MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom2lem 9696
Description: Lemma for cnfcom2 9697. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cnfcom.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
cnfcom.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
cnfcom.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom2.1 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2lem (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘ง,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘“)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem cnfcom2lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom2.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
2 n0i 4334 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
6 omelon 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ฯ‰ โˆˆ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
8 cnfcom.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
95, 7, 8cantnff1o 9691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
10 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
11 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
13 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
1412, 13ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต) โˆˆ ๐‘†)
154, 14eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
165, 7, 8cantnfs 9661 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โ†” (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
1715, 16mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…))
1817simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
1918adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
2019feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
21 dif0 4373 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆ– โˆ…) = ๐ด
2221eleq2i 2826 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆ– โˆ…) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ dom ๐บ = โˆ…)
24 ovexd 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โˆˆ V)
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
265, 7, 8, 25, 15cantnfcl 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ( E We (๐น supp โˆ…) โˆง dom ๐บ โˆˆ ฯ‰))
2726simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ E We (๐น supp โˆ…))
2825oien 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โˆง E We (๐น supp โˆ…)) โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
2924, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3123, 30eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ โˆ… โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3231ensymd 9001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โ‰ˆ โˆ…)
33 en0 9013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐น supp โˆ…) โ‰ˆ โˆ… โ†” (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
35 ss0b 4398 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น supp โˆ…) โŠ† โˆ… โ†” (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
3634, 35sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† โˆ…)
378adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
38 0ex 5308 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ V)
4019, 36, 37, 39suppssr 8181 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆ– โˆ…)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
4122, 40sylan2br 596 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
4241mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…))
4320, 42eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…))
44 fconstmpt 5739 . . . . . . . 8 (๐ด ร— {โˆ…}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…)
4543, 44eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐ด ร— {โˆ…}))
4645fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})))
474fveq2i 6895 . . . . . . . 8 ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต))
48 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . 9 (((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด)) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
499, 13, 48syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
5047, 49eqtrid 2785 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ๐ต)
5150adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ๐ต)
52 peano1 7879 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ ฯ‰
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
545, 7, 8, 53cantnf0 9670 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})) = โˆ…)
5554adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})) = โˆ…)
5646, 51, 553eqtr3d 2781 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐ต = โˆ…)
573, 56mtand 815 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ dom ๐บ = โˆ…)
58 nnlim 7869 . . . . 5 (dom ๐บ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ยฌ Lim dom ๐บ)
5926, 58simpl2im 505 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ Lim dom ๐บ)
60 ioran 983 . . . 4 (ยฌ (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ) โ†” (ยฌ dom ๐บ = โˆ… โˆง ยฌ Lim dom ๐บ))
6157, 59, 60sylanbrc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ))
6225oicl 9524 . . . 4 Ord dom ๐บ
63 unizlim 6488 . . . 4 (Ord dom ๐บ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†” (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ)))
6462, 63ax-mp 5 . . 3 (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†” (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ))
6561, 64sylnibr 329 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ dom ๐บ = โˆช dom ๐บ)
66 orduniorsuc 7818 . . . 4 (Ord dom ๐บ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โˆจ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6762, 66mp1i 13 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โˆจ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6867ord 863 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6965, 68mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  {csn 4629  โˆช cuni 4909   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   E cep 5580   We wwe 5631   ร— cxp 5675  โ—กccnv 5676  dom cdm 5677  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  โŸถwf 6540  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411  ฯ‰com 7855   supp csupp 8146  seqฯ‰cseqom 8447   +o coa 8463   ยทo comu 8464   โ†‘o coe 8465   โ‰ˆ cen 8936   finSupp cfsupp 9361  OrdIsocoi 9504   CNF ccnf 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-oexp 8472  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-cnf 9657
This theorem is referenced by:  cnfcom2  9697  cnfcom3lem  9698  cnfcom3  9699
  Copyright terms: Public domain W3C validator