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Theorem cnfcom2lem 9741
Description: Lemma for cnfcom2 9742. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom2.1 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2lem (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom2lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom2.1 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
2 n0i 4340 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐵 = ∅)
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6 omelon 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ω ∈ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ω ∈ On)
8 cnfcom.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ On)
95, 7, 8cantnff1o 9736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
10 f1ocnv 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆)
11 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
13 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
1412, 13ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
154, 14eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹𝑆)
165, 7, 8cantnfs 9706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1715, 16mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1817simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶ω)
2019feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
21 dif0 4378 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
2221eleq2i 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅) ↔ 𝑥𝐴)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 = ∅)
24 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
265, 7, 8, 25, 15cantnfcl 9707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
2726simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
2825oien 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2924, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3123, 30eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ≈ (𝐹 supp ∅))
3231ensymd 9045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
33 en0 9058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3432, 33sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) = ∅)
35 ss0b 4401 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 supp ∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3634, 35sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ ∅)
378adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
38 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ∈ V)
4019, 36, 37, 39suppssr 8220 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → (𝐹𝑥) = ∅)
4122, 40sylan2br 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = ∅)
4241mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ ∅))
4320, 42eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ∅))
44 fconstmpt 5747 . . . . . . . 8 (𝐴 × {∅}) = (𝑥𝐴 ↦ ∅)
4543, 44eqtr4di 2795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝐴 × {∅}))
4645fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})))
474fveq2i 6909 . . . . . . . 8 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
48 f1ocnvfv2 7297 . . . . . . . . 9 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
499, 13, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5047, 49eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
52 peano1 7910 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
545, 7, 8, 53cantnf0 9715 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
5554adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
5646, 51, 553eqtr3d 2785 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐵 = ∅)
573, 56mtand 816 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∅)
58 nnlim 7901 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝐺)
5926, 58simpl2im 503 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝐺)
60 ioran 986 . . . 4 (¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺) ↔ (¬ dom 𝐺 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝐺))
6157, 59, 60sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
6225oicl 9569 . . . 4 Ord dom 𝐺
63 unizlim 6507 . . . 4 (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺)))
6462, 63ax-mp 5 . . 3 (dom 𝐺 = dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
6561, 64sylnibr 329 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = dom 𝐺)
66 orduniorsuc 7850 . . . 4 (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6762, 66mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6867ord 865 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝐺 = dom 𝐺 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
6965, 68mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225   E cep 5583   We wwe 5636   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  suc csuc 6386  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  ωcom 7887   supp csupp 8185  seqωcseqom 8487   +o coa 8503   ·o comu 8504  o coe 8505  cen 8982   finSupp cfsupp 9401  OrdIsocoi 9549   CNF ccnf 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-cnf 9702
This theorem is referenced by:  cnfcom2  9742  cnfcom3lem  9743  cnfcom3  9744
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