MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1lem2 8823
Description: Lemma for cantnfp1 8825. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem2 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 cantnfp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐴)
3 iftrue 4285 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
4 cantnfp1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
53, 4fvmptg 6501 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑌𝐴) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
61, 2, 5syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7 cantnfp1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
8 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 onelon 5961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ On)
108, 2, 9syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ On)
11 on0eln0 5993 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ On → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
137, 12mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
146, 13eqnetrd 3045 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
152adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
16 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑆)
17 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
18 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ On)
1917, 8, 18cantnfs 8810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
2016, 19mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
2120simpld 484 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2221ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
2315, 22ifcld 4324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
2423, 4fmptd 6606 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
2524ffnd 6257 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
26 0ex 4984 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
28 elsuppfn 7537 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
2925, 18, 27, 28syl3anc 1483 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
301, 14, 29mpbir2and 695 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
31 n0i 4121 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
33 suppssdm 7542 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
344, 23dmmptd 6235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
3533, 34syl5sseq 3850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
3618, 35ssexd 5000 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
37 cantnfp1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
38 cantnfp1.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
3917, 8, 18, 16, 1, 2, 38, 4cantnfp1lem1 8822 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
4017, 8, 18, 37, 39cantnfcl 8811 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
4140simpld 484 . . . . . . 7 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
4237oien 8682 . . . . . . 7 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
4336, 41, 42syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
44 breq1 4847 . . . . . . 7 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
45 ensymb 8240 . . . . . . . 8 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
46 en0 8255 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
4745, 46bitri 266 . . . . . . 7 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
4844, 47syl6bb 278 . . . . . 6 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
4943, 48syl5ibcom 236 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
5032, 49mtod 189 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
5140simprd 485 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
52 nnlim 7308 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
5351, 52syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
54 ioran 997 . . . 4 (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
5550, 53, 54sylanbrc 574 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
56 nnord 7303 . . . 4 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
57 unizlim 6057 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
5851, 56, 573syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
5955, 58mtbird 316 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = dom 𝑂)
60 orduniorsuc 7260 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6151, 56, 603syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6261ord 882 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6359, 62mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  Vcvv 3391  wss 3769  c0 4116  ifcif 4279   cuni 4630   class class class wbr 4844  cmpt 4923   E cep 5223   We wwe 5269  dom cdm 5311  Ord word 5935  Oncon0 5936  Lim wlim 5937  suc csuc 5938   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  ωcom 7295   supp csupp 7529  cen 8189   finSupp cfsupp 8514  OrdIsocoi 8653   CNF ccnf 8805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-seqom 7779  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-oi 8654  df-cnf 8806
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8824
  Copyright terms: Public domain W3C validator