Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1psubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mon1psubm 41343
Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1psubm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mon1psubm.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
mon1psubm.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mon1psubm (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Proof of Theorem mon1psubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1psubm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3 mon1psubm.m . . . . 5 𝑀 = (Monic1p𝑅)
41, 2, 3mon1pcl 25415 . . . 4 (𝑥𝑀𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
54ssriv 3940 . . 3 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃)
65a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃))
7 eqid 2737 . . . 4 (1r𝑃) = (1r𝑃)
8 eqid 2737 . . . 4 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
91, 7, 3, 8mon1pid 41342 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ (( deg1𝑅)‘(1r𝑃)) = 0))
109simpld 496 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑃) ∈ 𝑀)
111ply1nz 25392 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
12 nzrring 20638 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
1413adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑃 ∈ Ring)
154ad2antrl 726 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
16 simprr 771 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦𝑀)
175, 16sselid 3934 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
18 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
192, 18ringcl 19895 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
2014, 15, 17, 19syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21 eqid 2737 . . . . . . 7 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
22 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
23 nzrring 20638 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
251, 22, 3mon1pn0 25417 . . . . . . . 8 (𝑥𝑀𝑥 ≠ (0g𝑃))
2625ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑥 ≠ (0g𝑃))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
288, 27, 3mon1pldg 25420 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑀 → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) = (1r𝑅))
2928ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) = (1r𝑅))
30 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3121, 30unitrrg 20670 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
3223, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
3330, 271unit 19995 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
3423, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
3532, 34sseldd 3937 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (1r𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
3729, 36eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
381, 22, 3mon1pn0 25417 . . . . . . . 8 (𝑦𝑀𝑦 ≠ (0g𝑃))
3938ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦 ≠ (0g𝑃))
408, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39deg1mul2 25385 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦)))
418, 1, 22, 2deg1nn0cl 25359 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
4224, 15, 26, 41syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (( deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
438, 1, 22, 2deg1nn0cl 25359 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
4424, 17, 39, 43syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (( deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
4542, 44nn0addcld 12403 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
4640, 45eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
478, 1, 22, 2deg1nn0clb 25361 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
4824, 20, 47syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
4946, 48mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃))
5040fveq2d 6834 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦))))
51 eqid 2737 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
521, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39coe1mul4 25371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦))) = (((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦))))
538, 27, 3mon1pldg 25420 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑀 → ((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦)) = (1r𝑅))
5453ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦)) = (1r𝑅))
5529, 54oveq12d 7360 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)))
56 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5756, 27ringidcl 19902 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5856, 51, 27ringlidm 19905 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
5923, 57, 58syl2anc2 586 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6059adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6155, 60eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦))) = (1r𝑅))
6252, 61eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦))) = (1r𝑅))
6350, 62eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = (1r𝑅))
641, 2, 22, 8, 3, 27ismon1p 25413 . . . 4 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = (1r𝑅)))
6520, 49, 63, 64syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
6665ralrimivva 3194 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
67 mon1psubm.u . . . . 5 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
6867ringmgp 19884 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
6913, 68syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑈 ∈ Mnd)
7067, 2mgpbas 19821 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑈)
7167, 7ringidval 19834 . . . 4 (1r𝑃) = (0g𝑈)
7267, 18mgpplusg 19819 . . . 4 (.r𝑃) = (+g𝑈)
7370, 71, 72issubm 18540 . . 3 (𝑈 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
7469, 73syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
756, 10, 66, 74mpbir3and 1342 1 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wss 3902  cfv 6484  (class class class)co 7342  0cc0 10977   + caddc 10980  0cn0 12339  Basecbs 17010  .rcmulr 17061  0gc0g 17248  Mndcmnd 18483  SubMndcsubmnd 18527  mulGrpcmgp 19815  1rcur 19832  Ringcrg 19878  Unitcui 19976  NzRingcnzr 20634  RLRegcrlreg 20656  Poly1cpl1 21454  coe1cco1 21455   deg1 cdg1 25322  Monic1pcmn1 25396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-tpos 8117  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-sup 9304  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-hash 14151  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-cring 19881  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-nzr 20635  df-rlreg 20660  df-cnfld 20704  df-ascl 21168  df-psr 21218  df-mvr 21219  df-mpl 21220  df-opsr 21222  df-psr1 21457  df-vr1 21458  df-ply1 21459  df-coe1 21460  df-mdeg 25323  df-deg1 25324  df-mon1 25401
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator