Theorem 1oequni2o 38428

Description: The ordinal number 1_o is the predecessor of the ordinal number 2_o. (Contributed by ML, 19-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1oequni2o	⊢ 1o = ∪ 2o

Proof of Theorem 1oequni2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8485	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2		2on 8498	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
3		2on0 8499	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
4		2onn 8659	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
5		nnlim 7895	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → ¬ Lim 2o)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 2o
7		onsucuni3 38427	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 2o ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 2o) → 2o = suc ∪ 2o)
8	2, 3, 6, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 2o = suc ∪ 2o
9	1, 8	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ suc 1o = suc ∪ 2o
10		1on 8497	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
11		onuni 7806	. . . 4 ⊢ (2o ∈ On → ∪ 2o ∈ On)
12	2, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∪ 2o ∈ On
13		suc11 6475	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ ∪ 2o ∈ On) → (suc 1o = suc ∪ 2o ↔ 1o = ∪ 2o))
14	10, 12, 13	mp2an 705	. 2 ⊢ (suc 1o = suc ∪ 2o ↔ 1o = ∪ 2o)
15	9, 14	mpbi 233	1 ⊢ 1o = ∪ 2o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277  ∪ cuni 4866  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  ωcom 7881  1_oc1o 8477  2_oc2o 8478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-om 7882  df-1o 8484  df-2o 8485

This theorem is used by:  finxpreclem4  38454