Theorem nzrneg1ne0 45054

Description: The additive inverse of the 1 in a nonzero ring is not zero ( -1 =/= 0 ). (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nzrneg1ne0	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem nzrneg1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20271	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	1unit 19648	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
6	2, 5	unitnegcl 19671	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
7	1, 4, 6	syl2anc2 588	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	nzrunit 20277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅))
10	7, 9	mpdan 687	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ‘cfv 6369  0_gc0g 16916  inv_gcminusg 18338  1_rcur 19488  Ringcrg 19534  Unitcui 19629  NzRingcnzr 20267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-tpos 7957  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-0g 16918  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-oppr 19613  df-dvdsr 19631  df-unit 19632  df-invr 19662  df-nzr 20268

This theorem is referenced by:  islindeps2  45451