MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1lem2 9623
Description: Lemma for cantnfp1 9625. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem2 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 cantnfp1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
3 iftrue 4496 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
4 cantnfp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐴)
52, 3, 1, 4fvmptd3 6975 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
6 cantnfp1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
76ne0d 4299 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
85, 7eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
94adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
10 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑆)
11 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
12 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ On)
13 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ On)
1411, 12, 13cantnfs 9610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
1510, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1615simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
1716ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
189, 17ifcld 4536 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
1918, 2fmptd 7066 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
2019ffnd 6673 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
216elexd 3467 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
22 elsuppfn 8106 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
2320, 13, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
241, 8, 23mpbir2and 712 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
25 n0i 4297 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
27 ovexd 7396 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
28 cantnfp1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
29 cantnfp1.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
3011, 12, 13, 10, 1, 4, 29, 2cantnfp1lem1 9622 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
3111, 12, 13, 28, 30cantnfcl 9611 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
3231simpld 496 . . . . . . 7 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
3328oien 9482 . . . . . . 7 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
3427, 32, 33syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
35 breq1 5112 . . . . . . 7 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
36 ensymb 8948 . . . . . . . 8 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
37 en0 8963 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3836, 37bitri 275 . . . . . . 7 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3935, 38bitrdi 287 . . . . . 6 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
4034, 39syl5ibcom 244 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
4126, 40mtod 197 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
4231simprd 497 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
43 nnlim 7820 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
45 ioran 983 . . . 4 (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
4641, 44, 45sylanbrc 584 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
47 nnord 7814 . . . 4 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
48 unizlim 6444 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
4942, 47, 483syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
5046, 49mtbird 325 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = dom 𝑂)
51 orduniorsuc 7769 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5242, 47, 513syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5352ord 863 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5450, 53mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3447  wss 3914  c0 4286  ifcif 4490   cuni 4869   class class class wbr 5109  cmpt 5192   E cep 5540   We wwe 5591  dom cdm 5637  Ord word 6320  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323   Fn wfn 6495  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  ωcom 7806   supp csupp 8096  cen 8886   finSupp cfsupp 9311  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  9624
  Copyright terms: Public domain W3C validator