Theorem islindeps2 49114

Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islindeps2	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
2	1	3adant3 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
3	2	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
4		nzrring 20590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		islindeps2.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 20339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
8	4, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
9	8	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
10	9	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		simpllr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
12		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
13	10, 11, 12	3jca 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))))
14		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 finSupp 0 )
15		islindeps2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		islindeps2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		islindeps2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		islindeps2.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
19		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
20		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))
21	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext2 49086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
22	3, 13, 14, 21	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
23		simpl1 1208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		elelpwi 4568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝐵)
25	24	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
26	25	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
27	26	imp 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝐵)
28		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
29	15, 16, 28, 6	lmodvs1 20980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
30	23, 27, 29	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
32		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
33	32	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
34	33	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
35	31, 34	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
36	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext3 49087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
37	3, 13, 14, 35, 36	syl112anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
38	22, 37	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
39		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))))
40		iftrue 4489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
43		fvexd 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ V)
44	39, 41, 42, 43	fvmptd 6987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
45		nzrneg1ne0 48850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅))
46	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 = (0g‘𝑅))
47	45, 46	neeqtrrd 3034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
48	47	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
49	48	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
50	44, 49	eqnetrd 3027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
51	50	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
52	51	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
53	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext1 49085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
54	3, 13, 53	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
55		breq1 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ))
56		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆))
57	56	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
58	55, 57	anbi12d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)))
59		fveq1 6870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔‘𝑠) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠))
60	59	neeq1d 3019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔‘𝑠) ≠ 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ))
61	58, 60	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
62	61	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
63	54, 62	rspcedv 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
64	38, 52, 63	mp2and 711	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
65	64	rexlimdva2 3168	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
66	65	reximdva 3178	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
67	66	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
68		df-3an 1103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
69		r19.42v 3197	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
70	68, 69	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
71	70	rexbii 3112	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
72		rexcom 3294	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
73	71, 72	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
74	67, 73	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
75	15, 18, 16, 5, 17	islindeps 49084	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
76	75	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
77	76	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
78	74, 77	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑆 linDepS 𝑀)
79	78	ex 417	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904  ifcif 4483  𝒫 cpw 4558  {csn 4585   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812   finSupp cfsupp 9309  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  inv_gcminusg 18991  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  NzRingcnzr 20586  LModclmod 20950   linC clinc 49035   linDepS clindeps 49072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-nzr 20587  df-lmod 20952  df-linc 49037  df-lininds 49073  df-lindeps 49075

This theorem is referenced by:  islininds2  49115  isldepslvec2  49116