Theorem mon1psubm 43306

Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1psubm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1psubm.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1psubm.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mon1psubm	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Proof of Theorem mon1psubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1psubm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		mon1psubm.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 26087	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
5	4	ssriv 3935	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃))
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9	1, 7, 3, 8	mon1pid 26096	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(1r‘𝑃)) = 0))
10	9	simpld 494	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ∈ 𝑀)
11	1	ply1nz 26064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
12		nzrring 20441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑃 ∈ Ring)
15	4	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
16		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ 𝑀)
17	5, 16	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
19	2, 18	ringcl 20178	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
20	14, 15, 17, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23		nzrring 20441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
25	1, 22, 3	mon1pn0 26089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
26	25	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
27		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	8, 27, 3	mon1pldg 26092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
29	28	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
30		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
31	21, 30	unitrrg 20628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
33	30, 27	1unit 20302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
34	23, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
35	32, 34	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
37	29, 36	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
38	1, 22, 3	mon1pn0 26089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
39	38	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
40	8, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39	deg1mul2 26056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)))
41	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 26030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
42	24, 15, 26, 41	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
43	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 26030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
44	24, 17, 39, 43	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
45	42, 44	nn0addcld 12456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
46	40, 45	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
47	8, 1, 22, 2	deg1nn0clb 26032	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
48	24, 20, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
49	46, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
50	40	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))))
51		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
52	1, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39	coe1mul4 26042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))))
53	8, 27, 3	mon1pldg 26092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
54	53	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
55	29, 54	oveq12d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
57	56, 27	ringidcl 20193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	56, 51, 27	ringlidm 20197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
59	23, 57, 58	syl2anc2 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
60	59	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
61	55, 60	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
62	52, 61	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
63	50, 62	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅))
64	1, 2, 22, 8, 3, 27	ismon1p 26085	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅)))
65	20, 49, 63, 64	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
66	65	ralrimivva 3177	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
67		mon1psubm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
68	67	ringmgp 20167	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
69	13, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑈 ∈ Mnd)
70	67, 2	mgpbas 20073	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑈)
71	67, 7	ringidval 20111	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑈)
72	67, 18	mgpplusg 20072	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑈)
73	70, 71, 72	issubm 18721	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
74	69, 73	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
75	6, 10, 66, 74	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11016   + caddc 11019  ℕ₀cn0 12391  Basecbs 17130  ._rcmulr 17172  0_gc0g 17353  Mndcmnd 18652  SubMndcsubmnd 18700  mulGrpcmgp 20068  1_rcur 20109  Ringcrg 20161  Unitcui 20283  NzRingcnzr 20437  RLRegcrlreg 20616  Poly₁cpl1 22099  coe₁cco1 22100  deg₁cdg1 25996  Monic_1pcmn1 26068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-sup 9336  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-prds 17361  df-pws 17363  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-mhm 18701  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18991  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-cring 20164  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-nzr 20438  df-subrng 20471  df-subrg 20495  df-rlreg 20619  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-cnfld 21302  df-ascl 21802  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105  df-mdeg 25997  df-deg1 25998  df-mon1 26073

This theorem is referenced by: (None)