Theorem mon1psubm 43777

Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1psubm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1psubm.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1psubm.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mon1psubm	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Proof of Theorem mon1psubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1psubm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		mon1psubm.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 26206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
5	4	ssriv 3941	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃))
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9	1, 7, 3, 8	mon1pid 26215	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(1r‘𝑃)) = 0))
10	9	simpld 498	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ∈ 𝑀)
11	1	ply1nz 26183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
12		nzrring 20567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑃 ∈ Ring)
15	4	ad2antrl 738	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
16		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ 𝑀)
17	5, 16	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
19	2, 18	ringcl 20301	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
20	14, 15, 17, 19	syl3anc 1391	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23		nzrring 20567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
25	1, 22, 3	mon1pn0 26208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
26	25	ad2antrl 738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
27		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	8, 27, 3	mon1pldg 26211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
29	28	ad2antrl 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
30		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
31	21, 30	unitrrg 20754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
33	30, 27	1unit 20424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
34	23, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
35	32, 34	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
36	35	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
37	29, 36	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
38	1, 22, 3	mon1pn0 26208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
39	38	ad2antll 739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
40	8, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39	deg1mul2 26175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)))
41	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 26149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
42	24, 15, 26, 41	syl3anc 1391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
43	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 26149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
44	24, 17, 39, 43	syl3anc 1391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
45	42, 44	nn0addcld 12547	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
46	40, 45	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
47	8, 1, 22, 2	deg1nn0clb 26151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
48	24, 20, 47	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
49	46, 48	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
50	40	fveq2d 6872	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))))
51		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
52	1, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39	coe1mul4 26161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))))
53	8, 27, 3	mon1pldg 26211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
54	53	ad2antll 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
55	29, 54	oveq12d 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
57	56, 27	ringidcl 20316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	56, 51, 27	ringlidm 20320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
59	23, 57, 58	syl2anc2 594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
60	59	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
61	55, 60	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
62	52, 61	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
63	50, 62	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅))
64	1, 2, 22, 8, 3, 27	ismon1p 26204	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅)))
65	20, 49, 63, 64	syl3anbrc 1358	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
66	65	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
67		mon1psubm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
68	67	ringmgp 20290	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
69	13, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑈 ∈ Mnd)
70	67, 2	mgpbas 20192	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑈)
71	67, 7	ringidval 20234	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑈)
72	67, 18	mgpplusg 20191	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑈)
73	70, 71, 72	issubm 18838	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
74	69, 73	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
75	6, 10, 66, 74	mpbir3and 1357	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  0cc0 11074   + caddc 11077  ℕ₀cn0 12482  Basecbs 17246  ._rcmulr 17288  0_gc0g 17469  Mndcmnd 18769  SubMndcsubmnd 18817  mulGrpcmgp 20187  1_rcur 20232  Ringcrg 20284  Unitcui 20405  NzRingcnzr 20563  RLRegcrlreg 20742  Poly₁cpl1 22240  coe₁cco1 22241  deg₁cdg1 26115  Monic_1pcmn1 26187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-ofr 7662  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-sup 9389  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-hash 14345  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-prds 17477  df-pws 17479  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-mulg 19111  df-subg 19166  df-ghm 19255  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-cring 20287  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-nzr 20564  df-subrng 20597  df-subrg 20621  df-rlreg 20745  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-cnfld 21426  df-ascl 21908  df-psr 21962  df-mvr 21963  df-mpl 21964  df-opsr 21966  df-psr1 22243  df-vr1 22244  df-ply1 22245  df-coe1 22246  df-mdeg 26116  df-deg1 26117  df-mon1 26192

This theorem is referenced by: (None)