MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1lem2 9719
Description: Lemma for cantnfp1 9721. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem2 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 cantnfp1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
3 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
4 cantnfp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐴)
52, 3, 1, 4fvmptd3 7039 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
6 cantnfp1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
76ne0d 4342 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
85, 7eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
94adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
10 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑆)
11 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
12 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ On)
13 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ On)
1411, 12, 13cantnfs 9706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
1510, 14mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1615simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
1716ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
189, 17ifcld 4572 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
1918, 2fmptd 7134 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
2019ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
216elexd 3504 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
22 elsuppfn 8195 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
2320, 13, 21, 22syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
241, 8, 23mpbir2and 713 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
25 n0i 4340 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
27 ovexd 7466 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
28 cantnfp1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
29 cantnfp1.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
3011, 12, 13, 10, 1, 4, 29, 2cantnfp1lem1 9718 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
3111, 12, 13, 28, 30cantnfcl 9707 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
3231simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
3328oien 9578 . . . . . . 7 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
3427, 32, 33syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
35 breq1 5146 . . . . . . 7 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
36 ensymb 9042 . . . . . . . 8 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
37 en0 9058 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3836, 37bitri 275 . . . . . . 7 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3935, 38bitrdi 287 . . . . . 6 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
4034, 39syl5ibcom 245 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
4126, 40mtod 198 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
4231simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
43 nnlim 7901 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
45 ioran 986 . . . 4 (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
4641, 44, 45sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
47 nnord 7895 . . . 4 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
48 unizlim 6507 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
4942, 47, 483syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
5046, 49mtbird 325 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = dom 𝑂)
51 orduniorsuc 7850 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5242, 47, 513syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5352ord 865 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
5450, 53mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225   E cep 5583   We wwe 5636  dom cdm 5685  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  suc csuc 6386   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887   supp csupp 8185  cen 8982   finSupp cfsupp 9401  OrdIsocoi 9549   CNF ccnf 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-cnf 9702
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  9720
  Copyright terms: Public domain W3C validator