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Theorem cnfcom2lem 8876
 Description: Lemma for cnfcom2 8877. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom2.1 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2lem (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom2lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom2.1 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
2 n0i 4150 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐵 = ∅)
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6 omelon 8821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ω ∈ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ω ∈ On)
8 cnfcom.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ On)
95, 7, 8cantnff1o 8871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
10 f1ocnv 6391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆)
11 f1of 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
13 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
1412, 13ffvelrnd 6610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
154, 14syl5eqel 2911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹𝑆)
165, 7, 8cantnfs 8841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1715, 16mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1817simpld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
1918adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶ω)
2019feqmptd 6497 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
21 dif0 4181 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
2221eleq2i 2899 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅) ↔ 𝑥𝐴)
23 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 = ∅)
24 suppssdm 7573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2524, 18fssdm 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐴)
268, 25ssexd 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
27 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
285, 7, 8, 27, 15cantnfcl 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
2928simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
3027oien 8713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3126, 29, 30syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3231adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
3323, 32eqbrtrrd 4898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ≈ (𝐹 supp ∅))
3433ensymd 8274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
35 en0 8286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3634, 35sylib 210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) = ∅)
37 ss0b 4199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 supp ∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3836, 37sylibr 226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ ∅)
398adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
40 0ex 5015 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ∈ V)
4219, 38, 39, 41suppssr 7592 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → (𝐹𝑥) = ∅)
4322, 42sylan2br 590 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = ∅)
4443mpteq2dva 4968 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ ∅))
4520, 44eqtrd 2862 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ∅))
46 fconstmpt 5399 . . . . . . . 8 (𝐴 × {∅}) = (𝑥𝐴 ↦ ∅)
4745, 46syl6eqr 2880 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝐴 × {∅}))
4847fveq2d 6438 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})))
494fveq2i 6437 . . . . . . . 8 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
50 f1ocnvfv2 6789 . . . . . . . . 9 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
519, 13, 50syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5249, 51syl5eq 2874 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
5352adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
54 peano1 7347 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
565, 7, 8, 55cantnf0 8850 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
5756adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
5848, 53, 573eqtr3d 2870 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐵 = ∅)
593, 58mtand 852 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∅)
6028simprd 491 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
61 nnlim 7340 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝐺)
6260, 61syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝐺)
63 ioran 1013 . . . 4 (¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺) ↔ (¬ dom 𝐺 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝐺))
6459, 62, 63sylanbrc 580 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
6527oicl 8704 . . . 4 Ord dom 𝐺
66 unizlim 6080 . . . 4 (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺)))
6765, 66ax-mp 5 . . 3 (dom 𝐺 = dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
6864, 67sylnibr 321 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = dom 𝐺)
69 orduniorsuc 7292 . . . 4 (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
7065, 69mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐺 = dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
7170ord 897 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝐺 = dom 𝐺 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺))
7268, 71mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415   ∖ cdif 3796   ∪ cun 3797   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  {csn 4398  ∪ cuni 4659   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953   E cep 5255   We wwe 5301   × cxp 5341  ◡ccnv 5342  dom cdm 5343  Ord word 5963  Oncon0 5964  Lim wlim 5965  suc csuc 5966  ⟶wf 6120  –1-1-onto→wf1o 6123  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↦ cmpt2 6908  ωcom 7327   supp csupp 7560  seq𝜔cseqom 7809   +o coa 7824   ·o comu 7825   ↑o coe 7826   ≈ cen 8220   finSupp cfsupp 8545  OrdIsocoi 8684   CNF ccnf 8836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-seqom 7810  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-oexp 7833  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-oi 8685  df-cnf 8837 This theorem is referenced by:  cnfcom2  8877  cnfcom3lem  8878  cnfcom3  8879
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