MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ellim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ellim 6225
Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
0ellim (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim
StepHypRef Expression
1 nlim0 6221 . . . 4 ¬ Lim ∅
2 limeq 6175 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
31, 2mtbiri 330 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
43necon2ai 3019 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 limord 6222 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
6 ord0eln0 6217 . . 3 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
75, 6syl 17 . 2 (Lim 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
84, 7mpbird 260 1 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  c0 4246  Ord word 6162  Lim wlim 6164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-ord 6166  df-lim 6168
This theorem is referenced by:  limuni3  7551  peano1  7585  oe1m  8158  oalimcl  8173  oaass  8174  oarec  8175  omlimcl  8191  odi  8192  oen0  8199  oewordri  8205  oelim2  8208  oeoalem  8209  oeoelem  8211  limensuci  8681  rankxplim2  9297  rankxplim3  9298  r1limwun  10151
  Copyright terms: Public domain W3C validator