Theorem 0ellim 6381

Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0ellim	⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim2 6375	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
2	1	simp2bi 1146	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285  ∪ cuni 4863  Ord word 6316  Lim wlim 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-lim 6322

This theorem is referenced by:  limuni3  7794  peano1  7831  oe1m  8472  oalimcl  8487  oaass  8488  oarec  8489  omlimcl  8505  odi  8506  oen0  8514  oewordri  8520  oelim2  8523  oeoalem  8524  oeoelem  8526  limensuci  9081  rankxplim2  9792  rankxplim3  9793  r1limwun  10647  constr01  33899  r11  35250  rankfilimbi  35257  omlimcl2  43484  oe0suclim  43519