Theorem acopy 28796

Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
acopy.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
acopy	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))

Distinct variable groups:   − ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Proof of Theorem acopy

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		dfcgra2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		acopy.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
6		dfcgra2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		dfcgra2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		dfcgra2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
15		dfcgra2.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
16	15	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
17		dfcgra2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
18	17	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
19		acopy.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
20	19	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
21		dfcgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
22	21	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
23		acopy.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
24	23	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
25		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
26	1, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 4, 25	hlln 28570	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
27	1, 3, 5, 14, 22, 16, 7, 25	hlne1 28568	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ≠ 𝐸)
28	1, 3, 4, 7, 22, 16, 18, 14, 24, 26, 27	ncolncol 28609	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
29		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
30	29	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝑑))
31	1, 2, 3, 7, 11, 9, 16, 14, 30	tgcgrcomlr 28443	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
32	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 28, 31	trgcopy 28767	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
33	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
34	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
35	11	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑 ∈ 𝑃)
38	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
39		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑓 ∈ 𝑃)
40	1, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 19	ncolne1 28588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
41	40	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
42	1, 4, 3, 6, 10, 12, 8, 19	ncolrot1 28525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
43	1, 3, 4, 6, 10, 12, 8, 42	ncolne1 28588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
44	43	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐵 ≠ 𝐶)
45		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
46	1, 3, 33, 5, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45	cgrcgra 28784	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
47	22	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
48	25	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
49	1, 3, 5, 37, 47, 38, 33, 48	hlcomd 28567	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
50	1, 3, 5, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 46, 47, 49	cgrahl1 28779	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
51	50	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩))
52		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
53	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ 𝑃)
55	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ 𝑃)
56	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ≠ 𝐸)
57	1, 3, 4, 6, 21, 15, 17, 23	ncolne1 28588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
58	1, 3, 4, 6, 21, 15, 57	tgelrnln 28593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
59	58	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
60	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
61	1, 3, 4, 6, 21, 15, 57	tglinerflx2 28597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
62	61	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
63	1, 3, 4, 53, 54, 55, 56, 56, 59, 60, 62	tglinethru 28599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
64	63	fveq2d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
65	64	breqd 5106	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹 ↔ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹))
66	52, 65	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
67	66	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → (𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹 → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
68	51, 67	anim12d 609	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
69	68	reximdva 3142	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
70	32, 69	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
71	40	necomd 2980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
72	1, 3, 5, 15, 10, 8, 6, 21, 2, 57, 71	hlcgrex 28579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
73	70, 72	r19.29a 3137	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ⟨“cs3 14767  Basecbs 17138  distcds 17188  TarskiGcstrkg 28390  Itvcitv 28396  LineGclng 28397  cgrGccgrg 28473  hlGchlg 28563  hpGchpg 28720  cgrAccgra 28770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774  df-trkgc 28411  df-trkgb 28412  df-trkgcb 28413  df-trkgld 28415  df-trkg 28416  df-cgrg 28474  df-ismt 28496  df-leg 28546  df-hlg 28564  df-mir 28616  df-rag 28657  df-perpg 28659  df-hpg 28721  df-mid 28737  df-lmi 28738  df-cgra 28771

This theorem is referenced by: (None)