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Theorem cnfcom2lem 9152
Description: Lemma for cnfcom2 9153. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom2.1 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2lem (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom2lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom2.1 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
2 n0i 4296 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐵 = ∅)
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6 omelon 9097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ω ∈ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ω ∈ On)
8 cnfcom.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ On)
95, 7, 8cantnff1o 9147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
10 f1ocnv 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆)
11 f1of 6608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
13 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
1412, 13ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
154, 14eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹𝑆)
165, 7, 8cantnfs 9117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1715, 16mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1817simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶ω)
2019feqmptd 6726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
21 dif0 4329 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
2221eleq2i 2901 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅) ↔ 𝑥𝐴)
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 = ∅)
24 ovexd 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
265, 7, 8, 25, 15cantnfcl 9118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
2726simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
2825oien 8990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2924, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3123, 30eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ≈ (𝐹 supp ∅))
3231ensymd 8548 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
33 en0 8560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3432, 33sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) = ∅)
35 ss0b 4348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 supp ∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3634, 35sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ ∅)
378adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
38 0ex 5202 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ∈ V)
4019, 36, 37, 39suppssr 7850 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → (𝐹𝑥) = ∅)
4122, 40sylan2br 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = ∅)
4241mpteq2dva 5152 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ ∅))
4320, 42eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ∅))
44 fconstmpt 5607 . . . . . . . 8 (𝐴 × {∅}) = (𝑥𝐴 ↦ ∅)
4543, 44syl6eqr 2871 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝐴 × {∅}))
4645fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})))
474fveq2i 6666 . . . . . . . 8 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
48 f1ocnvfv2 7025 . . . . . . . . 9 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
499, 13, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5047, 49syl5eq 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
5150adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
52 peano1 7590 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
545, 7, 8, 53cantnf0 9126 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
5554adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
5646, 51, 553eqtr3d 2861 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐵 = ∅)
573, 56mtand 812 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∅)
58 nnlim 7582 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝐺)
5926, 58simpl2im 504 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝐺)
60 ioran 977 . . . 4 (¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺) ↔ (¬ dom 𝐺 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝐺))
6157, 59, 60sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
6225oicl 8981 . . . 4 Ord dom 𝐺
63 unizlim 6300 . . . 4 (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺)))
6462, 63ax-mp 5 . . 3 (dom 𝐺 = dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
6561, 64sylnibr 330 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = dom 𝐺)
66 orduniorsuc 7534 . . . 4 (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6762, 66mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6867ord 858 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝐺 = dom 𝐺 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6965, 68mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137   E cep 5457   We wwe 5506   × cxp 5546  ccnv 5547  dom cdm 5548  Ord word 6183  Oncon0 6184  Lim wlim 6185  suc csuc 6186  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  ωcom 7569   supp csupp 7819  seqωcseqom 8072   +o coa 8088   ·o comu 8089  o coe 8090  cen 8494   finSupp cfsupp 8821  OrdIsocoi 8961   CNF ccnf 9112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-seqom 8073  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-oexp 8097  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-cnf 9113
This theorem is referenced by:  cnfcom2  9153  cnfcom3lem  9154  cnfcom3  9155
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