Theorem frlmisfrlm 22155

Description: A free module is isomorphic to a free module over the same (nonzero) ring, with the same cardinality. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
frlmisfrlm	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 (𝑅 freeLMod 𝐽))

Proof of Theorem frlmisfrlm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20767	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3	2	frlmlmod 22056	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
5	4	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
8	2, 6, 7	frlmlbs 22104	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9	1, 8	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
10	9	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝐼 ≈ 𝐽)
12	11	ensymd 9033	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝐽 ≈ 𝐼)
13	6	uvcendim 22154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
14	13	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
15		entr 9034	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≈ 𝐼 ∧ 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
16	12, 14, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
18	17, 7	lbslcic 22148	. . 3 ⊢ (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
19	5, 10, 16, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
20	2	frlmsca 22060	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
21	20	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
22	21	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐽) = ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
23	19, 22	breqtrrd 5132	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 (𝑅 freeLMod 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ≈ cen 8971  Scalarcsca 17432  Ringcrg 20460  NzRingcnzr 20763  LModclmod 21136   ≃_𝑚 clmic 21297  LBasisclbs 21350   freeLMod cfrlm 22053   unitVec cuvc 22089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-nzr 20764  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-lmhm 21298  df-lmim 21299  df-lmic 21300  df-lbs 21351  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-dsmm 22039  df-frlm 22054  df-uvc 22090  df-lindf 22113  df-linds 22114

This theorem is used by:  frlmiscvec  22156