Theorem islindeps2 44892

Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islindeps2	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
2	1	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
3	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
4		nzrring 20027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		islindeps2.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 19314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
9	8	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
10	9	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
12		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
13	10, 11, 12	3jca 1125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))))
14		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 finSupp 0 )
15		islindeps2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		islindeps2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		islindeps2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		islindeps2.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
19		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
20		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))
21	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext2 44864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
22	3, 13, 14, 21	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
23		simpl1 1188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		elelpwi 4509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝐵)
25	24	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
26	25	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
27	26	imp 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝐵)
28		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
29	15, 16, 28, 6	lmodvs1 19655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
30	23, 27, 29	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
31	30	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
33	32	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
34	33	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
35	31, 34	sylan9eq 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
36	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext3 44865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
37	3, 13, 14, 35, 36	syl112anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
38	22, 37	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
39		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))))
40		iftrue 4431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
43		fvexd 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ V)
44	39, 41, 42, 43	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
45		nzrneg1ne0 44493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅))
46	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 = (0g‘𝑅))
47	45, 46	neeqtrrd 3061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
48	47	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
49	48	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
50	44, 49	eqnetrd 3054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
51	50	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
52	51	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
53	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext1 44863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
54	3, 13, 53	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
55		breq1 5033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ))
56		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆))
57	56	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
58	55, 57	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)))
59		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔‘𝑠) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠))
60	59	neeq1d 3046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔‘𝑠) ≠ 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ))
61	58, 60	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
62	61	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
63	54, 62	rspcedv 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
64	38, 52, 63	mp2and 698	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
65	64	rexlimdva2 3246	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
66	65	reximdva 3233	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
67	66	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
68		df-3an 1086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
69		r19.42v 3303	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
70	68, 69	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
71	70	rexbii 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
72		rexcom 3308	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
73	71, 72	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
74	67, 73	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
75	15, 18, 16, 5, 17	islindeps 44862	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
76	75	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
77	76	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
78	74, 77	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑆 linDepS 𝑀)
79	78	ex 416	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878  ifcif 4425  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  inv_gcminusg 18096  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  NzRingcnzr 20023   linC clinc 44813   linDepS clindeps 44850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-lmod 19629  df-nzr 20024  df-linc 44815  df-lininds 44851  df-lindeps 44853

This theorem is referenced by:  islininds2  44893  isldepslvec2  44894