Theorem cnfcom2lem 9671

Description: Lemma for cnfcom2 9672. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	⊢ 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cnfcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f	⊢ 𝐹 = (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h	⊢ 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t	⊢ 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m	⊢ 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺‘𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
cnfcom.k	⊢ 𝐾 = ((𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ ◡(𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w	⊢ 𝑊 = (𝐺‘∪ dom 𝐺)
cnfcom2.1	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnfcom2lem	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
2		n0i 4294	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = ∅)
4		cnfcom.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5		cnfcom.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6		omelon 9616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ω ∈ On
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ω ∈ On)
8		cnfcom.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9	5, 7, 8	cantnff1o 9666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
10		f1ocnv 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto→𝑆)
11		f1of 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto→𝑆 → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
13		cnfcom.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
14	12, 13	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
15	4, 14	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
16	5, 7, 8	cantnfs 9636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
17	15, 16	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
18	17	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ω)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶ω)
20	19	feqmptd 6951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
21		dif0 4335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
22	21	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
23		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 = ∅)
24		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
25		cnfcom.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
26	5, 7, 8, 25, 15	cantnfcl 9637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
27	26	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
28	25	oien 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
29	24, 27, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
31	23, 30	eqbrtrrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ≈ (𝐹 supp ∅))
32	31	ensymd 9003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
33		en0 9016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
34	32, 33	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) = ∅)
35		ss0b 4359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
36	34, 35	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ ∅)
37	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
38		0ex 5271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ∈ V)
40	19, 36, 37, 39	suppssr 8192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
41	22, 40	sylan2br 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
42	41	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅))
43	20, 42	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅))
44		fconstmpt 5725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {∅}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅)
45	43, 44	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝐴 × {∅}))
46	45	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})))
47	4	fveq2i 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵))
48		f1ocnvfv2 7277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
49	9, 13, 48	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
50	47, 49	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
51	50	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
52		peano1 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
54	5, 7, 8, 53	cantnf0 9645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
55	54	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
56	46, 51, 55	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐵 = ∅)
57	3, 56	mtand 827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∅)
58		nnlim 7877	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐺 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝐺)
59	26, 58	simpl2im 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝐺)
60		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺) ↔ (¬ dom 𝐺 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝐺))
61	57, 59, 60	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
62	25	oicl 9492	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐺
63		unizlim 6487	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺)))
64	62, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
65	61, 64	sylnibr 332	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺)
66		orduniorsuc 7827	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
67	62, 66	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
68	67	ord 877	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
69	65, 68	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   E cep 5562   We wwe 5615   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ωcom 7863   supp csupp 8157  seq_ωcseqom 8435   +_o coa 8451   ·_o comu 8452   ↑_o coe 8453   ≈ cen 8941   finSupp cfsupp 9322  OrdIsocoi 9472   CNF ccnf 9631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-seqom 8436  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-oexp 8460  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-cnf 9632

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