Theorem opprnzr 20546

Description: The opposite of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprnzr.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprnzr	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ NzRing)

Proof of Theorem opprnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20542	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		opprnzr.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3	2	opprring 19883	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ Ring)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5	isnzr2 20544	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑅)))
7	6	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑅))
8	2, 5	opprbas 19879	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
9	8	isnzr2 20544	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ NzRing ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑅)))
10	4, 7, 9	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426  2_oc2o 8278   ≼ cdom 8718  Basecbs 16922  Ringcrg 19793  opp_rcoppr 19871  NzRingcnzr 20538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-nzr 20539

This theorem is referenced by:  opprdomn  20582