Theorem qsdrnglem2 33556

Description: Lemma for qsdrng 33557. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsdrnglem2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsdrnglem2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
qsdrnglem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
qsdrnglem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
qsdrnglem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
qsdrnglem2	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Proof of Theorem qsdrnglem2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsdrng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20493	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		qsdrnglem2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6	5	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	4	ringgrpd 20223	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Grp)
8		qsdrnglem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
12		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
13		qsdrnglem2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))
14	13	eldifad 3901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
16		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 8, 16	lidlmcl 21223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
18	4, 6, 12, 15, 17	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
19	11, 18	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	8, 20	ringidcl 20246	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
24		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
25	8, 23, 24	grpasscan1 18977	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
26	7, 19, 22, 25	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
27		qsdrnglem2.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
28	27	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐽)
29	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
30	27, 29	sstrd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐵)
31	30	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
33	32	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
35		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
37		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
38		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑄) = (invr‘𝑄)
39		qsdrnglem2.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
40	39	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑄 ∈ DivRing)
41	29, 14	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
42		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
43	42	ecelqsi 8716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
45		qsdrng.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
47	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
48	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
49	46, 47, 48, 1	qusbas 17509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
50	44, 49	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
51	50	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
52		qsdrng.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
53	52	2idllidld 21252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
54	9	lidlsubg 21221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
55	3, 53, 54	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
56		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
57	8, 56	eqger 19153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
59		ecref 8689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
60	58, 41, 59	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
61	13	eldifbd 3902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
62		nelne1 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
63	60, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
64		lidlnsg 21246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
65	3, 53, 64	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
66	45	qus0g 33467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → (0g‘𝑄) = 𝑀)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑄) = 𝑀)
68	63, 67	neeqtrrd 3006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
69	68	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
70	34, 35, 36, 37, 38, 40, 51, 69	drnginvrld 20735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
71	52	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
72	41	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
73	45, 8, 16, 36, 4, 71, 12, 72	qusmul2idl 21277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
74	33, 70, 73	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
75		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
76	45, 75, 20	qus1 21272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
77	76	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
78	4, 71, 77	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
79	74, 78	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
80	55	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
81	80, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
82	81, 22	erth2 8699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀)))
83	79, 82	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
84	8, 24, 23, 56	eqgval 19152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
85	84	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀))
86	85	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
87	4, 31, 83, 86	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
88	28, 87	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)
89	9, 23	lidlacl 21219	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
90	4, 6, 18, 88, 89	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
91	26, 90	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐽)
92	9, 8, 20	lidl1el 21224	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐽 ↔ 𝐽 = 𝐵))
93	92	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐽) → 𝐽 = 𝐵)
94	4, 6, 91, 93	syl21anc 838	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 = 𝐵)
95	34, 35, 38, 39, 50, 68	drnginvrcld 20732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
96	95, 49	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
97		elqsi 8712	. . 3 ⊢ (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
98	96, 97	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
99	94, 98	r19.29a 3145	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   Er wer 8640  [cec 8641   / cqs 8642  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   /_s cqus 17469  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  SubGrpcsubg 19096  NrmSGrpcnsg 19097   ~_QG cqg 19098  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  opp_rcoppr 20316  inv_rcinvr 20367  NzRingcnzr 20489  DivRingcdr 20706  LIdealclidl 21204  2Idealc2idl 21247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-nzr 20490  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-2idl 21248

This theorem is referenced by:  qsdrng  33557