MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulerpqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulerpqlem 10950
Description: Lemma for mulerpq 10952. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpqlem ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ)))

Proof of Theorem mulerpqlem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 8007 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
213ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
3 xp1st 8007 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
433ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
5 mulclpi 10888 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
62, 4, 5syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
7 xp2nd 8008 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
873ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
9 xp2nd 8008 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
1093ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
11 mulclpi 10888 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
128, 10, 11syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
13 xp1st 8007 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
14133ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
15 mulclpi 10888 . . . 4 (((1st โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
1614, 4, 15syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
17 xp2nd 8008 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
18173ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
19 mulclpi 10888 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
2018, 10, 19syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
21 enqbreq 10914 . . 3 (((((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N) โˆง (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
226, 12, 16, 20, 21syl22anc 838 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
23 mulpipq2 10934 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
24233adant2 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
25 mulpipq2 10934 . . . 4 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
26253adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ยทpQ ๐ถ) = โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
2724, 26breq12d 5162 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ))
28 enqbreq2 10915 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
29283adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
30 mulclpi 10888 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
314, 10, 30syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
32 mulclpi 10888 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
332, 18, 32syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
34 mulcanpi 10895 . . . 4 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
3531, 33, 34syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
36 mulcompi 10891 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
37 fvex 6905 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
38 fvex 6905 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
39 fvex 6905 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ V
40 mulcompi 10891 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
41 mulasspi 10892 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
42 fvex 6905 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
4337, 38, 39, 40, 41, 42caov4 7638 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
4436, 43eqtri 2761 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
45 mulcompi 10891 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
46 fvex 6905 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
47 fvex 6905 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
4846, 47, 39, 40, 41, 42caov4 7638 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
49 mulcompi 10891 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))
5045, 48, 493eqtri 2765 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))
5144, 50eqeq12i 2751 . . . 4 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ))))
5251a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
5329, 35, 523bitr2d 307 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (1st โ€˜๐ถ)))))
5422, 27, 533bitr4rd 312 1 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (๐ด ยทpQ ๐ถ) ~Q (๐ต ยทpQ ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Ncnpi 10839   ยทN cmi 10841   ยทpQ cmpq 10844   ~Q ceq 10846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-ni 10867  df-mi 10869  df-mpq 10904  df-enq 10906
This theorem is referenced by:  mulerpq  10952
  Copyright terms: Public domain W3C validator