Theorem islindeps2 48971

Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islindeps2	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
2	1	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
3	2	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
4		nzrring 20484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		islindeps2.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 20237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
9	8	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
10	9	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
12		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
13	10, 11, 12	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))))
14		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 finSupp 0 )
15		islindeps2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		islindeps2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		islindeps2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		islindeps2.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
19		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))
21	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext2 48943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
22	3, 13, 14, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
23		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		elelpwi 4552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝐵)
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
26	25	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
27	26	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝐵)
28		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
29	15, 16, 28, 6	lmodvs1 20876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
30	23, 27, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
33	32	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
35	31, 34	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
36	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext3 48944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
37	3, 13, 14, 35, 36	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
38	22, 37	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
39		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))))
40		iftrue 4473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
43		fvexd 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ V)
44	39, 41, 42, 43	fvmptd 6949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
45		nzrneg1ne0 48718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅))
46	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 = (0g‘𝑅))
47	45, 46	neeqtrrd 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
48	47	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
50	44, 49	eqnetrd 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
53	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext1 48942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
54	3, 13, 53	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
55		breq1 5089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ))
56		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆))
57	56	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
58	55, 57	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)))
59		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔‘𝑠) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠))
60	59	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔‘𝑠) ≠ 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ))
61	58, 60	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
62	61	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
63	54, 62	rspcedv 3558	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
64	38, 52, 63	mp2and 700	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
65	64	rexlimdva2 3141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
66	65	reximdva 3151	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
67	66	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
68		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
69		r19.42v 3170	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
70	68, 69	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
71	70	rexbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
72		rexcom 3267	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
73	71, 72	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
74	67, 73	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
75	15, 18, 16, 5, 17	islindeps 48941	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
76	75	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
77	76	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
78	74, 77	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑆 linDepS 𝑀)
79	78	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  ifcif 4467  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766   finSupp cfsupp 9267  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  inv_gcminusg 18901  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  NzRingcnzr 20480  LModclmod 20846   linC clinc 48892   linDepS clindeps 48929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-nzr 20481  df-lmod 20848  df-linc 48894  df-lininds 48930  df-lindeps 48932

This theorem is referenced by:  islininds2  48972  isldepslvec2  48973