MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1lem2 9130
Description: Lemma for cantnfp1 9132. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem2 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 cantnfp1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
3 iftrue 4434 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
4 cantnfp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐴)
52, 3, 1, 4fvmptd3 6772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
6 cantnfp1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
76ne0d 4254 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
85, 7eqnetrd 3057 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
94adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
10 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑆)
11 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
12 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ On)
13 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ On)
1411, 12, 13cantnfs 9117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
1510, 14mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1615simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
1716ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
189, 17ifcld 4473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
1918, 2fmptd 6859 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
2019ffnd 6492 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
216elexd 3464 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
22 elsuppfn 7825 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
2320, 13, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
241, 8, 23mpbir2and 712 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
25 n0i 4252 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
27 ovexd 7174 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
28 cantnfp1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
29 cantnfp1.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
3011, 12, 13, 10, 1, 4, 29, 2cantnfp1lem1 9129 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
3111, 12, 13, 28, 30cantnfcl 9118 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
3231simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
3328oien 8990 . . . . . . 7 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
3427, 32, 33syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
35 breq1 5036 . . . . . . 7 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
36 ensymb 8544 . . . . . . . 8 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
37 en0 8559 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3836, 37bitri 278 . . . . . . 7 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3935, 38syl6bb 290 . . . . . 6 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
4034, 39syl5ibcom 248 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
4126, 40mtod 201 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
4231simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
43 nnlim 7577 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
45 ioran 981 . . . 4 (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
4641, 44, 45sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
47 nnord 7572 . . . 4 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
48 unizlim 6279 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
4942, 47, 483syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
5046, 49mtbird 328 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = dom 𝑂)
51 orduniorsuc 7529 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5242, 47, 513syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5352ord 861 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5450, 53mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428   cuni 4803   class class class wbr 5033  cmpt 5113   E cep 5432   We wwe 5481  dom cdm 5523  Ord word 6162  Oncon0 6163  Lim wlim 6164  suc csuc 6165   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564   supp csupp 7817  cen 8493   finSupp cfsupp 8821  OrdIsocoi 8961   CNF ccnf 9112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-seqom 8071  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-cnf 9113
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  9131
  Copyright terms: Public domain W3C validator