Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmisfrlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmisfrlm 20995
 Description: A free module is isomorphic to a free module over the same (nonzero) ring, with the same cardinality. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
frlmisfrlm ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 (𝑅 freeLMod 𝐽))

Proof of Theorem frlmisfrlm
StepHypRef Expression
1 nzrring 20037 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
32frlmlmod 20896 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑌) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
41, 3sylan 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
543adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
82, 6, 7frlmlbs 20944 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑌) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
91, 8sylan 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1093adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝐼𝐽)
1211ensymd 8557 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝐽𝐼)
136uvcendim 20994 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
14133adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
15 entr 8558 . . . 4 ((𝐽𝐼𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
1612, 14, 15syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
17 eqid 2824 . . . 4 (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
1817, 7lbslcic 20988 . . 3 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝐽 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
195, 10, 16, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
202frlmsca 20900 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
21203adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2221oveq1d 7165 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐽) = ((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐽))
2319, 22breqtrrd 5081 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑌𝐼𝐽) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ≃𝑚 (𝑅 freeLMod 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ran crn 5544  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150   ≈ cen 8503  Scalarcsca 16571  Ringcrg 19300  LModclmod 19637   ≃𝑚 clmic 19796  LBasisclbs 19849  NzRingcnzr 20033   freeLMod cfrlm 20893   unitVec cuvc 20929 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-sup 8904  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-hash 13699  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lmhm 19797  df-lmim 19798  df-lmic 19799  df-lbs 19850  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-nzr 20034  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-uvc 20930  df-lindf 20953  df-linds 20954 This theorem is referenced by:  frlmiscvec  20996
 Copyright terms: Public domain W3C validator