Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1psubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mon1psubm 42899
Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1psubm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mon1psubm.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
mon1psubm.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mon1psubm (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Proof of Theorem mon1psubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1psubm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3 mon1psubm.m . . . . 5 𝑀 = (Monic1p𝑅)
41, 2, 3mon1pcl 26167 . . . 4 (𝑥𝑀𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
54ssriv 3983 . . 3 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃)
65a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃))
7 eqid 2726 . . . 4 (1r𝑃) = (1r𝑃)
8 eqid 2726 . . . 4 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
91, 7, 3, 8mon1pid 26176 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ((deg1𝑅)‘(1r𝑃)) = 0))
109simpld 493 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑃) ∈ 𝑀)
111ply1nz 26144 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
12 nzrring 20492 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
1413adantr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑃 ∈ Ring)
154ad2antrl 726 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
16 simprr 771 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦𝑀)
175, 16sselid 3977 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
18 eqid 2726 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
192, 18ringcl 20227 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
2014, 15, 17, 19syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
22 eqid 2726 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
23 nzrring 20492 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
251, 22, 3mon1pn0 26169 . . . . . . . 8 (𝑥𝑀𝑥 ≠ (0g𝑃))
2625ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑥 ≠ (0g𝑃))
27 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
288, 27, 3mon1pldg 26172 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑀 → ((coe1𝑥)‘((deg1𝑅)‘𝑥)) = (1r𝑅))
2928ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑥)‘((deg1𝑅)‘𝑥)) = (1r𝑅))
30 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3121, 30unitrrg 20675 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
3223, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
3330, 271unit 20350 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
3423, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
3532, 34sseldd 3980 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
3635adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (1r𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
3729, 36eqeltrd 2826 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑥)‘((deg1𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
381, 22, 3mon1pn0 26169 . . . . . . . 8 (𝑦𝑀𝑦 ≠ (0g𝑃))
3938ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦 ≠ (0g𝑃))
408, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39deg1mul2 26136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((deg1𝑅)‘𝑥) + ((deg1𝑅)‘𝑦)))
418, 1, 22, 2deg1nn0cl 26110 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑃)) → ((deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
4224, 15, 26, 41syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
438, 1, 22, 2deg1nn0cl 26110 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) → ((deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
4424, 17, 39, 43syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
4542, 44nn0addcld 12580 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (((deg1𝑅)‘𝑥) + ((deg1𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
4640, 45eqeltrd 2826 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
478, 1, 22, 2deg1nn0clb 26112 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ ((deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
4824, 20, 47syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ ((deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
4946, 48mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃))
5040fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(((deg1𝑅)‘𝑥) + ((deg1𝑅)‘𝑦))))
51 eqid 2726 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
521, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39coe1mul4 26122 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(((deg1𝑅)‘𝑥) + ((deg1𝑅)‘𝑦))) = (((coe1𝑥)‘((deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘((deg1𝑅)‘𝑦))))
538, 27, 3mon1pldg 26172 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑀 → ((coe1𝑦)‘((deg1𝑅)‘𝑦)) = (1r𝑅))
5453ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑦)‘((deg1𝑅)‘𝑦)) = (1r𝑅))
5529, 54oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (((coe1𝑥)‘((deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘((deg1𝑅)‘𝑦))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)))
56 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5756, 27ringidcl 20239 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5856, 51, 27ringlidm 20242 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
5923, 57, 58syl2anc2 583 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6059adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6155, 60eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (((coe1𝑥)‘((deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘((deg1𝑅)‘𝑦))) = (1r𝑅))
6252, 61eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(((deg1𝑅)‘𝑥) + ((deg1𝑅)‘𝑦))) = (1r𝑅))
6350, 62eqtrd 2766 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = (1r𝑅))
641, 2, 22, 8, 3, 27ismon1p 26165 . . . 4 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = (1r𝑅)))
6520, 49, 63, 64syl3anbrc 1340 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
6665ralrimivva 3191 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
67 mon1psubm.u . . . . 5 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
6867ringmgp 20216 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
6913, 68syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑈 ∈ Mnd)
7067, 2mgpbas 20117 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑈)
7167, 7ringidval 20160 . . . 4 (1r𝑃) = (0g𝑈)
7267, 18mgpplusg 20115 . . . 4 (.r𝑃) = (+g𝑈)
7370, 71, 72issubm 18786 . . 3 (𝑈 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
7469, 73syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
756, 10, 66, 74mpbir3and 1339 1 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wss 3947  cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147   + caddc 11150  0cn0 12516  Basecbs 17206  .rcmulr 17260  0gc0g 17447  Mndcmnd 18720  SubMndcsubmnd 18765  mulGrpcmgp 20111  1rcur 20158  Ringcrg 20210  Unitcui 20331  NzRingcnzr 20488  RLRegcrlreg 20663  Poly1cpl1 22160  coe1cco1 22161  deg1cdg1 26073  Monic1pcmn1 26148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-sup 9476  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-hash 14341  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-prds 17455  df-pws 17457  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-cring 20213  df-oppr 20310  df-dvdsr 20333  df-unit 20334  df-invr 20364  df-nzr 20489  df-subrng 20522  df-subrg 20547  df-rlreg 20666  df-lmod 20832  df-lss 20903  df-cnfld 21338  df-ascl 21847  df-psr 21900  df-mvr 21901  df-mpl 21902  df-opsr 21904  df-psr1 22163  df-vr1 22164  df-ply1 22165  df-coe1 22166  df-mdeg 26074  df-deg1 26075  df-mon1 26153
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator