Theorem cnfcom2lem 9586

Description: Lemma for cnfcom2 9587. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	⊢ 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cnfcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f	⊢ 𝐹 = (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h	⊢ 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t	⊢ 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m	⊢ 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺‘𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
cnfcom.k	⊢ 𝐾 = ((𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ ◡(𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w	⊢ 𝑊 = (𝐺‘∪ dom 𝐺)
cnfcom2.1	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnfcom2lem	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
2		n0i 4285	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = ∅)
4		cnfcom.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5		cnfcom.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6		omelon 9531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ω ∈ On
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ω ∈ On)
8		cnfcom.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9	5, 7, 8	cantnff1o 9581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
10		f1ocnv 6770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto→𝑆)
11		f1of 6758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto→𝑆 → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ◡(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
13		cnfcom.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
14	12, 13	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
15	4, 14	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
16	5, 7, 8	cantnfs 9551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
17	15, 16	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
18	17	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ω)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶ω)
20	19	feqmptd 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
21		dif0 4323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
22	21	eleq2i 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 = ∅)
24		ovexd 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
25		cnfcom.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
26	5, 7, 8, 25, 15	cantnfcl 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
27	26	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
28	25	oien 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
29	24, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
31	23, 30	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ≈ (𝐹 supp ∅))
32	31	ensymd 8922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
33		en0 8935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
34	32, 33	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) = ∅)
35		ss0b 4346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
36	34, 35	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ ∅)
37	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
38		0ex 5240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ∅ ∈ V)
40	19, 36, 37, 39	suppssr 8120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
41	22, 40	sylan2br 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
42	41	mpteq2dva 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅))
43	20, 42	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅))
44		fconstmpt 5673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {∅}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∅)
45	43, 44	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐹 = (𝐴 × {∅}))
46	45	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})))
47	4	fveq2i 6820	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵))
48		f1ocnvfv2 7206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω CNF 𝐴):𝑆–1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
49	9, 13, 48	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(◡(ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
50	47, 49	eqtrid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
52		peano1 7814	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
54	5, 7, 8, 53	cantnf0 9560	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
55	54	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘(𝐴 × {∅})) = ∅)
56	46, 51, 55	3eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom 𝐺 = ∅) → 𝐵 = ∅)
57	3, 56	mtand 815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∅)
58		nnlim 7805	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐺 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝐺)
59	26, 58	simpl2im 503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝐺)
60		ioran 985	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺) ↔ (¬ dom 𝐺 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝐺))
61	57, 59, 60	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
62	25	oicl 9410	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐺
63		unizlim 6425	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺)))
64	62, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 = ∅ ∨ Lim dom 𝐺))
65	61, 64	sylnibr 329	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺)
66		orduniorsuc 7755	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐺 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
67	62, 66	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 ∨ dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
68	67	ord 864	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝐺 = ∪ dom 𝐺 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺))
69	65, 68	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = suc ∪ dom 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  {csn 4571  ∪ cuni 4854   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   E cep 5510   We wwe 5563   × cxp 5609  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611  Ord word 6300  Oncon0 6301  Lim wlim 6302  suc csuc 6303  ⟶wf 6472  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  ωcom 7791   supp csupp 8085  seq_ωcseqom 8361   +_o coa 8377   ·_o comu 8378   ↑_o coe 8379   ≈ cen 8861   finSupp cfsupp 9240  OrdIsocoi 9390   CNF ccnf 9546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-seqom 8362  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-oexp 8386  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-cnf 9547

This theorem is referenced by:  cnfcom2  9587  cnfcom3lem  9588  cnfcom3  9589