Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islindeps2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindeps2 47629
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islindeps2.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
islindeps2.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
islindeps2.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islindeps2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
213adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
32ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
4 nzrring 20462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
6 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
75, 6ringidcl 20209 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸)
983ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸)
109ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸)
11 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
12 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))
1310, 11, 123jca 1125 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
14 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘…)
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
19 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
20 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 47601 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 )
223, 13, 14, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 )
23 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
24 elelpwi 4616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
2524expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
26253ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
2726imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
28 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 20780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = 𝑠)
3023, 27, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = 𝑠)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = 𝑠)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠 β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)
3332eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠 β†’ 𝑠 = (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
3433adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑠 = (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
3531, 34sylan9eq 2788 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 47602 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
3822, 37jca 510 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
39 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))))
40 iftrue 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑠 β†’ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
4140adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) β†’ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
42 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
43 fvexd 6917 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ V)
4439, 41, 42, 43fvmptd 7017 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
45 nzrneg1ne0 47370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
4617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
4745, 46neeqtrrd 3012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  0 )
48473ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  0 )
4948adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  0 )
5044, 49eqnetrd 3005 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )
5251adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )
5315, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 47600 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
543, 13, 53syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
55 breq1 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ))
56 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆))
5756eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ ((𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
5855, 57anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)))
59 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ (π‘”β€˜π‘ ) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ))
6059neeq1d 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ ((π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 ))
6158, 60anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6261adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))) β†’ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6354, 62rspcedv 3604 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6438, 52, 63mp2and 697 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
6564rexlimdva2 3154 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6665reximdva 3165 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6766imp 405 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
68 df-3an 1086 . . . . . . 7 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
69 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7068, 69bitr4i 277 . . . . . 6 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7170rexbii 3091 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
72 rexcom 3285 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7371, 72bitri 274 . . . 4 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7467, 73sylibr 233 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7515, 18, 16, 5, 17islindeps 47599 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
76753adant3 1129 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
7776adantr 479 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
7874, 77mpbird 256 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀)
7978ex 411 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946  ifcif 4532  π’« cpw 4606  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428  invgcminusg 18898  1rcur 20128  Ringcrg 20180  NzRingcnzr 20458  LModclmod 20750   linC clinc 47550   linDepS clindeps 47587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-nzr 20459  df-lmod 20752  df-linc 47552  df-lininds 47588  df-lindeps 47590
This theorem is referenced by:  islininds2  47630  isldepslvec2  47631
  Copyright terms: Public domain W3C validator