MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmisfrlm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmisfrlm 21623
Description: A free module is isomorphic to a free module over the same (nonzero) ring, with the same cardinality. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
frlmisfrlm ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) β‰ƒπ‘š (𝑅 freeLMod 𝐽))
Proof of Theorem frlmisfrlm
StepHypRef Expression
1 nzrring 20408 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
32frlmlmod 21524 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
41, 3sylan 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
543adant3 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
7 eqid 2731 . . . . . 6 (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
82, 6, 7frlmlbs 21572 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
91, 8sylan 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1093adant3 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ 𝐼 β‰ˆ 𝐽)
1211ensymd 9004 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ 𝐽 β‰ˆ 𝐼)
136uvcendim 21622 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
14133adant3 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
15 entr 9005 . . . 4 ((𝐽 β‰ˆ 𝐼 ∧ 𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) β†’ 𝐽 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
1612, 14, 15syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ 𝐽 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
17 eqid 2731 . . . 4 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
1817, 7lbslcic 21616 . . 3 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝐽 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) β‰ƒπ‘š ((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
195, 10, 16, 18syl3anc 1370 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) β‰ƒπ‘š ((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
202frlmsca 21528 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
21203adant3 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2221oveq1d 7427 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐽) = ((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
2319, 22breqtrrd 5177 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐽) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) β‰ƒπ‘š (𝑅 freeLMod 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   β‰ˆ cen 8939  Scalarcsca 17205  Ringcrg 20128  NzRingcnzr 20404  LModclmod 20615   β‰ƒπ‘š clmic 20777  LBasisclbs 20830   freeLMod cfrlm 21521   unitVec cuvc 21557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-nzr 20405  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lmhm 20778  df-lmim 20779  df-lmic 20780  df-lbs 20831  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-uvc 21558  df-lindf 21581  df-linds 21582
This theorem is referenced by:  frlmiscvec  21624
  Copyright terms: Public domain W3C validator