MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acopy Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acopy 26143
Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dfcgra2.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a (𝜑𝐴𝑃)
dfcgra2.b (𝜑𝐵𝑃)
dfcgra2.c (𝜑𝐶𝑃)
dfcgra2.d (𝜑𝐷𝑃)
dfcgra2.e (𝜑𝐸𝑃)
dfcgra2.f (𝜑𝐹𝑃)
acopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
Assertion
Ref Expression
acopy (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Proof of Theorem acopy
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcgra2.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 dfcgra2.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 dfcgra2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 acopy.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2826 . . . 4 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
6 dfcgra2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 dfcgra2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
98ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐴𝑃)
10 dfcgra2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1110ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐵𝑃)
12 dfcgra2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1312ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 787 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝑃)
15 dfcgra2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
1615ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐸𝑃)
17 dfcgra2.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑃)
1817ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐹𝑃)
19 acopy.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
2019ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
21 dfcgra2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
2221ad2antrr 719 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐷𝑃)
23 acopy.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
2423ad2antrr 719 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
25 simprl 789 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
261, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 4, 25hlln 25920 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
271, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 25hlne1 25918 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝐸)
281, 3, 4, 7, 22, 16, 18, 14, 24, 26, 27ncolncol 25959 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
29 simprr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))
3029eqcomd 2832 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝑑))
311, 2, 3, 7, 11, 9, 16, 14, 30tgcgrcomlr 25793 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐴 𝐵) = (𝑑 𝐸))
321, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 28, 31trgcopy 26114 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
337ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
349ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝑃)
3511ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝑃)
3613ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐶𝑃)
3714ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑𝑃)
3816ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐸𝑃)
39 simplr 787 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑓𝑃)
401, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 19ncolne1 25938 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4140ad4antr 726 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝐵)
421, 4, 3, 6, 10, 12, 8, 19ncolrot1 25875 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
431, 3, 4, 6, 10, 12, 8, 42ncolne1 25938 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐶)
4443ad4antr 726 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝐶)
45 simpr 479 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
461, 3, 33, 5, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45cgrcgra 26131 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
4722ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷𝑃)
4825ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
491, 3, 5, 37, 47, 38, 33, 48hlcomd 25917 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
501, 3, 5, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 46, 47, 49cgrahl1 26126 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
5150ex 403 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩))
52 simpr 479 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
537ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5414ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝑃)
5516ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸𝑃)
5627ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝐸)
571, 3, 4, 6, 21, 15, 17, 23ncolne1 25938 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐸)
581, 3, 4, 6, 21, 15, 57tgelrnln 25943 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
5958ad4antr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
6026ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
611, 3, 4, 6, 21, 15, 57tglinerflx2 25947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
6261ad4antr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
631, 3, 4, 53, 54, 55, 56, 56, 59, 60, 62tglinethru 25949 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
6463fveq2d 6438 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
6564breqd 4885 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
6652, 65mpbird 249 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
6766ex 403 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
6851, 67anim12d 604 . . . 4 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
6968reximdva 3226 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
7032, 69mpd 15 . 2 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
7140necomd 3055 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
721, 3, 5, 15, 10, 8, 6, 21, 2, 57, 71hlcgrex 25929 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑃 (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴)))
7370, 72r19.29a 3289 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wrex 3119   class class class wbr 4874  ran crn 5344  cfv 6124  (class class class)co 6906  ⟨“cs3 13964  Basecbs 16223  distcds 16315  TarskiGcstrkg 25743  Itvcitv 25749  LineGclng 25750  cgrGccgrg 25823  hlGchlg 25913  hpGchpg 26067  cgrAccgra 26117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-s1 13657  df-s2 13970  df-s3 13971  df-trkgc 25761  df-trkgb 25762  df-trkgcb 25763  df-trkgld 25765  df-trkg 25766  df-cgrg 25824  df-ismt 25846  df-leg 25896  df-hlg 25914  df-mir 25966  df-rag 26007  df-perpg 26009  df-hpg 26068  df-mid 26084  df-lmi 26085  df-cgra 26118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator