Theorem cantnfp1lem2 9693

Description: Lemma for cantnfp1 9695. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
cantnfp1.e	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o	⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem2	⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		cantnfp1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
3		iftrue 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = 𝑌)
4		cantnfp1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 1, 4	fvmptd3 7009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
6		cantnfp1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
7	6	ne0d 4317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
8	5, 7	eqnetrd 2999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)
9	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
10		cantnfp1.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
11		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
12		cantnfs.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
13		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
14	11, 12, 13	cantnfs 9680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
15	10, 14	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
17	16	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
18	9, 17	ifcld 4547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
19	18, 2	fmptd 7104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
20	19	ffnd 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
21	6	elexd 3483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
22		elsuppfn 8169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
23	20, 13, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
24	1, 8, 23	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
25		n0i 4315	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
27		ovexd 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
28		cantnfp1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
29		cantnfp1.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
30	11, 12, 13, 10, 1, 4, 29, 2	cantnfp1lem1 9692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
31	11, 12, 13, 28, 30	cantnfcl 9681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
32	31	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
33	28	oien 9552	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
34	27, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
35		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
36		ensymb 9016	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
37		en0 9032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
38	36, 37	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
39	35, 38	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
40	34, 39	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
41	26, 40	mtod 198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
42	31	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
43		nnlim 7875	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
45		ioran 985	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
46	41, 44, 45	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
47		nnord 7869	. . . 4 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
48		unizlim 6477	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
49	42, 47, 48	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
50	46, 49	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂)
51		orduniorsuc 7824	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
52	42, 47, 51	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
53	52	ord 864	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
54	50, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ifcif 4500  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   E cep 5552   We wwe 5605  dom cdm 5654  Ord word 6351  Oncon0 6352  Lim wlim 6353  suc csuc 6354   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ωcom 7861   supp csupp 8159   ≈ cen 8956   finSupp cfsupp 9373  OrdIsocoi 9523   CNF ccnf 9675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-seqom 8462  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-cnf 9676

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  9694