MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom2lem 9695
Description: Lemma for cnfcom2 9696. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cnfcom.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
cnfcom.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
cnfcom.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom2.1 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2lem (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘ง,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘“)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem cnfcom2lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom2.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
2 n0i 4333 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
6 omelon 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ฯ‰ โˆˆ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
8 cnfcom.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
95, 7, 8cantnff1o 9690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
10 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
11 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
13 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
1412, 13ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต) โˆˆ ๐‘†)
154, 14eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
165, 7, 8cantnfs 9660 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โ†” (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
1715, 16mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…))
1817simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
2019feqmptd 6960 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
21 dif0 4372 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆ– โˆ…) = ๐ด
2221eleq2i 2825 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆ– โˆ…) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ dom ๐บ = โˆ…)
24 ovexd 7443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โˆˆ V)
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
265, 7, 8, 25, 15cantnfcl 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ( E We (๐น supp โˆ…) โˆง dom ๐บ โˆˆ ฯ‰))
2726simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ E We (๐น supp โˆ…))
2825oien 9532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โˆง E We (๐น supp โˆ…)) โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
2924, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ dom ๐บ โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3123, 30eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ โˆ… โ‰ˆ (๐น supp โˆ…))
3231ensymd 9000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โ‰ˆ โˆ…)
33 en0 9012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐น supp โˆ…) โ‰ˆ โˆ… โ†” (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
35 ss0b 4397 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น supp โˆ…) โŠ† โˆ… โ†” (๐น supp โˆ…) = โˆ…)
3634, 35sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† โˆ…)
378adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
38 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ V)
4019, 36, 37, 39suppssr 8180 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆ– โˆ…)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
4122, 40sylan2br 595 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
4241mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…))
4320, 42eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…))
44 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (๐ด ร— {โˆ…}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ…)
4543, 44eqtr4di 2790 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐ด ร— {โˆ…}))
4645fveq2d 6895 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})))
474fveq2i 6894 . . . . . . . 8 ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต))
48 f1ocnvfv2 7274 . . . . . . . . 9 (((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด)) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
499, 13, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
5047, 49eqtrid 2784 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ๐ต)
5150adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ๐ต)
52 peano1 7878 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ ฯ‰
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
545, 7, 8, 53cantnf0 9669 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})) = โˆ…)
5554adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(๐ด ร— {โˆ…})) = โˆ…)
5646, 51, 553eqtr3d 2780 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง dom ๐บ = โˆ…) โ†’ ๐ต = โˆ…)
573, 56mtand 814 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ dom ๐บ = โˆ…)
58 nnlim 7868 . . . . 5 (dom ๐บ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ยฌ Lim dom ๐บ)
5926, 58simpl2im 504 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ Lim dom ๐บ)
60 ioran 982 . . . 4 (ยฌ (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ) โ†” (ยฌ dom ๐บ = โˆ… โˆง ยฌ Lim dom ๐บ))
6157, 59, 60sylanbrc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ))
6225oicl 9523 . . . 4 Ord dom ๐บ
63 unizlim 6487 . . . 4 (Ord dom ๐บ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†” (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ)))
6462, 63ax-mp 5 . . 3 (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†” (dom ๐บ = โˆ… โˆจ Lim dom ๐บ))
6561, 64sylnibr 328 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ dom ๐บ = โˆช dom ๐บ)
66 orduniorsuc 7817 . . . 4 (Ord dom ๐บ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โˆจ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6762, 66mp1i 13 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โˆจ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6867ord 862 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ dom ๐บ = โˆช dom ๐บ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ))
6965, 68mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {csn 4628  โˆช cuni 4908   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   E cep 5579   We wwe 5630   ร— cxp 5674  โ—กccnv 5675  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  โŸถwf 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410  ฯ‰com 7854   supp csupp 8145  seqฯ‰cseqom 8446   +o coa 8462   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464   โ‰ˆ cen 8935   finSupp cfsupp 9360  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-cnf 9656
This theorem is referenced by:  cnfcom2  9696  cnfcom3lem  9697  cnfcom3  9698
  Copyright terms: Public domain W3C validator