MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulpipq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulpipq 10883
Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulpipq (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยทpQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)

Proof of Theorem mulpipq
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5675 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
2 opelxpi 5675 . . 3 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
3 mulpipq2 10882 . . 3 ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (N ร— N) โˆง โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยทpQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ)
41, 2, 3syl2an 597 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยทpQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ)
5 op1stg 7938 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ๐ด)
6 op1stg 7938 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = ๐ถ)
75, 6oveqan12d 7381 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) = (๐ด ยทN ๐ถ))
8 op2ndg 7939 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ๐ต)
9 op2ndg 7939 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = ๐ท)
108, 9oveqan12d 7381 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) = (๐ต ยทN ๐ท))
117, 10opeq12d 4843 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ = โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
124, 11eqtrd 2777 1 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยทpQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   ยทN cmi 10789   ยทpQ cmpq 10792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-mpq 10852
This theorem is referenced by:  mulassnq  10902  distrnq  10904  mulidnq  10906  recmulnq  10907
  Copyright terms: Public domain W3C validator