Theorem islindeps2 44531

Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islindeps2	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
2	1	3adant3 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
3	2	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
4		nzrring 20028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		islindeps2.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 19312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
9	8	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
10	9	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
12		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
13	10, 11, 12	3jca 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))))
14		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 finSupp 0 )
15		islindeps2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		islindeps2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		islindeps2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		islindeps2.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
19		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
20		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))
21	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext2 44503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
22	3, 13, 14, 21	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
23		simpl1 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		elelpwi 4554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝐵)
25	24	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
26	25	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
27	26	imp 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝐵)
28		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
29	15, 16, 28, 6	lmodvs1 19656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
30	23, 27, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
31	30	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
33	32	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
34	33	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
35	31, 34	sylan9eq 2876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
36	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext3 44504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
37	3, 13, 14, 35, 36	syl112anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
38	22, 37	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
39		eqidd 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))))
40		iftrue 4473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
43		fvexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ V)
44	39, 41, 42, 43	fvmptd 6770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
45		nzrneg1ne0 44133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅))
46	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 = (0g‘𝑅))
47	45, 46	neeqtrrd 3090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
48	47	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
49	48	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
50	44, 49	eqnetrd 3083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
51	50	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
52	51	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
53	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext1 44502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
54	3, 13, 53	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
55		breq1 5062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ))
56		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆))
57	56	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
58	55, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)))
59		fveq1 6664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔‘𝑠) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠))
60	59	neeq1d 3075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔‘𝑠) ≠ 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ))
61	58, 60	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
62	61	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
63	54, 62	rspcedv 3616	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
64	38, 52, 63	mp2and 697	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
65	64	rexlimdva2 3287	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
66	65	reximdva 3274	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
67	66	imp 409	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
68		df-3an 1085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
69		r19.42v 3350	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
70	68, 69	bitr4i 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
71	70	rexbii 3247	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
72		rexcom 3355	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
73	71, 72	bitri 277	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
74	67, 73	sylibr 236	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
75	15, 18, 16, 5, 17	islindeps 44501	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
76	75	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
77	76	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
78	74, 77	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑆 linDepS 𝑀)
79	78	ex 415	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  Vcvv 3495   ∖ cdif 3933  ifcif 4467  𝒫 cpw 4539  {csn 4561   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400   finSupp cfsupp 8827  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707  inv_gcminusg 18098  1_rcur 19245  Ringcrg 19291  LModclmod 19628  NzRingcnzr 20024   linC clinc 44452   linDepS clindeps 44489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-lmod 19630  df-nzr 20025  df-linc 44454  df-lininds 44490  df-lindeps 44492

This theorem is referenced by:  islininds2  44532  isldepslvec2  44533