MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulerpqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulerpqlem 10898
Description: Lemma for mulerpq 10900. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpqlem ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ)))

Proof of Theorem mulerpqlem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 7958 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
213ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
3 xp1st 7958 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
433ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
5 mulclpi 10836 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
62, 4, 5syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
7 xp2nd 7959 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
873ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
9 xp2nd 7959 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
1093ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
11 mulclpi 10836 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
128, 10, 11syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
13 xp1st 7958 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
14133ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
15 mulclpi 10836 . . . 4 (((1st โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
1614, 4, 15syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
17 xp2nd 7959 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
18173ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
19 mulclpi 10836 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
2018, 10, 19syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
21 enqbreq 10862 . . 3 (((((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N) โˆง (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
226, 12, 16, 20, 21syl22anc 838 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
23 mulpipq2 10882 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
24233adant2 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
25 mulpipq2 10882 . . . 4 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
26253adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
2724, 26breq12d 5123 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ))
28 enqbreq2 10863 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
29283adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
30 mulclpi 10836 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
314, 10, 30syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
32 mulclpi 10836 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
332, 18, 32syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
34 mulcanpi 10843 . . . 4 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
3531, 33, 34syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
36 mulcompi 10839 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
37 fvex 6860 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
38 fvex 6860 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
39 fvex 6860 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ V
40 mulcompi 10839 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
41 mulasspi 10840 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
42 fvex 6860 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
4337, 38, 39, 40, 41, 42caov4 7590 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
4436, 43eqtri 2765 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
45 mulcompi 10839 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
46 fvex 6860 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
47 fvex 6860 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
4846, 47, 39, 40, 41, 42caov4 7590 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
49 mulcompi 10839 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))
5045, 48, 493eqtri 2769 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))
5144, 50eqeq12i 2755 . . . 4 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ))))
5251a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
5329, 35, 523bitr2d 307 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
5422, 27, 533bitr4rd 312 1 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   ยทN cmi 10789   ยทpQ cmpq 10792   ~Q ceq 10794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-ni 10815  df-mi 10817  df-mpq 10852  df-enq 10854
This theorem is referenced by:  mulerpq  10900
  Copyright terms: Public domain W3C validator