Theorem cantnfp1lem2 9717

Description: Lemma for cantnfp1 9719. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
cantnfp1.e	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o	⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem2	⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		cantnfp1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
3		iftrue 4537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = 𝑌)
4		cantnfp1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 1, 4	fvmptd3 7039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
6		cantnfp1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
7	6	ne0d 4348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
8	5, 7	eqnetrd 3006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)
9	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
10		cantnfp1.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
11		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
12		cantnfs.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
13		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
14	11, 12, 13	cantnfs 9704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
15	10, 14	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
17	16	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
18	9, 17	ifcld 4577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
19	18, 2	fmptd 7134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
20	19	ffnd 6738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
21	6	elexd 3502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
22		elsuppfn 8194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
23	20, 13, 21, 22	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
24	1, 8, 23	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
25		n0i 4346	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
27		ovexd 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
28		cantnfp1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
29		cantnfp1.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
30	11, 12, 13, 10, 1, 4, 29, 2	cantnfp1lem1 9716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
31	11, 12, 13, 28, 30	cantnfcl 9705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
32	31	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
33	28	oien 9576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
34	27, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
35		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
36		ensymb 9041	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
37		en0 9057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
38	36, 37	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
39	35, 38	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
40	34, 39	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
41	26, 40	mtod 198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
42	31	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
43		nnlim 7901	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
45		ioran 985	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
46	41, 44, 45	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
47		nnord 7895	. . . 4 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
48		unizlim 6509	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
49	42, 47, 48	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
50	46, 49	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂)
51		orduniorsuc 7850	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
52	42, 47, 51	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
53	52	ord 864	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
54	50, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   E cep 5588   We wwe 5640  dom cdm 5689  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  suc csuc 6388   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887   supp csupp 8184   ≈ cen 8981   finSupp cfsupp 9399  OrdIsocoi 9547   CNF ccnf 9699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-cnf 9700

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  9718