MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom2lem 9645
Description: Lemma for cnfcom2 9646. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cnfcom.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
cnfcom.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
cnfcom.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom2.1 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2lem (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘ง,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘“)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem cnfcom2lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom2.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
2 n0i 4297 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
6 omelon 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ฯ‰ โˆˆ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
8 cnfcom.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
95, 7, 8cantnff1o 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
10 f1ocnv 6800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
11 f1of 6788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
13 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
1412, 13ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต) โˆˆ ๐‘†)
154, 14eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
165, 7, 8cantnfs 9610 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โ†” (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
1715, 16mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…))
1817simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
1918adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
2019feqmptd 6914 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
21 dif0 4336 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆ– โˆ…) = ๐ด
2221eleq2i 2826 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆ– โˆ…) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ dom ๐บ = โˆ…)
24 ovexd 7396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โˆˆ V)
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
265, 7, 8, 25, 15cantnfcl 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ( E We (๐น supp โˆ…) โˆง dom ๐บ โˆˆ ฯ‰))
2726simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ E We (๐น supp โˆ…))
2825oien 9482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โˆง E We (๐น supp โˆ…)) โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
2924, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3123, 30eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ โˆ… โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3231ensymd 8951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โ‰ˆ โˆ…)
33 en0 8963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐น supp โˆ…) โ‰ˆ โˆ… โ†” (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
35 ss0b 4361 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น supp โˆ…) โŠ† โˆ… โ†” (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
3634, 35sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† โˆ…)
378adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
38 0ex 5268 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ V)
4019, 36, 37, 39suppssr 8131 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆ– โˆ…)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
4122, 40sylan2br 596 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
4241mpteq2dva 5209 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…))
4320, 42eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…))
44 fconstmpt 5698 . . . . . . . 8 (๐ด ร— {โˆ…}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…)
4543, 44eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐ด ร— {โˆ…}))
4645fveq2d 6850 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})))
474fveq2i 6849 . . . . . . . 8 ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต))
48 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . . . 9 (((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด)) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
499, 13, 48syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
5047, 49eqtrid 2785 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ๐ต)
5150adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ๐ต)
52 peano1 7829 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ ฯ‰
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
545, 7, 8, 53cantnf0 9619 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})) = โˆ…)
5554adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})) = โˆ…)
5646, 51, 553eqtr3d 2781 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐ต = โˆ…)
573, 56mtand 815 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ dom ๐บ = โˆ…)
58 nnlim 7820 . . . . 5 (dom ๐บ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ยฌ Lim dom ๐บ)
5926, 58simpl2im 505 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ Lim dom ๐บ)
60 ioran 983 . . . 4 (ยฌ (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ) โ†” (ยฌ dom ๐บ = โˆ… โˆง ยฌ Lim dom ๐บ))
6157, 59, 60sylanbrc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ))
6225oicl 9473 . . . 4 Ord dom ๐บ
63 unizlim 6444 . . . 4 (Ord dom ๐บ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†” (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ)))
6462, 63ax-mp 5 . . 3 (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†” (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ))
6561, 64sylnibr 329 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ dom ๐บ = โˆช dom ๐บ)
66 orduniorsuc 7769 . . . 4 (Ord dom ๐บ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โˆจ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6762, 66mp1i 13 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โˆจ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6867ord 863 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6965, 68mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911   โˆช cun 3912   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  {csn 4590  โˆช cuni 4869   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192   E cep 5540   We wwe 5591   ร— cxp 5635  โ—กccnv 5636  dom cdm 5637  Ord word 6320  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  โŸถwf 6496  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6499  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  ฯ‰com 7806   supp csupp 8096  seqฯ‰cseqom 8397   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415   โ‰ˆ cen 8886   finSupp cfsupp 9311  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cnfcom2  9646  cnfcom3lem  9647  cnfcom3  9648
  Copyright terms: Public domain W3C validator