Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islindeps2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindeps2 47551
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z 𝑍 = (0g𝑀)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
islindeps2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
213adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
4 nzrring 20455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 20202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
983ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
11 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑠𝑆)
12 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠})))
1310, 11, 123jca 1126 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))))
14 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 finSupp 0 )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑀)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑅)
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (0g𝑀)
19 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (invg𝑅) = (invg𝑅)
20 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 47523 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 )
223, 13, 14, 21syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 )
23 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24 elelpwi 4613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠𝐵)
2524expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠𝑆𝑠𝐵))
26253ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑠𝑆𝑠𝐵))
2726imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝐵)
28 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 20773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐵) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
3023, 27, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
3332eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3531, 34sylan9eq 2788 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 47524 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
3822, 37jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
39 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))))
40 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑠 → if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) → if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
42 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
43 fvexd 6912 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ V)
4439, 41, 42, 43fvmptd 7012 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
45 nzrneg1ne0 47292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑅))
4617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → 0 = (0g𝑅))
4745, 46neeqtrrd 3012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
48473ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
5044, 49eqnetrd 3005 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5251adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5315, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 47522 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) ∈ (𝐸m 𝑆))
543, 13, 53syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) ∈ (𝐸m 𝑆))
55 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ))
56 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆))
5756eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
5855, 57anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)))
59 fveq1 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔𝑠) = ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠))
6059neeq1d 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔𝑠) ≠ 0 ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ))
6158, 60anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
6261adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
6354, 62rspcedv 3602 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6438, 52, 63mp2and 698 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
6564rexlimdva2 3154 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6665reximdva 3165 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6766imp 406 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
68 df-3an 1087 . . . . . . 7 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
69 r19.42v 3187 . . . . . . 7 (∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7068, 69bitr4i 278 . . . . . 6 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7170rexbii 3091 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
72 rexcom 3284 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7371, 72bitri 275 . . . 4 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7467, 73sylibr 233 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7515, 18, 16, 5, 17islindeps 47521 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
76753adant3 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
7776adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
7874, 77mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑆 linDepS 𝑀)
7978ex 412 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3471  cdif 3944  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  m cmap 8845   finSupp cfsupp 9386  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421  invgcminusg 18891  1rcur 20121  Ringcrg 20173  NzRingcnzr 20451  LModclmod 20743   linC clinc 47472   linDepS clindeps 47509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-nzr 20452  df-lmod 20745  df-linc 47474  df-lininds 47510  df-lindeps 47512
This theorem is referenced by:  islininds2  47552  isldepslvec2  47553
  Copyright terms: Public domain W3C validator