 โŸจ(((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ โˆˆ V
86, 7fnmpoi 8007 . . . 4 +pQ Fn ((N ร— N) ร— (N ร— N))
9 elpqn 10868 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
10 elpqn 10868 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
11 opelxpi 5675 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N)))
129, 10, 11syl2an 597 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N)))
13 fvco2 6943 . . . 4 (( +pQ Fn ((N ร— N) ร— (N ร— N)) โˆง โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N))) โ†’ (([Q] โˆ˜ +pQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
148, 12, 13sylancr 588 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (([Q] โˆ˜ +pQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
153, 5, 143eqtrd 2781 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ( +Q โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
16 df-ov 7365 . 2 (๐ด +Q ๐ต) = ( +Q โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
17 df-ov 7365 . . 3 (๐ด +pQ ๐ต) = ( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
1817fveq2i 6850 . 2 ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)) = ([Q]โ€˜( +pQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
1915, 16, 183eqtr4g 2802 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   ร— cxp 5636   โ†พ cres 5640   โˆ˜ ccom 5642   Fn wfn 6496  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   +N cpli 10788   ยทN cmi 10789   +pQ cplpq 10791  Qcnq 10795  [Q]cerq 10797   +Q cplq 10798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-plpq 10851  df-nq 10855  df-plq 10857
This theorem is referenced by:  addclnq  10888  addcomnq  10894  adderpq  10899  addassnq  10901  distrnq  10904  ltanq  10914  1lt2nq  10916  prlem934  10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator