Theorem qsdrnglem2 33451

Description: Lemma for qsdrng 33452. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsdrnglem2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsdrnglem2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
qsdrnglem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
qsdrnglem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
qsdrnglem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
qsdrnglem2	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Proof of Theorem qsdrnglem2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsdrng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20424	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		qsdrnglem2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6	5	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	4	ringgrpd 20153	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Grp)
8		qsdrnglem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
12		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
13		qsdrnglem2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))
14	13	eldifad 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
16		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 8, 16	lidlmcl 21155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
18	4, 6, 12, 15, 17	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
19	11, 18	sseldd 3933	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
20		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	8, 20	ringidcl 20176	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
23		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
24		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
25	8, 23, 24	grpasscan1 18906	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
26	7, 19, 22, 25	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
27		qsdrnglem2.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐽)
29	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
30	27, 29	sstrd 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐵)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
33	32	oveq1d 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
34		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
35		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
36		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
37		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
38		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑄) = (invr‘𝑄)
39		qsdrnglem2.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑄 ∈ DivRing)
41	29, 14	sseldd 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
42		ovex 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
43	42	ecelqsi 8689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
45		qsdrng.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
47	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
48	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
49	46, 47, 48, 1	qusbas 17441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
50	44, 49	eleqtrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
52		qsdrng.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
53	52	2idllidld 21184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
54	9	lidlsubg 21153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
55	3, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
56		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
57	8, 56	eqger 19083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
59		ecref 8662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
60	58, 41, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
61	13	eldifbd 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
62		nelne1 3023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
64		lidlnsg 21178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
65	3, 53, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
66	45	qus0g 33362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → (0g‘𝑄) = 𝑀)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑄) = 𝑀)
68	63, 67	neeqtrrd 3000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
69	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
70	34, 35, 36, 37, 38, 40, 51, 69	drnginvrld 20666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
71	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
72	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
73	45, 8, 16, 36, 4, 71, 12, 72	qusmul2idl 21209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
74	33, 70, 73	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
75		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
76	45, 75, 20	qus1 21204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
77	76	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
78	4, 71, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
79	74, 78	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
80	55	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
81	80, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
82	81, 22	erth2 8672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀)))
83	79, 82	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
84	8, 24, 23, 56	eqgval 19082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
85	84	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀))
86	85	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
87	4, 31, 83, 86	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
88	28, 87	sseldd 3933	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)
89	9, 23	lidlacl 21151	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
90	4, 6, 18, 88, 89	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
91	26, 90	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐽)
92	9, 8, 20	lidl1el 21156	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐽 ↔ 𝐽 = 𝐵))
93	92	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐽) → 𝐽 = 𝐵)
94	4, 6, 91, 93	syl21anc 837	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 = 𝐵)
95	34, 35, 38, 39, 50, 68	drnginvrcld 20663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
96	95, 49	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
97		elqsi 8685	. . 3 ⊢ (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
98	96, 97	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
99	94, 98	r19.29a 3138	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  Vcvv 3434   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   Er wer 8614  [cec 8615   / cqs 8616  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154  0_gc0g 17335   /_s cqus 17401  Grpcgrp 18838  inv_gcminusg 18839  SubGrpcsubg 19025  NrmSGrpcnsg 19026   ~_QG cqg 19027  1_rcur 20092  Ringcrg 20144  opp_rcoppr 20247  inv_rcinvr 20298  NzRingcnzr 20420  DivRingcdr 20637  LIdealclidl 21136  2Idealc2idl 21179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-0g 17337  df-imas 17404  df-qus 17405  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-nsg 19029  df-eqg 19030  df-oppg 19251  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-nzr 20421  df-subrg 20478  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-2idl 21180

This theorem is referenced by:  qsdrng  33452