Theorem cantnfp1lem2 8823

Description: Lemma for cantnfp1 8825. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
cantnfp1.e	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o	⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem2	⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		cantnfp1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
3		iftrue 4285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = 𝑌)
4		cantnfp1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
5	3, 4	fvmptg 6501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
6	1, 2, 5	syl2anc 575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
7		cantnfp1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
8		cantnfs.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9		onelon 5961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ On)
10	8, 2, 9	syl2anc 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ On)
11		on0eln0 5993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ On → (∅ ∈ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ ∅))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ ∅))
13	7, 12	mpbid 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
14	6, 13	eqnetrd 3045	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)
15	2	adantr 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
16		cantnfp1.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
17		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
18		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
19	17, 8, 18	cantnfs 8810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
20	16, 19	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
21	20	simpld 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
22	21	ffvelrnda 6581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
23	15, 22	ifcld 4324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
24	23, 4	fmptd 6606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
25	24	ffnd 6257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
26		0ex 4984	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
28		elsuppfn 7537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
29	25, 18, 27, 28	syl3anc 1483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
30	1, 14, 29	mpbir2and 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
31		n0i 4121	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
33		suppssdm 7542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
34	4, 23	dmmptd 6235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
35	33, 34	syl5sseq 3850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
36	18, 35	ssexd 5000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
37		cantnfp1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
38		cantnfp1.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
39	17, 8, 18, 16, 1, 2, 38, 4	cantnfp1lem1 8822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
40	17, 8, 18, 37, 39	cantnfcl 8811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
41	40	simpld 484	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
42	37	oien 8682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
43	36, 41, 42	syl2anc 575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
44		breq1 4847	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
45		ensymb 8240	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
46		en0 8255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
47	45, 46	bitri 266	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
48	44, 47	syl6bb 278	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
49	43, 48	syl5ibcom 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
50	32, 49	mtod 189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
51	40	simprd 485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
52		nnlim 7308	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
54		ioran 997	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
55	50, 53, 54	sylanbrc 574	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
56		nnord 7303	. . . 4 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
57		unizlim 6057	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
58	51, 56, 57	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
59	55, 58	mtbird 316	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂)
60		orduniorsuc 7260	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
61	51, 56, 60	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
62	61	ord 882	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
63	59, 62	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 865   = wceq 1637   ∈ wcel 2156   ≠ wne 2978  Vcvv 3391   ⊆ wss 3769  ∅c0 4116  ifcif 4279  ∪ cuni 4630   class class class wbr 4844   ↦ cmpt 4923   E cep 5223   We wwe 5269  dom cdm 5311  Ord word 5935  Oncon0 5936  Lim wlim 5937  suc csuc 5938   Fn wfn 6096  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874  ωcom 7295   supp csupp 7529   ≈ cen 8189   finSupp cfsupp 8514  OrdIsocoi 8653   CNF ccnf 8805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-seqom 7779  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-oi 8654  df-cnf 8806

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8824