MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acopy Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acopy 28657
Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dfcgra2.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a (𝜑𝐴𝑃)
dfcgra2.b (𝜑𝐵𝑃)
dfcgra2.c (𝜑𝐶𝑃)
dfcgra2.d (𝜑𝐷𝑃)
dfcgra2.e (𝜑𝐸𝑃)
dfcgra2.f (𝜑𝐹𝑃)
acopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
Assertion
Ref Expression
acopy (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Proof of Theorem acopy
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcgra2.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 dfcgra2.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 dfcgra2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 acopy.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2728 . . . 4 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
6 dfcgra2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 dfcgra2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
98ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐴𝑃)
10 dfcgra2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1110ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐵𝑃)
12 dfcgra2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1312ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 767 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝑃)
15 dfcgra2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
1615ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐸𝑃)
17 dfcgra2.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑃)
1817ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐹𝑃)
19 acopy.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
2019ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
21 dfcgra2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
2221ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝐷𝑃)
23 acopy.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
2423ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
25 simprl 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
261, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 4, 25hlln 28431 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
271, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 25hlne1 28429 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → 𝑑𝐸)
281, 3, 4, 7, 22, 16, 18, 14, 24, 26, 27ncolncol 28470 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
29 simprr 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))
3029eqcomd 2734 . . . . 5 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝑑))
311, 2, 3, 7, 11, 9, 16, 14, 30tgcgrcomlr 28304 . . . 4 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (𝐴 𝐵) = (𝑑 𝐸))
321, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 28, 31trgcopy 28628 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
337ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
349ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝑃)
3511ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝑃)
3613ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐶𝑃)
3714ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑𝑃)
3816ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐸𝑃)
39 simplr 767 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑓𝑃)
401, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 19ncolne1 28449 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4140ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴𝐵)
421, 4, 3, 6, 10, 12, 8, 19ncolrot1 28386 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
431, 3, 4, 6, 10, 12, 8, 42ncolne1 28449 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐶)
4443ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵𝐶)
45 simpr 483 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
461, 3, 33, 5, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45cgrcgra 28645 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
4722ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷𝑃)
4825ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
491, 3, 5, 37, 47, 38, 33, 48hlcomd 28428 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
501, 3, 5, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 46, 47, 49cgrahl1 28640 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
5150ex 411 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩))
52 simpr 483 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
537ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5414ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝑃)
5516ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸𝑃)
5627ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑𝐸)
571, 3, 4, 6, 21, 15, 17, 23ncolne1 28449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐸)
581, 3, 4, 6, 21, 15, 57tgelrnln 28454 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
5958ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
6026ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
611, 3, 4, 6, 21, 15, 57tglinerflx2 28458 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
6261ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
631, 3, 4, 53, 54, 55, 56, 56, 59, 60, 62tglinethru 28460 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
6463fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
6564breqd 5163 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
6652, 65mpbird 256 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
6766ex 411 . . . . 5 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
6851, 67anim12d 607 . . . 4 ((((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) ∧ 𝑓𝑃) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
6968reximdva 3165 . . 3 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → (∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
7032, 69mpd 15 . 2 (((𝜑𝑑𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴))) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
7140necomd 2993 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
721, 3, 5, 15, 10, 8, 6, 21, 2, 57, 71hlcgrex 28440 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑃 (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 𝑑) = (𝐵 𝐴)))
7370, 72r19.29a 3159 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wrex 3067   class class class wbr 5152  ran crn 5683  cfv 6553  (class class class)co 7426  ⟨“cs3 14833  Basecbs 17187  distcds 17249  TarskiGcstrkg 28251  Itvcitv 28257  LineGclng 28258  cgrGccgrg 28334  hlGchlg 28424  hpGchpg 28581  cgrAccgra 28631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-trkgc 28272  df-trkgb 28273  df-trkgcb 28274  df-trkgld 28276  df-trkg 28277  df-cgrg 28335  df-ismt 28357  df-leg 28407  df-hlg 28425  df-mir 28477  df-rag 28518  df-perpg 28520  df-hpg 28582  df-mid 28598  df-lmi 28599  df-cgra 28632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator