Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1psubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mon1psubm 41562
Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1psubm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mon1psubm.m 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
mon1psubm.u π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mon1psubm (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑀 ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem mon1psubm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1psubm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 mon1psubm.m . . . . 5 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
41, 2, 3mon1pcl 25525 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
54ssriv 3953 . . 3 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)
65a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
7 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
8 eqid 2737 . . . 4 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
91, 7, 3, 8mon1pid 41561 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑀 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0))
109simpld 496 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑀)
111ply1nz 25502 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
12 nzrring 20747 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1413adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
154ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
16 simprr 772 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)
175, 16sselid 3947 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
18 eqid 2737 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
192, 18ringcl 19988 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2014, 15, 17, 19syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
21 eqid 2737 . . . . . . 7 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
22 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
23 nzrring 20747 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
251, 22, 3mon1pn0 25527 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
2625ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
288, 27, 3mon1pldg 25530 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (1rβ€˜π‘…))
2928ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (1rβ€˜π‘…))
30 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
3121, 30unitrrg 20779 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
3223, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
3330, 271unit 20094 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3423, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3532, 34sseldd 3950 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
3729, 36eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
381, 22, 3mon1pn0 25527 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
3938ad2antll 728 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
408, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39deg1mul2 25495 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
418, 1, 22, 2deg1nn0cl 25469 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
4224, 15, 26, 41syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
438, 1, 22, 2deg1nn0cl 25469 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4424, 17, 39, 43syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4542, 44nn0addcld 12484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ∈ β„•0)
4640, 45eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0)
478, 1, 22, 2deg1nn0clb 25471 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0))
4824, 20, 47syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0))
4946, 48mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
5040fveq2d 6851 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))) = ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))))
51 eqid 2737 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
521, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39coe1mul4 25481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))) = (((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))))
538, 27, 3mon1pldg 25530 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ ((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (1rβ€˜π‘…))
5453ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (1rβ€˜π‘…))
5529, 54oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
56 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
5756, 27ringidcl 19996 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5856, 51, 27ringlidm 19999 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
5923, 57, 58syl2anc2 586 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
6059adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
6155, 60eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))) = (1rβ€˜π‘…))
6252, 61eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))) = (1rβ€˜π‘…))
6350, 62eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))) = (1rβ€˜π‘…))
641, 2, 22, 8, 3, 27ismon1p 25523 . . . 4 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))) = (1rβ€˜π‘…)))
6520, 49, 63, 64syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀)
6665ralrimivva 3198 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀)
67 mon1psubm.u . . . . 5 π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
6867ringmgp 19977 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
6913, 68syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
7067, 2mgpbas 19909 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7167, 7ringidval 19922 . . . 4 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
7267, 18mgpplusg 19907 . . . 4 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
7370, 71, 72issubm 18621 . . 3 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ (𝑀 ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀)))
7469, 73syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑀 ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀)))
756, 10, 66, 74mpbir3and 1343 1 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑀 ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   + caddc 11061  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090  .rcmulr 17141  0gc0g 17328  Mndcmnd 18563  SubMndcsubmnd 18607  mulGrpcmgp 19903  1rcur 19920  Ringcrg 19971  Unitcui 20075  NzRingcnzr 20743  RLRegcrlreg 20765  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   deg1 cdg1 25432  Monic1pcmn1 25506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-nzr 20744  df-rlreg 20769  df-cnfld 20813  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mdeg 25433  df-deg1 25434  df-mon1 25511
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator