Theorem frlmisfrlm 20512

Description: A free module is isomorphic to a free module over the same (nonzero) ring, with the same cardinality. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
frlmisfrlm	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 (𝑅 freeLMod 𝐽))

Proof of Theorem frlmisfrlm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 19584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3	2	frlmlmod 20418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 576	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
5	4	3adant3 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
7		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
8	2, 6, 7	frlmlbs 20461	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9	1, 8	sylan 576	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
10	9	3adant3 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11		simp3 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝐼 ≈ 𝐽)
12	11	ensymd 8246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝐽 ≈ 𝐼)
13	6	uvcendim 20511	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
14	13	3adant3 1163	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
15		entr 8247	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≈ 𝐼 ∧ 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
16	12, 14, 15	syl2anc 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
17		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
18	17, 7	lbslcic 20505	. . 3 ⊢ (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
19	5, 10, 16, 18	syl3anc 1491	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
20	2	frlmsca 20422	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
21	20	3adant3 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
22	21	oveq1d 6893	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐽) = ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
23	19, 22	breqtrrd 4871	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 (𝑅 freeLMod 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ran crn 5313  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ≈ cen 8192  Scalarcsca 16270  Ringcrg 18863  LModclmod 19181   ≃_𝑚 clmic 19342  LBasisclbs 19395  NzRingcnzr 19580   freeLMod cfrlm 20415   unitVec cuvc 20446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lmhm 19343  df-lmim 19344  df-lmic 19345  df-lbs 19396  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-nzr 19581  df-dsmm 20401  df-frlm 20416  df-uvc 20447  df-lindf 20470  df-linds 20471

This theorem is referenced by:  frlmiscvec  20513