Theorem mon1psubm 43653

Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1psubm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1psubm.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1psubm.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mon1psubm	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Proof of Theorem mon1psubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1psubm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		mon1psubm.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 26129	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
5	4	ssriv 3919	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃))
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
8		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9	1, 7, 3, 8	mon1pid 26138	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(1r‘𝑃)) = 0))
10	9	simpld 495	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ∈ 𝑀)
11	1	ply1nz 26106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
12		nzrring 20489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑃 ∈ Ring)
15	4	ad2antrl 734	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
16		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ 𝑀)
17	5, 16	sselid 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
19	2, 18	ringcl 20223	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
20	14, 15, 17, 19	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
22		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23		nzrring 20489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
25	1, 22, 3	mon1pn0 26131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
26	25	ad2antrl 734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
27		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	8, 27, 3	mon1pldg 26134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
29	28	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
30		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
31	21, 30	unitrrg 20676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
33	30, 27	1unit 20346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
34	23, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
35	32, 34	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
37	29, 36	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
38	1, 22, 3	mon1pn0 26131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
39	38	ad2antll 735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
40	8, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39	deg1mul2 26098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)))
41	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 26072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
42	24, 15, 26, 41	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
43	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 26072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
44	24, 17, 39, 43	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
45	42, 44	nn0addcld 12494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
46	40, 45	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
47	8, 1, 22, 2	deg1nn0clb 26074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
48	24, 20, 47	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
49	46, 48	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
50	40	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))))
51		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
52	1, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39	coe1mul4 26084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))))
53	8, 27, 3	mon1pldg 26134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
54	53	ad2antll 735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
55	29, 54	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
57	56, 27	ringidcl 20238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	56, 51, 27	ringlidm 20242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
59	23, 57, 58	syl2anc2 591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
60	59	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
61	55, 60	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
62	52, 61	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
63	50, 62	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅))
64	1, 2, 22, 8, 3, 27	ismon1p 26127	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅)))
65	20, 49, 63, 64	syl3anbrc 1350	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
66	65	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
67		mon1psubm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
68	67	ringmgp 20212	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
69	13, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑈 ∈ Mnd)
70	67, 2	mgpbas 20118	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑈)
71	67, 7	ringidval 20156	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑈)
72	67, 18	mgpplusg 20117	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑈)
73	70, 71, 72	issubm 18763	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
74	69, 73	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
75	6, 10, 66, 74	mpbir3and 1349	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030   + caddc 11033  ℕ₀cn0 12429  Basecbs 17171  ._rcmulr 17213  0_gc0g 17394  Mndcmnd 18694  SubMndcsubmnd 18742  mulGrpcmgp 20113  1_rcur 20154  Ringcrg 20206  Unitcui 20327  NzRingcnzr 20485  RLRegcrlreg 20664  Poly₁cpl1 22163  coe₁cco1 22164  deg₁cdg1 26038  Monic_1pcmn1 26110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-hash 14285  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19180  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-nzr 20486  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-rlreg 20667  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-cnfld 21349  df-ascl 21831  df-psr 21885  df-mvr 21886  df-mpl 21887  df-opsr 21889  df-psr1 22166  df-vr1 22167  df-ply1 22168  df-coe1 22169  df-mdeg 26039  df-deg1 26040  df-mon1 26115

This theorem is referenced by: (None)