Theorem mon1psubm 43181

Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1psubm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1psubm.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1psubm.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mon1psubm	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Proof of Theorem mon1psubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1psubm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		mon1psubm.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 26083	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
5	4	ssriv 3947	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃))
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9	1, 7, 3, 8	mon1pid 26092	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(1r‘𝑃)) = 0))
10	9	simpld 494	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ∈ 𝑀)
11	1	ply1nz 26060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
12		nzrring 20436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑃 ∈ Ring)
15	4	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
16		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ 𝑀)
17	5, 16	sselid 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
19	2, 18	ringcl 20170	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
20	14, 15, 17, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23		nzrring 20436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
25	1, 22, 3	mon1pn0 26085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
26	25	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
27		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	8, 27, 3	mon1pldg 26088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
29	28	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
30		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
31	21, 30	unitrrg 20623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
33	30, 27	1unit 20294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
34	23, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
35	32, 34	sseldd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
37	29, 36	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
38	1, 22, 3	mon1pn0 26085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
39	38	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
40	8, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39	deg1mul2 26052	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)))
41	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 26026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
42	24, 15, 26, 41	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
43	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 26026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
44	24, 17, 39, 43	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
45	42, 44	nn0addcld 12483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
46	40, 45	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
47	8, 1, 22, 2	deg1nn0clb 26028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
48	24, 20, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
49	46, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
50	40	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))))
51		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
52	1, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39	coe1mul4 26038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))))
53	8, 27, 3	mon1pldg 26088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
54	53	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
55	29, 54	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
57	56, 27	ringidcl 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	56, 51, 27	ringlidm 20189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
59	23, 57, 58	syl2anc2 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
60	59	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
61	55, 60	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
62	52, 61	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
63	50, 62	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅))
64	1, 2, 22, 8, 3, 27	ismon1p 26081	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅)))
65	20, 49, 63, 64	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
66	65	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
67		mon1psubm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
68	67	ringmgp 20159	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
69	13, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑈 ∈ Mnd)
70	67, 2	mgpbas 20065	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑈)
71	67, 7	ringidval 20103	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑈)
72	67, 18	mgpplusg 20064	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑈)
73	70, 71, 72	issubm 18712	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
74	69, 73	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
75	6, 10, 66, 74	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044   + caddc 11047  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378  Mndcmnd 18643  SubMndcsubmnd 18691  mulGrpcmgp 20060  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  Unitcui 20275  NzRingcnzr 20432  RLRegcrlreg 20611  Poly₁cpl1 22094  coe₁cco1 22095  deg₁cdg1 25992  Monic_1pcmn1 26064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-nzr 20433  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-rlreg 20614  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-cnfld 21297  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-coe1 22100  df-mdeg 25993  df-deg1 25994  df-mon1 26069

This theorem is referenced by: (None)