Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islindeps2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindeps2 47436
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islindeps2.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
islindeps2.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
islindeps2.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islindeps2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
213adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
32ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
4 nzrring 20418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
6 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
75, 6ringidcl 20165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸)
983ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸)
109ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸)
11 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
12 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))
1310, 11, 123jca 1125 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
14 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘…)
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
19 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
20 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 47408 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 )
223, 13, 14, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 )
23 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
24 elelpwi 4607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
2524expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
26253ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
2726imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
28 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 20736 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = 𝑠)
3023, 27, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = 𝑠)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = 𝑠)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠 β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)
3332eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠 β†’ 𝑠 = (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑠 = (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
3531, 34sylan9eq 2786 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 47409 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
3822, 37jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
39 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))))
40 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑠 β†’ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) β†’ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
42 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
43 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ V)
4439, 41, 42, 43fvmptd 6999 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
45 nzrneg1ne0 47177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
4617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
4745, 46neeqtrrd 3009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  0 )
48473ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  0 )
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  0 )
5044, 49eqnetrd 3002 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )
5251adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )
5315, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 47407 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
543, 13, 53syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
55 breq1 5144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ))
56 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆))
5756eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ ((𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
5855, 57anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)))
59 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ (π‘”β€˜π‘ ) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ))
6059neeq1d 2994 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ ((π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 ))
6158, 60anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) β†’ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6261adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))) β†’ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6354, 62rspcedv 3599 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)), (π‘“β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6438, 52, 63mp2and 696 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
6564rexlimdva2 3151 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6665reximdva 3162 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
6766imp 406 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
68 df-3an 1086 . . . . . . 7 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
69 r19.42v 3184 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7068, 69bitr4i 278 . . . . . 6 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7170rexbii 3088 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
72 rexcom 3281 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7371, 72bitri 275 . . . 4 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7467, 73sylibr 233 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
7515, 18, 16, 5, 17islindeps 47406 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
76753adant3 1129 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
7776adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
7874, 77mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀)
7978ex 412 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940  ifcif 4523  π’« cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  invgcminusg 18864  1rcur 20086  Ringcrg 20138  NzRingcnzr 20414  LModclmod 20706   linC clinc 47357   linDepS clindeps 47394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-lmod 20708  df-linc 47359  df-lininds 47395  df-lindeps 47397
This theorem is referenced by:  islininds2  47437  isldepslvec2  47438
  Copyright terms: Public domain W3C validator