Theorem qsdrnglem2 33467

Description: Lemma for qsdrng 33468. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsdrnglem2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsdrnglem2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
qsdrnglem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
qsdrnglem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
qsdrnglem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
qsdrnglem2	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Proof of Theorem qsdrnglem2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsdrng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20425	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		qsdrnglem2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6	5	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	4	ringgrpd 20151	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Grp)
8		qsdrnglem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
12		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
13		qsdrnglem2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))
14	13	eldifad 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
16		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 8, 16	lidlmcl 21135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
18	4, 6, 12, 15, 17	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
19	11, 18	sseldd 3947	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	8, 20	ringidcl 20174	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
23		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
24		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
25	8, 23, 24	grpasscan1 18933	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
26	7, 19, 22, 25	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
27		qsdrnglem2.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐽)
29	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
30	27, 29	sstrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐵)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
33	32	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
34		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
35		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
36		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
37		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
38		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑄) = (invr‘𝑄)
39		qsdrnglem2.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑄 ∈ DivRing)
41	29, 14	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
42		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
43	42	ecelqsi 8743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
45		qsdrng.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
47	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
48	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
49	46, 47, 48, 1	qusbas 17508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
50	44, 49	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
52		qsdrng.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
53	52	2idllidld 21164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
54	9	lidlsubg 21133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
55	3, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
56		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
57	8, 56	eqger 19110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
59		ecref 8716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
60	58, 41, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
61	13	eldifbd 3927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
62		nelne1 3022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
64		lidlnsg 21158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
65	3, 53, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
66	45	qus0g 33378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → (0g‘𝑄) = 𝑀)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑄) = 𝑀)
68	63, 67	neeqtrrd 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
69	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
70	34, 35, 36, 37, 38, 40, 51, 69	drnginvrld 20667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
71	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
72	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
73	45, 8, 16, 36, 4, 71, 12, 72	qusmul2idl 21189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
74	33, 70, 73	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
75		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
76	45, 75, 20	qus1 21184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
77	76	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
78	4, 71, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
79	74, 78	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
80	55	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
81	80, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
82	81, 22	erth2 8726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀)))
83	79, 82	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
84	8, 24, 23, 56	eqgval 19109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
85	84	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀))
86	85	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
87	4, 31, 83, 86	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
88	28, 87	sseldd 3947	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)
89	9, 23	lidlacl 21131	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
90	4, 6, 18, 88, 89	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
91	26, 90	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐽)
92	9, 8, 20	lidl1el 21136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐽 ↔ 𝐽 = 𝐵))
93	92	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐽) → 𝐽 = 𝐵)
94	4, 6, 91, 93	syl21anc 837	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 = 𝐵)
95	34, 35, 38, 39, 50, 68	drnginvrcld 20664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
96	95, 49	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
97		elqsi 8739	. . 3 ⊢ (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
98	96, 97	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
99	94, 98	r19.29a 3141	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   Er wer 8668  [cec 8669   / cqs 8670  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   /_s cqus 17468  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  SubGrpcsubg 19052  NrmSGrpcnsg 19053   ~_QG cqg 19054  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  opp_rcoppr 20245  inv_rcinvr 20296  NzRingcnzr 20421  DivRingcdr 20638  LIdealclidl 21116  2Idealc2idl 21159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-oppg 19278  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-nzr 20422  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-2idl 21160

This theorem is referenced by:  qsdrng  33468