Theorem acopy 29125

Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
acopy.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
acopy	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))

Distinct variable groups:   − ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Proof of Theorem acopy

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		dfcgra2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		acopy.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
6		dfcgra2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		dfcgra2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		dfcgra2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
15		dfcgra2.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
16	15	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
17		dfcgra2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
18	17	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
19		acopy.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
20	19	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
21		dfcgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
22	21	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
23		acopy.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
24	23	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
25		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
26	1, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 4, 25	hlln 28860	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
27	1, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 25	hlne1 28858	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ≠ 𝐸)
28	1, 3, 4, 7, 22, 16, 18, 14, 24, 26, 27	ncolncol 28901	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
29		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
30	29	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝑑))
31	1, 2, 3, 7, 11, 9, 16, 14, 30	tgcgrcomlr 28730	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
32	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 28, 31	trgcopy 29096	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
33	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
34	9	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
35	11	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36	13	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	14	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑 ∈ 𝑃)
38	16	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
39		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑓 ∈ 𝑃)
40	1, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 19	ncolne1 28879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
41	40	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
42	1, 4, 3, 6, 10, 12, 8, 19	ncolrot1 28812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
43	1, 3, 4, 6, 10, 12, 8, 42	ncolne1 28879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
44	43	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵 ≠ 𝐶)
45		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
46	1, 3, 33, 5, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45	cgrcgra 29113	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
47	22	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
48	25	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
49	1, 3, 5, 37, 47, 38, 33, 48	hlcomd 28857	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
50	1, 3, 5, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 46, 47, 49	cgrahl1 29108	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
51	50	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩))
52		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
53	7	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ 𝑃)
55	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ 𝑃)
56	27	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ≠ 𝐸)
57	1, 3, 4, 6, 21, 15, 17, 23	ncolne1 28879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
58	1, 3, 4, 6, 21, 15, 57	tgelrnln 28884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
59	58	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
60	26	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
61	1, 3, 4, 6, 21, 15, 57	tglinerflx2 28888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
62	61	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
63	1, 3, 4, 53, 54, 55, 56, 56, 59, 60, 62	tglinethru 28890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
64	63	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
65	64	breqd 5121	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹 ↔ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
66	52, 65	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
67	66	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹 → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
68	51, 67	anim12d 620	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
69	68	reximdva 3178	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
70	32, 69	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
71	40	necomd 3013	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
72	1, 3, 5, 15, 10, 8, 6, 21, 2, 57, 71	hlcgrex 28869	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
73	70, 72	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17270  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28677  Itvcitv 28683  LineGclng 28684  cgrGccgrg 28760  hlGchlg 28850  hpGchpg 29020  cgrAccgra 29099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28698  df-trkgb 28699  df-trkgcb 28700  df-trkgld 28702  df-trkg 28703  df-cgrg 28761  df-ismt 28783  df-leg 28833  df-hlg 28851  df-mir 28911  df-rag 28955  df-perpg 28957  df-hpg 29021  df-mid 29064  df-lmi 29065  df-cgra 29100

This theorem is referenced by: (None)