Theorem 0ellim 6389

Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0ellim	⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim2 6383	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
2	1	simp2bi 1147	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  Ord word 6324  Lim wlim 6326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-lim 6330

This theorem is referenced by:  limuni3  7804  peano1  7841  oe1m  8482  oalimcl  8497  oaass  8498  oarec  8499  omlimcl  8515  odi  8516  oen0  8524  oewordri  8530  oelim2  8533  oeoalem  8534  oeoelem  8536  limensuci  9093  rankxplim2  9804  rankxplim3  9805  r1limwun  10659  constr01  33919  r11  35269  rankfilimbi  35276  omlimcl2  43596  oe0suclim  43631