Theorem cnfcom2lem 9666

Description: Lemma for cnfcom2 9667. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	⊢ 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cnfcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f	⊢ 𝐹 = (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h	⊢ 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t	⊢ 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m	⊢ 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺‘𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
cnfcom.k	⊢ 𝐾 = ((𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ ◡(𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w	⊢ 𝑊 = (𝐺‘∪ dom 𝐺)
cnfcom2.1	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnfcom2lem	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
2		n0i 4301	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = ∅)
4		cnfcom.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5		cnfcom.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6		omelon 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ω ∈ On
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ω ∈ On)
8		cnfcom.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9	5, 7, 8	cantnff1o 9661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
10		f1ocnv 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto→𝑆)
11		f1of 6818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto→𝑆 → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
13		cnfcom.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
14	12, 13	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
15	4, 14	eqeltrid 2873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
16	5, 7, 8	cantnfs 9631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
17	15, 16	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
18	17	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ω)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶ω)
20	19	feqmptd 6947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
21		dif0 4340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
22	21	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
23		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 = ∅)
24		ovexd 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
25		cnfcom.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
26	5, 7, 8, 25, 15	cantnfcl 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
27	26	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
28	25	oien 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
29	24, 27, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
31	23, 30	eqbrtrrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ≈ (𝐹 supp ∅))
32	31	ensymd 8998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
33		en0 9011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
34	32, 33	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) = ∅)
35		ss0b 4364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
36	34, 35	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ ∅)
37	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
38		0ex 5269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ∈ V)
40	19, 36, 37, 39	suppssr 8187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
41	22, 40	sylan2br 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
42	41	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅))
43	20, 42	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅))
44		fconstmpt 5721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {∅}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅)
45	43, 44	eqtr4di 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝐴 × {∅}))
46	45	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})))
47	4	fveq2i 6882	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵))
48		f1ocnvfv2 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
49	9, 13, 48	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
50	47, 49	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
51	50	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
52		peano1 7881	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
54	5, 7, 8, 53	cantnf0 9640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
55	54	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
56	46, 51, 55	3eqtr3d 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐵 = ∅)
57	3, 56	mtand 827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∅)
58		nnlim 7872	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐺 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝐺)
59	26, 58	simpl2im 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝐺)
60		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺) ↔ (¬ dom 𝐺 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝐺))
61	57, 59, 60	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
62	25	oicl 9487	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐺
63		unizlim 6482	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺)))
64	62, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
65	61, 64	sylnibr 332	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺)
66		orduniorsuc 7822	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
67	62, 66	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
68	67	ord 877	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
69	65, 68	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   E cep 5558   We wwe 5611   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  Ord word 6356  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  suc csuc 6359  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ωcom 7858   supp csupp 8152  seq_ωcseqom 8430   +_o coa 8446   ·_o comu 8447   ↑_o coe 8448   ≈ cen 8936   finSupp cfsupp 9317  OrdIsocoi 9467   CNF ccnf 9626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-seqom 8431  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-oexp 8455  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-cnf 9627

This theorem is referenced by:  cnfcom2  9667  cnfcom3lem  9668  cnfcom3  9669