MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulpipq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulpipq 10934
Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulpipq (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยทpQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)

Proof of Theorem mulpipq
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5706 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
2 opelxpi 5706 . . 3 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
3 mulpipq2 10933 . . 3 ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (N ร— N) โˆง โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยทpQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยทpQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ)
5 op1stg 7983 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ๐ด)
6 op1stg 7983 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = ๐ถ)
75, 6oveqan12d 7423 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) = (๐ด ยทN ๐ถ))
8 op2ndg 7984 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ๐ต)
9 op2ndg 7984 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = ๐ท)
108, 9oveqan12d 7423 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) = (๐ต ยทN ๐ท))
117, 10opeq12d 4876 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ = โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
124, 11eqtrd 2766 1 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยทpQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4629   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  Ncnpi 10838   ยทN cmi 10840   ยทpQ cmpq 10843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-mpq 10903
This theorem is referenced by:  mulassnq  10953  distrnq  10955  mulidnq  10957  recmulnq  10958
  Copyright terms: Public domain W3C validator