Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1psubm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mon1psubm 41933
Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1psubm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mon1psubm.m 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
mon1psubm.u π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mon1psubm (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑀 ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ))
Proof of Theorem mon1psubm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1psubm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 mon1psubm.m . . . . 5 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
41, 2, 3mon1pcl 25653 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
54ssriv 3985 . . 3 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)
65a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
7 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
8 eqid 2732 . . . 4 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
91, 7, 3, 8mon1pid 41932 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑀 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0))
109simpld 495 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑀)
111ply1nz 25630 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
12 nzrring 20287 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
154ad2antrl 726 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
16 simprr 771 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)
175, 16sselid 3979 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
18 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
192, 18ringcl 20066 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2014, 15, 17, 19syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
22 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
23 nzrring 20287 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
251, 22, 3mon1pn0 25655 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
2625ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
27 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
288, 27, 3mon1pldg 25658 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (1rβ€˜π‘…))
2928ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (1rβ€˜π‘…))
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
3121, 30unitrrg 20901 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
3223, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
3330, 271unit 20180 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3423, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3532, 34sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
3729, 36eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
381, 22, 3mon1pn0 25655 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
3938ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
408, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39deg1mul2 25623 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
418, 1, 22, 2deg1nn0cl 25597 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
4224, 15, 26, 41syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
438, 1, 22, 2deg1nn0cl 25597 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4424, 17, 39, 43syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4542, 44nn0addcld 12532 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ∈ β„•0)
4640, 45eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0)
478, 1, 22, 2deg1nn0clb 25599 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0))
4824, 20, 47syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0))
4946, 48mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
5040fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))) = ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))))
51 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
521, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39coe1mul4 25609 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))) = (((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))))
538, 27, 3mon1pldg 25658 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ ((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (1rβ€˜π‘…))
5453ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (1rβ€˜π‘…))
5529, 54oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
56 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
5756, 27ringidcl 20076 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5856, 51, 27ringlidm 20079 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
5923, 57, 58syl2anc2 585 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
6059adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
6155, 60eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘¦)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))) = (1rβ€˜π‘…))
6252, 61eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦))) = (1rβ€˜π‘…))
6350, 62eqtrd 2772 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))) = (1rβ€˜π‘…))
641, 2, 22, 8, 3, 27ismon1p 25651 . . . 4 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ ((coe1β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦))) = (1rβ€˜π‘…)))
6520, 49, 63, 64syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀)
6665ralrimivva 3200 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀)
67 mon1psubm.u . . . . 5 π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
6867ringmgp 20055 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
6913, 68syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
7067, 2mgpbas 19987 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7167, 7ringidval 20000 . . . 4 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
7267, 18mgpplusg 19985 . . . 4 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
7370, 71, 72issubm 18680 . . 3 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ (𝑀 ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀)))
7469, 73syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑀 ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝑀)))
756, 10, 66, 74mpbir3and 1342 1 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑀 ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106   + caddc 11109  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Mndcmnd 18621  SubMndcsubmnd 18666  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  NzRingcnzr 20283  RLRegcrlreg 20887  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   deg1 cdg1 25560  Monic1pcmn1 25634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-rlreg 20891  df-cnfld 20937  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-mon1 25639
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator