Theorem 0ellim 6453

Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0ellim	⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim2 6447	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
2	1	simp2bi 1164	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  ∪ cuni 4872  Ord word 6387  Lim wlim 6389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-lim 6393

This theorem is used by:  limuni3  7897  peano1  7934  oe1m  8591  oalimcl  8606  oaass  8607  oarec  8608  omlimcl  8624  odi  8625  oen0  8633  oewordri  8639  oelim2  8642  oeoalem  8643  oeoelem  8645  limensuci  9210  rankxplim2  9934  rankxplim3  9935  rankfilimbi  9939  r1limwun  10860  constr01  34485  r11  35850  omlimcl2  44505  oe0suclim  44540