Theorem cantnfp1lem2 9283

Description: Lemma for cantnfp1 9285. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
cantnfp1.e	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o	⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem2	⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		cantnfp1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
3		iftrue 4435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = 𝑌)
4		cantnfp1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 1, 4	fvmptd3 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
6		cantnfp1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
7	6	ne0d 4240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
8	5, 7	eqnetrd 3002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)
9	4	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
10		cantnfp1.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
11		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
12		cantnfs.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
13		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
14	11, 12, 13	cantnfs 9270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
15	10, 14	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
16	15	simpld 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
17	16	ffvelrnda 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
18	9, 17	ifcld 4475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
19	18, 2	fmptd 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
20	19	ffnd 6535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
21	6	elexd 3421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
22		elsuppfn 7902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
23	20, 13, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
24	1, 8, 23	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
25		n0i 4238	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
27		ovexd 7237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
28		cantnfp1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
29		cantnfp1.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
30	11, 12, 13, 10, 1, 4, 29, 2	cantnfp1lem1 9282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
31	11, 12, 13, 28, 30	cantnfcl 9271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
32	31	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
33	28	oien 9143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
34	27, 32, 33	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
35		breq1 5046	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
36		ensymb 8665	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
37		en0 8680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
38	36, 37	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
39	35, 38	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
40	34, 39	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
41	26, 40	mtod 201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
42	31	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
43		nnlim 7647	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
45		ioran 984	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
46	41, 44, 45	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
47		nnord 7641	. . . 4 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
48		unizlim 6319	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
49	42, 47, 48	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
50	46, 49	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂)
51		orduniorsuc 7598	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
52	42, 47, 51	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
53	52	ord 864	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
54	50, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  Vcvv 3401   ⊆ wss 3857  ∅c0 4227  ifcif 4429  ∪ cuni 4809   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124   E cep 5448   We wwe 5497  dom cdm 5540  Ord word 6201  Oncon0 6202  Lim wlim 6203  suc csuc 6204   Fn wfn 6364  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ωcom 7633   supp csupp 7892   ≈ cen 8612   finSupp cfsupp 8974  OrdIsocoi 9114   CNF ccnf 9265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-seqom 8173  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-oi 9115  df-cnf 9266

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  9284