MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ellim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ellim 6246
Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
0ellim (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim
StepHypRef Expression
1 nlim0 6242 . . . 4 ¬ Lim ∅
2 limeq 6196 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
31, 2mtbiri 328 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
43necon2ai 3042 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 limord 6243 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
6 ord0eln0 6238 . . 3 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
75, 6syl 17 . 2 (Lim 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
84, 7mpbird 258 1 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  c0 4288  Ord word 6183  Lim wlim 6185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-ord 6187  df-lim 6189
This theorem is referenced by:  limuni3  7556  peano1  7590  oe1m  8160  oalimcl  8175  oaass  8176  oarec  8177  omlimcl  8193  odi  8194  oen0  8201  oewordri  8207  oelim2  8210  oeoalem  8211  oeoelem  8213  limensuci  8681  rankxplim2  9297  rankxplim3  9298  r1limwun  10146
  Copyright terms: Public domain W3C validator