MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmisfrlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmisfrlm 21799
Description: A free module is isomorphic to a free module over the same (nonzero) ring, with the same cardinality. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
frlmisfrlm ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 (𝑅 freeLMod 𝐽))

Proof of Theorem frlmisfrlm
StepHypRef Expression
1 nzrring 20467 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
32frlmlmod 21700 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑌) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
41, 3sylan 578 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
543adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
82, 6, 7frlmlbs 21748 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑌) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
91, 8sylan 578 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1093adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝐼𝐽)
1211ensymd 9026 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝐽𝐼)
136uvcendim 21798 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
14133adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
15 entr 9027 . . . 4 ((𝐽𝐼𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
1612, 14, 15syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
17 eqid 2725 . . . 4 (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
1817, 7lbslcic 21792 . . 3 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
195, 10, 16, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
202frlmsca 21704 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
21203adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2221oveq1d 7434 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐽) = ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
2319, 22breqtrrd 5177 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 (𝑅 freeLMod 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  cen 8961  Scalarcsca 17239  Ringcrg 20185  NzRingcnzr 20463  LModclmod 20755  𝑚 clmic 20918  LBasisclbs 20971   freeLMod cfrlm 21697   unitVec cuvc 21733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-nzr 20464  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lmhm 20919  df-lmim 20920  df-lmic 20921  df-lbs 20972  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-uvc 21734  df-lindf 21757  df-linds 21758
This theorem is referenced by:  frlmiscvec  21800
  Copyright terms: Public domain W3C validator