Theorem qsdrnglem2 33079

Description: Lemma for qsdrng 33080. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsdrnglem2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsdrnglem2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
qsdrnglem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
qsdrnglem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
qsdrnglem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
qsdrnglem2	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Proof of Theorem qsdrnglem2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsdrng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20408	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		qsdrnglem2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6	5	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	4	ringgrpd 20137	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑅 ∈ Grp)
8		qsdrnglem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
12		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
13		qsdrnglem2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 ∖ 𝑀))
14	13	eldifad 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
16		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 8, 16	lidlmcl 21074	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
18	4, 6, 12, 15, 17	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽)
19	11, 18	sseldd 3975	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
20		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	8, 20	ringidcl 20155	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
23		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
24		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
25	8, 23, 24	grpasscan1 18921	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
26	7, 19, 22, 25	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
27		qsdrnglem2.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐽)
28	27	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐽)
29	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
30	27, 29	sstrd 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐵)
31	30	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ⊆ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
33	32	oveq1d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
34		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
35		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
36		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
37		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
38		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑄) = (invr‘𝑄)
39		qsdrnglem2.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
40	39	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑄 ∈ DivRing)
41	29, 14	sseldd 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
42		ovex 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
43	42	ecelqsi 8763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
45		qsdrng.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
47	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
48	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
49	46, 47, 48, 1	qusbas 17490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
50	44, 49	eleqtrd 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
51	50	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
52		qsdrng.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
53	52	2idllidld 21101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
54	9	lidlsubg 21072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
55	3, 53, 54	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
56		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
57	8, 56	eqger 19095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
59		ecref 32402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
60	58, 41, 59	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))
61	13	eldifbd 3953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
62		nelne1 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
63	60, 61, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ 𝑀)
64		lidlnsg 33033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
65	3, 53, 64	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
66	45	qus0g 32987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → (0g‘𝑄) = 𝑀)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑄) = 𝑀)
68	63, 67	neeqtrrd 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
69	68	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [𝑋](𝑅 ~QG 𝑀) ≠ (0g‘𝑄))
70	34, 35, 36, 37, 38, 40, 51, 69	drnginvrld 20604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀))(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
71	52	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
72	41	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
73	45, 8, 16, 36, 4, 71, 12, 72	qusmul2 21124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ([𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
74	33, 70, 73	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
75		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
76	45, 75, 20	qus1 21121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
77	76	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
78	4, 71, 77	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
79	74, 78	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
80	55	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
81	80, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er 𝐵)
82	81, 22	erth2 8749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ [(𝑠(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀)))
83	79, 82	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
84	8, 24, 23, 56	eqgval 19094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
85	84	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀))
86	85	simp3d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
87	4, 31, 83, 86	syl21anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
88	28, 87	sseldd 3975	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)
89	9, 23	lidlacl 21070	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐽 ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐽)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
90	4, 6, 18, 88, 89	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑠(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(𝑠(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅))) ∈ 𝐽)
91	26, 90	eqeltrrd 2826	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐽)
92	9, 8, 20	lidl1el 21075	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐽 ↔ 𝐽 = 𝐵))
93	92	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐽) → 𝐽 = 𝐵)
94	4, 6, 91, 93	syl21anc 835	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀)) → 𝐽 = 𝐵)
95	34, 35, 38, 39, 50, 68	drnginvrcld 20601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
96	95, 49	eleqtrrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)))
97		elqsi 8760	. . 3 ⊢ (((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝑀)) → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
98	96, 97	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 ((invr‘𝑄)‘[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [𝑠](𝑅 ~QG 𝑀))
99	94, 98	r19.29a 3154	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062  Vcvv 3466   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   Er wer 8696  [cec 8697   / cqs 8698  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17384   /_s cqus 17450  Grpcgrp 18853  inv_gcminusg 18854  SubGrpcsubg 19037  NrmSGrpcnsg 19038   ~_QG cqg 19039  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  opp_rcoppr 20225  inv_rcinvr 20279  NzRingcnzr 20404  DivRingcdr 20577  LIdealclidl 21055  2Idealc2idl 21096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-nzr 20405  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-lidl 21057  df-2idl 21097

This theorem is referenced by:  qsdrng  33080