MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acopy Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acopy 26546
Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dfcgra2.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a (𝜑𝐴𝑃)
dfcgra2.b (𝜑𝐵𝑃)
dfcgra2.c (𝜑𝐶𝑃)
dfcgra2.d (𝜑𝐷𝑃)
dfcgra2.e (𝜑𝐸𝑃)
dfcgra2.f (𝜑𝐹𝑃)
acopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
Assertion
Ref Expression
acopy (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Proof of Theorem acopy
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcgra2.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 dfcgra2.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 dfcgra2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 acopy.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2818 . . . 4 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
6 dfcgra2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 dfcgra2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
98ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐴𝑃)
10 dfcgra2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1110ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐵𝑃)
12 dfcgra2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1312ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 765 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝑃)
15 dfcgra2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
1615ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐸𝑃)
17 dfcgra2.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑃)
1817ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐹𝑃)
19 acopy.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
2019ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
21 dfcgra2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
2221ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐷𝑃)
23 acopy.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
2423ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
25 simprl 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
261, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 4, 25hlln 26320 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
271, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 25hlne1 26318 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝐸)
281, 3, 4, 7, 22, 16, 18, 14, 24, 26, 27ncolncol 26359 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
29 simprr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))
3029eqcomd 2824 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝑑))
311, 2, 3, 7, 11, 9, 16, 14, 30tgcgrcomlr 26193 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐴 𝐵) = (𝑑 𝐸))
321, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 28, 31trgcopy 26517 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
337ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
349ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝑃)
3511ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝑃)
3613ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐶𝑃)
3714ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑𝑃)
3816ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐸𝑃)
39 simplr 765 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑓𝑃)
401, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 19ncolne1 26338 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4140ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝐵)
421, 4, 3, 6, 10, 12, 8, 19ncolrot1 26275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
431, 3, 4, 6, 10, 12, 8, 42ncolne1 26338 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐶)
4443ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝐶)
45 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
461, 3, 33, 5, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45cgrcgra 26534 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
4722ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷𝑃)
4825ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
491, 3, 5, 37, 47, 38, 33, 48hlcomd 26317 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
501, 3, 5, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 46, 47, 49cgrahl1 26529 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
5150ex 413 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩))
52 simpr 485 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
537ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5414ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝑃)
5516ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸𝑃)
5627ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝐸)
571, 3, 4, 6, 21, 15, 17, 23ncolne1 26338 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐸)
581, 3, 4, 6, 21, 15, 57tgelrnln 26343 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
5958ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
6026ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
611, 3, 4, 6, 21, 15, 57tglinerflx2 26347 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
6261ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
631, 3, 4, 53, 54, 55, 56, 56, 59, 60, 62tglinethru 26349 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
6463fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
6564breqd 5068 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
6652, 65mpbird 258 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
6766ex 413 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
6851, 67anim12d 608 . . . 4 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
6968reximdva 3271 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
7032, 69mpd 15 . 2 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
7140necomd 3068 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
721, 3, 5, 15, 10, 8, 6, 21, 2, 57, 71hlcgrex 26329 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑃 (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴)))
7370, 72r19.29a 3286 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136   class class class wbr 5057  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7145  ⟨“cs3 14192  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  cgrGccgrg 26223  hlGchlg 26313  hpGchpg 26470  cgrAccgra 26520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkgld 26165  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-ismt 26246  df-leg 26296  df-hlg 26314  df-mir 26366  df-rag 26407  df-perpg 26409  df-hpg 26471  df-mid 26487  df-lmi 26488  df-cgra 26521
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator