Theorem qsdrnglem2 33433

Description: Lemma for qsdrng 33434. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsdrnglem2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsdrnglem2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
qsdrnglem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
qsdrnglem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
qsdrnglem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
qsdrnglem2	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Proof of Theorem qsdrnglem2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsdrng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20401	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		qsdrnglem2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6	5	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	4	ringgrpd 20127	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Grp)
8		qsdrnglem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
12		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
13		qsdrnglem2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))
14	13	eldifad 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
16		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 8, 16	lidlmcl 21132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
18	4, 6, 12, 15, 17	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
19	11, 18	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	8, 20	ringidcl 20150	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
23		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
24		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
25	8, 23, 24	grpasscan1 18880	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
26	7, 19, 22, 25	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
27		qsdrnglem2.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐽)
29	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
30	27, 29	sstrd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐵)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
33	32	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
34		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
35		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
36		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
37		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
38		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑄) = (invr‘𝑄)
39		qsdrnglem2.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑄 ∈ DivRing)
41	29, 14	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
42		ovex 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
43	42	ecelqsi 8697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
45		qsdrng.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
47	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
48	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
49	46, 47, 48, 1	qusbas 17449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
50	44, 49	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
52		qsdrng.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
53	52	2idllidld 21161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
54	9	lidlsubg 21130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
55	3, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
56		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
57	8, 56	eqger 19057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
59		ecref 8670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
60	58, 41, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
61	13	eldifbd 3916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
62		nelne1 3022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
64		lidlnsg 21155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
65	3, 53, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
66	45	qus0g 33344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → (0g‘𝑄) = 𝑀)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑄) = 𝑀)
68	63, 67	neeqtrrd 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
69	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
70	34, 35, 36, 37, 38, 40, 51, 69	drnginvrld 20643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
71	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
72	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
73	45, 8, 16, 36, 4, 71, 12, 72	qusmul2idl 21186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
74	33, 70, 73	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
75		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
76	45, 75, 20	qus1 21181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
77	76	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
78	4, 71, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
79	74, 78	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
80	55	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
81	80, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
82	81, 22	erth2 8680	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀)))
83	79, 82	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
84	8, 24, 23, 56	eqgval 19056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
85	84	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀))
86	85	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
87	4, 31, 83, 86	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
88	28, 87	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)
89	9, 23	lidlacl 21128	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
90	4, 6, 18, 88, 89	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
91	26, 90	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐽)
92	9, 8, 20	lidl1el 21133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐽 ↔ 𝐽 = 𝐵))
93	92	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐽) → 𝐽 = 𝐵)
94	4, 6, 91, 93	syl21anc 837	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 = 𝐵)
95	34, 35, 38, 39, 50, 68	drnginvrcld 20640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
96	95, 49	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
97		elqsi 8693	. . 3 ⊢ (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
98	96, 97	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
99	94, 98	r19.29a 3137	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   Er wer 8622  [cec 8623   / cqs 8624  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343   /_s cqus 17409  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813  SubGrpcsubg 18999  NrmSGrpcnsg 19000   ~_QG cqg 19001  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  opp_rcoppr 20221  inv_rcinvr 20272  NzRingcnzr 20397  DivRingcdr 20614  LIdealclidl 21113  2Idealc2idl 21156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-oppg 19225  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-nzr 20398  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-2idl 21157

This theorem is referenced by:  qsdrng  33434