Theorem 0ellim 6427

Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0ellim	⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6423	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6376	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 326	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2970	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		limord 6424	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
6		ord0eln0 6419	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	4, 7	mpbird 256	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  Ord word 6363  Lim wlim 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-lim 6369

This theorem is referenced by:  limuni3  7843  peano1  7881  peano1OLD  7882  oe1m  8547  oalimcl  8562  oaass  8563  oarec  8564  omlimcl  8580  odi  8581  oen0  8588  oewordri  8594  oelim2  8597  oeoalem  8598  oeoelem  8600  limensuci  9155  rankxplim2  9877  rankxplim3  9878  r1limwun  10733  omlimcl2  42293  oe0suclim  42329