MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulerpqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulerpqlem 10952
Description: Lemma for mulerpq 10954. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpqlem ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ)))

Proof of Theorem mulerpqlem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 8009 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
213ad2ant1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
3 xp1st 8009 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
433ad2ant3 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
5 mulclpi 10890 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
62, 4, 5syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
7 xp2nd 8010 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
873ad2ant1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
9 xp2nd 8010 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
1093ad2ant3 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
11 mulclpi 10890 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
128, 10, 11syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
13 xp1st 8009 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
14133ad2ant2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
15 mulclpi 10890 . . . 4 (((1st โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
1614, 4, 15syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
17 xp2nd 8010 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
18173ad2ant2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
19 mulclpi 10890 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
2018, 10, 19syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
21 enqbreq 10916 . . 3 (((((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N) โˆง (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
226, 12, 16, 20, 21syl22anc 837 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
23 mulpipq2 10936 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
24233adant2 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
25 mulpipq2 10936 . . . 4 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
26253adant1 1130 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
2724, 26breq12d 5161 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ))
28 enqbreq2 10917 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
29283adant3 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
30 mulclpi 10890 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
314, 10, 30syl2anc 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
32 mulclpi 10890 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
332, 18, 32syl2anc 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
34 mulcanpi 10897 . . . 4 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
3531, 33, 34syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
36 mulcompi 10893 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
37 fvex 6904 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
38 fvex 6904 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
39 fvex 6904 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ V
40 mulcompi 10893 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
41 mulasspi 10894 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
42 fvex 6904 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
4337, 38, 39, 40, 41, 42caov4 7640 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
4436, 43eqtri 2760 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
45 mulcompi 10893 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
46 fvex 6904 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
47 fvex 6904 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
4846, 47, 39, 40, 41, 42caov4 7640 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
49 mulcompi 10893 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))
5045, 48, 493eqtri 2764 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))
5144, 50eqeq12i 2750 . . . 4 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ))))
5251a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
5329, 35, 523bitr2d 306 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
5422, 27, 533bitr4rd 311 1 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  Ncnpi 10841   ยทN cmi 10843   ยทpQ cmpq 10846   ~Q ceq 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-ni 10869  df-mi 10871  df-mpq 10906  df-enq 10908
This theorem is referenced by:  mulerpq  10954
  Copyright terms: Public domain W3C validator