Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islindeps2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindeps2 48328
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z 𝑍 = (0g𝑀)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
islindeps2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
213adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
4 nzrring 20532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 20279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
983ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
109ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
11 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑠𝑆)
12 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠})))
1310, 11, 123jca 1127 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))))
14 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 finSupp 0 )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑀)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑅)
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (0g𝑀)
19 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (invg𝑅) = (invg𝑅)
20 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 48300 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 )
223, 13, 14, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 )
23 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24 elelpwi 4614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠𝐵)
2524expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠𝑆𝑠𝐵))
26253ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑠𝑆𝑠𝐵))
2726imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝐵)
28 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 20904 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐵) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
3023, 27, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
3332eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3531, 34sylan9eq 2794 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 48301 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
3822, 37jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
39 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))))
40 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑠 → if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) → if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
42 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
43 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ V)
4439, 41, 42, 43fvmptd 7022 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
45 nzrneg1ne0 48073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑅))
4617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → 0 = (0g𝑅))
4745, 46neeqtrrd 3012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
48473ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
5044, 49eqnetrd 3005 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5251adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5315, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 48299 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) ∈ (𝐸m 𝑆))
543, 13, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) ∈ (𝐸m 𝑆))
55 breq1 5150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ))
56 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆))
5756eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
5855, 57anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)))
59 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔𝑠) = ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠))
6059neeq1d 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔𝑠) ≠ 0 ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ))
6158, 60anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
6261adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
6354, 62rspcedv 3614 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6438, 52, 63mp2and 699 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
6564rexlimdva2 3154 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6665reximdva 3165 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6766imp 406 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
68 df-3an 1088 . . . . . . 7 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
69 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7068, 69bitr4i 278 . . . . . 6 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7170rexbii 3091 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
72 rexcom 3287 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7371, 72bitri 275 . . . 4 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7467, 73sylibr 234 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7515, 18, 16, 5, 17islindeps 48298 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
76753adant3 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
7776adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
7874, 77mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑆 linDepS 𝑀)
7978ex 412 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3477  cdif 3959  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17485  invgcminusg 18964  1rcur 20198  Ringcrg 20250  NzRingcnzr 20528  LModclmod 20874   linC clinc 48249   linDepS clindeps 48286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-nzr 20529  df-lmod 20876  df-linc 48251  df-lininds 48287  df-lindeps 48289
This theorem is referenced by:  islininds2  48329  isldepslvec2  48330
  Copyright terms: Public domain W3C validator