Theorem colrot2 26921

Description: Rotating the points defining a line. Part of Theorem 4.11 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
colrot	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
colrot2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))

Proof of Theorem colrot2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglngval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglngval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
7		tglngval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		colrot	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
9	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	colrot1 26920	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	colrot1 26920	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814

This theorem is referenced by:  ncolrot1  26923  tglineeltr  26992  ncolncol  27007  symquadlem  27050  hlpasch  27117  hphl  27132  trgcopy  27165