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Theorem cnfcom2lem 9739
Description: Lemma for cnfcom2 9740. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom2.1 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2lem (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom2lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom2.1 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
2 n0i 4346 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐵 = ∅)
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6 omelon 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ω ∈ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ω ∈ On)
8 cnfcom.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ On)
95, 7, 8cantnff1o 9734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
10 f1ocnv 6861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆)
11 f1of 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
13 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
1412, 13ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
154, 14eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹𝑆)
165, 7, 8cantnfs 9704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1715, 16mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1817simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶ω)
2019feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
21 dif0 4384 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
2221eleq2i 2831 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅) ↔ 𝑥𝐴)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 = ∅)
24 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
265, 7, 8, 25, 15cantnfcl 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
2726simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
2825oien 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2924, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3123, 30eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ≈ (𝐹 supp ∅))
3231ensymd 9044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
33 en0 9057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3432, 33sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) = ∅)
35 ss0b 4407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 supp ∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3634, 35sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ ∅)
378adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
38 0ex 5313 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ∈ V)
4019, 36, 37, 39suppssr 8219 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → (𝐹𝑥) = ∅)
4122, 40sylan2br 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = ∅)
4241mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ ∅))
4320, 42eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ∅))
44 fconstmpt 5751 . . . . . . . 8 (𝐴 × {∅}) = (𝑥𝐴 ↦ ∅)
4543, 44eqtr4di 2793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝐴 × {∅}))
4645fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})))
474fveq2i 6910 . . . . . . . 8 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
48 f1ocnvfv2 7297 . . . . . . . . 9 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
499, 13, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5047, 49eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
52 peano1 7911 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
545, 7, 8, 53cantnf0 9713 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
5554adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
5646, 51, 553eqtr3d 2783 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐵 = ∅)
573, 56mtand 816 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∅)
58 nnlim 7901 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝐺)
5926, 58simpl2im 503 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝐺)
60 ioran 985 . . . 4 (¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺) ↔ (¬ dom 𝐺 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝐺))
6157, 59, 60sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
6225oicl 9567 . . . 4 Ord dom 𝐺
63 unizlim 6509 . . . 4 (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺)))
6462, 63ax-mp 5 . . 3 (dom 𝐺 = dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
6561, 64sylnibr 329 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = dom 𝐺)
66 orduniorsuc 7850 . . . 4 (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6762, 66mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6867ord 864 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝐺 = dom 𝐺 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6965, 68mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231   E cep 5588   We wwe 5640   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  suc csuc 6388  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  ωcom 7887   supp csupp 8184  seqωcseqom 8486   +o coa 8502   ·o comu 8503  o coe 8504  cen 8981   finSupp cfsupp 9399  OrdIsocoi 9547   CNF ccnf 9699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-oexp 8511  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-cnf 9700
This theorem is referenced by:  cnfcom2  9740  cnfcom3lem  9741  cnfcom3  9742
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