Theorem colrot2 28581

Description: Rotating the points defining a line. Part of Theorem 4.11 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
colrot	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
colrot2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))

Proof of Theorem colrot2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglngval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglngval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
7		tglngval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		colrot	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
9	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	colrot1 28580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	colrot1 28580	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  TarskiGcstrkg 28448  Itvcitv 28454  LineGclng 28455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-trkgc 28469  df-trkgb 28470  df-trkgcb 28471  df-trkg 28474

This theorem is referenced by:  ncolrot1  28583  tglineeltr  28652  ncolncol  28667  symquadlem  28710  hlpasch  28777  hphl  28792  trgcopy  28825