MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acopy Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acopy 28856
Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dfcgra2.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a (𝜑𝐴𝑃)
dfcgra2.b (𝜑𝐵𝑃)
dfcgra2.c (𝜑𝐶𝑃)
dfcgra2.d (𝜑𝐷𝑃)
dfcgra2.e (𝜑𝐸𝑃)
dfcgra2.f (𝜑𝐹𝑃)
acopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
Assertion
Ref Expression
acopy (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Proof of Theorem acopy
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcgra2.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 dfcgra2.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 dfcgra2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 acopy.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2735 . . . 4 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
6 dfcgra2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 dfcgra2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
98ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐴𝑃)
10 dfcgra2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1110ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐵𝑃)
12 dfcgra2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1312ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 769 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝑃)
15 dfcgra2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
1615ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐸𝑃)
17 dfcgra2.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑃)
1817ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐹𝑃)
19 acopy.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
2019ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
21 dfcgra2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
2221ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐷𝑃)
23 acopy.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
2423ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
25 simprl 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
261, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 4, 25hlln 28630 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
271, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 25hlne1 28628 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝐸)
281, 3, 4, 7, 22, 16, 18, 14, 24, 26, 27ncolncol 28669 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
29 simprr 773 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))
3029eqcomd 2741 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝑑))
311, 2, 3, 7, 11, 9, 16, 14, 30tgcgrcomlr 28503 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐴 𝐵) = (𝑑 𝐸))
321, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 28, 31trgcopy 28827 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
337ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
349ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝑃)
3511ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝑃)
3613ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐶𝑃)
3714ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑𝑃)
3816ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐸𝑃)
39 simplr 769 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑓𝑃)
401, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 19ncolne1 28648 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4140ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝐵)
421, 4, 3, 6, 10, 12, 8, 19ncolrot1 28585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
431, 3, 4, 6, 10, 12, 8, 42ncolne1 28648 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐶)
4443ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝐶)
45 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
461, 3, 33, 5, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45cgrcgra 28844 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
4722ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷𝑃)
4825ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
491, 3, 5, 37, 47, 38, 33, 48hlcomd 28627 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
501, 3, 5, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 46, 47, 49cgrahl1 28839 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
5150ex 412 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩))
52 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
537ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5414ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝑃)
5516ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸𝑃)
5627ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝐸)
571, 3, 4, 6, 21, 15, 17, 23ncolne1 28648 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐸)
581, 3, 4, 6, 21, 15, 57tgelrnln 28653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
5958ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
6026ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
611, 3, 4, 6, 21, 15, 57tglinerflx2 28657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
6261ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
631, 3, 4, 53, 54, 55, 56, 56, 59, 60, 62tglinethru 28659 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
6463fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
6564breqd 5159 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
6652, 65mpbird 257 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
6766ex 412 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
6851, 67anim12d 609 . . . 4 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
6968reximdva 3166 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
7032, 69mpd 15 . 2 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
7140necomd 2994 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
721, 3, 5, 15, 10, 8, 6, 21, 2, 57, 71hlcgrex 28639 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑃 (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴)))
7370, 72r19.29a 3160 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  cgrGccgrg 28533  hlGchlg 28623  hpGchpg 28780  cgrAccgra 28830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkgld 28475  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-ismt 28556  df-leg 28606  df-hlg 28624  df-mir 28676  df-rag 28717  df-perpg 28719  df-hpg 28781  df-mid 28797  df-lmi 28798  df-cgra 28831
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator