MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acopy Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acopy 26552
Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dfcgra2.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a (𝜑𝐴𝑃)
dfcgra2.b (𝜑𝐵𝑃)
dfcgra2.c (𝜑𝐶𝑃)
dfcgra2.d (𝜑𝐷𝑃)
dfcgra2.e (𝜑𝐸𝑃)
dfcgra2.f (𝜑𝐹𝑃)
acopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
Assertion
Ref Expression
acopy (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Proof of Theorem acopy
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcgra2.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 dfcgra2.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 dfcgra2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 acopy.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2826 . . . 4 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
6 dfcgra2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 dfcgra2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
98ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐴𝑃)
10 dfcgra2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1110ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐵𝑃)
12 dfcgra2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1312ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 765 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝑃)
15 dfcgra2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
1615ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐸𝑃)
17 dfcgra2.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑃)
1817ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐹𝑃)
19 acopy.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
2019ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
21 dfcgra2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
2221ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐷𝑃)
23 acopy.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
2423ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
25 simprl 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
261, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 4, 25hlln 26326 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
271, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 25hlne1 26324 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝐸)
281, 3, 4, 7, 22, 16, 18, 14, 24, 26, 27ncolncol 26365 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
29 simprr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))
3029eqcomd 2832 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝑑))
311, 2, 3, 7, 11, 9, 16, 14, 30tgcgrcomlr 26199 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐴 𝐵) = (𝑑 𝐸))
321, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 28, 31trgcopy 26523 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
337ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
349ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝑃)
3511ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝑃)
3613ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐶𝑃)
3714ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑𝑃)
3816ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐸𝑃)
39 simplr 765 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑓𝑃)
401, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 19ncolne1 26344 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4140ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝐵)
421, 4, 3, 6, 10, 12, 8, 19ncolrot1 26281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
431, 3, 4, 6, 10, 12, 8, 42ncolne1 26344 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐶)
4443ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝐶)
45 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
461, 3, 33, 5, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45cgrcgra 26540 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
4722ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷𝑃)
4825ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
491, 3, 5, 37, 47, 38, 33, 48hlcomd 26323 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
501, 3, 5, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 46, 47, 49cgrahl1 26535 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
5150ex 413 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩))
52 simpr 485 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
537ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5414ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝑃)
5516ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸𝑃)
5627ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝐸)
571, 3, 4, 6, 21, 15, 17, 23ncolne1 26344 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐸)
581, 3, 4, 6, 21, 15, 57tgelrnln 26349 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
5958ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
6026ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
611, 3, 4, 6, 21, 15, 57tglinerflx2 26353 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
6261ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
631, 3, 4, 53, 54, 55, 56, 56, 59, 60, 62tglinethru 26355 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
6463fveq2d 6673 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
6564breqd 5074 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
6652, 65mpbird 258 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
6766ex 413 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
6851, 67anim12d 608 . . . 4 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
6968reximdva 3279 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
7032, 69mpd 15 . 2 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
7140necomd 3076 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
721, 3, 5, 15, 10, 8, 6, 21, 2, 57, 71hlcgrex 26335 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑃 (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴)))
7370, 72r19.29a 3294 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144   class class class wbr 5063  ran crn 5555  cfv 6354  (class class class)co 7150  ⟨“cs3 14199  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26149  Itvcitv 26155  LineGclng 26156  cgrGccgrg 26229  hlGchlg 26319  hpGchpg 26476  cgrAccgra 26526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26167  df-trkgb 26168  df-trkgcb 26169  df-trkgld 26171  df-trkg 26172  df-cgrg 26230  df-ismt 26252  df-leg 26302  df-hlg 26320  df-mir 26372  df-rag 26413  df-perpg 26415  df-hpg 26477  df-mid 26493  df-lmi 26494  df-cgra 26527
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator