Theorem islindeps2 48459

Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islindeps2	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
2	1	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
4		nzrring 20476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		islindeps2.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 20225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
10	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
12		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
13	10, 11, 12	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))))
14		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 finSupp 0 )
15		islindeps2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		islindeps2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		islindeps2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		islindeps2.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
19		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))
21	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext2 48431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
22	3, 13, 14, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 )
23		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		elelpwi 4585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝐵)
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ 𝐵))
27	26	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝐵)
28		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
29	15, 16, 28, 6	lmodvs1 20847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
30	23, 27, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = 𝑠)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
33	32	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
35	31, 34	sylan9eq 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
36	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext3 48432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
37	3, 13, 14, 35, 36	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
38	22, 37	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
39		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))))
40		iftrue 4506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) → if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
43		fvexd 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ V)
44	39, 41, 42, 43	fvmptd 6993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
45		nzrneg1ne0 48205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅))
46	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 = (0g‘𝑅))
47	45, 46	neeqtrrd 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
48	47	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ 0 )
50	44, 49	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
53	15, 16, 5, 17, 18, 19, 20	lincext1 48430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
54	3, 13, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
55		breq1 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ))
56		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆))
57	56	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
58	55, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)))
59		fveq1 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (𝑔‘𝑠) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠))
60	59	neeq1d 2991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → ((𝑔‘𝑠) ≠ 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ))
61	58, 60	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
62	61	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
63	54, 62	rspcedv 3594	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)), (𝑓‘𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
64	38, 52, 63	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
65	64	rexlimdva2 3143	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
66	65	reximdva 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
67	66	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
68		df-3an 1088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
69		r19.42v 3176	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
70	68, 69	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
71	70	rexbii 3083	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
72		rexcom 3271	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
73	71, 72	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
74	67, 73	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
75	15, 18, 16, 5, 17	islindeps 48429	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
76	75	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
77	76	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
78	74, 77	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑆 linDepS 𝑀)
79	78	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923  ifcif 4500  𝒫 cpw 4575  {csn 4601   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840   finSupp cfsupp 9373  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453  inv_gcminusg 18917  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  NzRingcnzr 20472  LModclmod 20817   linC clinc 48380   linDepS clindeps 48417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-nzr 20473  df-lmod 20819  df-linc 48382  df-lininds 48418  df-lindeps 48420

This theorem is referenced by:  islininds2  48460  isldepslvec2  48461