Theorem ply1remlem 26333

Description: A term of the form 𝑥 − 𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.u	⊢ 𝑈 = (Monic1p‘𝑅)
ply1rem.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1rem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1remlem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
2		ply1rem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
3		nzrring 20624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1rem.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 22418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
8		ringgrp 20326	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
10		ply1rem.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
11		ply1rem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	10, 5, 11	vr1cl 22388	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	4, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		ply1rem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
15		ply1rem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16	5, 14, 15, 11	ply1sclf 22457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
17	4, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
18		ply1rem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
19	17, 18	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵)
20		ply1rem.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
21	11, 20	grpsubcl 19092	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵)
22	9, 13, 19, 21	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵)
23	1, 22	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
24	1	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
25		ply1rem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
26	25, 5, 11	deg1xrcl 26250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ*)
27	19, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ*)
28		0xr 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30		1re 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		rexr 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
32	30, 31	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
33	25, 5, 15, 14	deg1sclle 26280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ≤ 0)
34	4, 18, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ≤ 0)
35		0lt1 11742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
37	27, 29, 32, 34, 36	xrlelttrd 13191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) < 1)
38		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
39	38, 11	mgpbas 20227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
41	39, 40	mulg1 19153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
42	13, 41	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
43	42	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
44		1nn0 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
45	25, 5, 10, 38, 40	deg1pw 26289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
46	2, 44, 45	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
47	43, 46	eqtr3d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)
48	37, 47	breqtrrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) < (𝐷‘𝑋))
49	5, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48	deg1sub 26276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁))) = (𝐷‘𝑋))
50	24, 49	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘𝑋))
51	50, 47	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
52	51, 44	eqeltrdi 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
53		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
54	25, 5, 53, 11	deg1nn0clb 26258	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
55	4, 23, 54	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
56	52, 55	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
57	51	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = ((coe1‘𝐺)‘1))
58	1	fveq2i 6884	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
59	58	fveq1i 6882	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘1) = ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1)
60	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
61		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
62	5, 11, 20, 61	coe1subfv 22438	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
63	4, 13, 19, 60, 62	syl31anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
64	59, 63	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
65	42	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋))
66	5	ply1sca 22423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
67	2, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
68	67	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
69	68	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋))
70	5	ply1lmod 22422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
71	4, 70	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
72		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
73		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
74		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
75	11, 72, 73, 74	lmodvs1 21022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = 𝑋)
76	71, 13, 75	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = 𝑋)
77	65, 69, 76	3eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
78	77	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1‘𝑋))
79	78	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1‘𝑋)‘1))
80		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
81	15, 80	ringidcl 20355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
82	4, 81	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
83		ply1rem.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
84	83, 15, 5, 10, 73, 38, 40	coe1tmfv1 22446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r‘𝑅))
85	4, 82, 60, 84	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r‘𝑅))
86	79, 85	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑋)‘1) = (1r‘𝑅))
87		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
88	5, 14, 15, 87	coe1scl 22459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → (coe1‘(𝐴‘𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))))
89	4, 18, 88	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐴‘𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))))
90	89	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1))
91		ax-1ne0 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
92		neeq1 3019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
93	91, 92	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
94		ifnefalse 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 0 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
95	93, 94	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
96		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))
97		fvex 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
98	95, 96, 97	fvmpt 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1) = (0g‘𝑅))
99	44, 98	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1) = (0g‘𝑅)
100	90, 99	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1) = (0g‘𝑅))
101	86, 100	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)) = ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
102		ringgrp 20326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
103	4, 102	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
104	15, 87, 61	grpsubid1 19097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
105	103, 82, 104	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
106	101, 105	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)) = (1r‘𝑅))
107	57, 64, 106	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
108		ply1rem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Monic1p‘𝑅)
109	5, 11, 53, 25, 108, 80	ismon1p 26311	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅)))
110	23, 56, 107, 109	syl3anbrc 1361	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
111	1	fveq2i 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂‘𝐺) = (𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
112	111	fveq1i 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥)
113		ply1rem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
114		ply1rem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
115	114	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
116		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾)
117	113, 10, 15, 5, 11, 115, 116	evl1vard 22508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑥) = 𝑥))
118	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
119	113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116	evl1scad 22506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑁))‘𝑥) = 𝑁))
120	113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61	evl1subd 22513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁)))
121	120	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁))
122	112, 121	eqtrid 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁))
123	122	eqeq1d 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ))
124	103	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Grp)
125	15, 83, 61	grpsubeq0 19098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → ((𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
126	124, 116, 118, 125	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
127	123, 126	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
128		velsn 4604	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
129	127, 128	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
130	129	pm5.32da 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ {𝑁})))
131		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
132		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
133	15	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
134	133	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
135	113, 5, 131, 15	evl1rhm 22503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
136	114, 135	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
137	11, 132	rhmf 20574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
138	136, 137	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
139	138, 23	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
140	131, 15, 132, 2, 134, 139	pwselbas 17548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):𝐾⟶𝐾)
141	140	ffnd 6706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾)
142		fniniseg 7055	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )))
143	141, 142	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )))
144	18	snssd 4751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ 𝐾)
145	144	sseld 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} → 𝑥 ∈ 𝐾))
146	145	pm4.71rd 571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ {𝑁})))
147	130, 143, 146	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
148	147	eqrdv 2760	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁})
149	110, 51, 148	3jca 1145	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454  ifcif 4486  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5659   “ cima 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  0_gc0g 17498   ↑_s cpws 17505  Grpcgrp 19006  -_gcsg 19008  ._gcmg 19139  mulGrpcmgp 20222  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322   RingHom crh 20558  NzRingcnzr 20620  LModclmod 20992  algSccascl 22013  var₁cv1 22347  Poly₁cpl1 22348  coe₁cco1 22349  eval₁ce1 22485  deg₁cdg1 26222  Monic_1pcmn1 26294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-srg 20275  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-rhm 20561  df-nzr 20621  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-rlreg 20804  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-cnfld 21534  df-assa 22014  df-asp 22015  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-evls 22236  df-evl 22237  df-psr1 22351  df-vr1 22352  df-ply1 22353  df-coe1 22354  df-evl1 22487  df-mdeg 26223  df-deg1 26224  df-mon1 26299

This theorem is used by:  ply1rem  26334  facth1  26335  fta1glem1  26336  fta1glem2  26337  irngss  34086