Theorem 0ellim 6313

Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0ellim	⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6309	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6263	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 326	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2972	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		limord 6310	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
6		ord0eln0 6305	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	4, 7	mpbird 256	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253  Ord word 6250  Lim wlim 6252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-lim 6256

This theorem is referenced by:  limuni3  7674  peano1  7710  oe1m  8338  oalimcl  8353  oaass  8354  oarec  8355  omlimcl  8371  odi  8372  oen0  8379  oewordri  8385  oelim2  8388  oeoalem  8389  oeoelem  8391  limensuci  8889  rankxplim2  9569  rankxplim3  9570  r1limwun  10423