Theorem 0ellim 6449

Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0ellim	⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6445	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6398	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2968	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		limord 6446	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
6		ord0eln0 6441	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	4, 7	mpbird 257	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  Ord word 6385  Lim wlim 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-lim 6391

This theorem is referenced by:  limuni3  7873  peano1  7911  peano1OLD  7912  oe1m  8582  oalimcl  8597  oaass  8598  oarec  8599  omlimcl  8615  odi  8616  oen0  8623  oewordri  8629  oelim2  8632  oeoalem  8633  oeoelem  8635  limensuci  9192  rankxplim2  9918  rankxplim3  9919  r1limwun  10774  constr01  33747  omlimcl2  43231  oe0suclim  43267