MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1remlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1remlem 25915
Description: A term of the form π‘₯ βˆ’ 𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1rem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ply1rem.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1rem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
ply1rem.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.u π‘ˆ = (Monic1pβ€˜π‘…)
ply1rem.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1rem.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1remlem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ π‘ˆ ∧ (π·β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1rem.g . . . 4 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))
2 ply1rem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
3 nzrring 20407 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ply1rem.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
65ply1ring 21990 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
8 ringgrp 20132 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
10 ply1rem.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
11 ply1rem.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1210, 5, 11vr1cl 21960 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
134, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
14 ply1rem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
15 ply1rem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
165, 14, 15, 11ply1sclf 22027 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
18 ply1rem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
1917, 18ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡)
20 ply1rem.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
2111, 20grpsubcl 18939 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
229, 13, 19, 21syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
231, 22eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
241fveq2i 6893 . . . . . . 7 (π·β€˜πΊ) = (π·β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))
25 ply1rem.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
2625, 5, 11deg1xrcl 25835 . . . . . . . . . . 11 ((π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) ∈ ℝ*)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) ∈ ℝ*)
28 0xr 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
30 1re 11218 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
31 rexr 11264 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ β†’ 1 ∈ ℝ*)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ*)
3325, 5, 15, 14deg1sclle 25865 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) ≀ 0)
344, 18, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) ≀ 0)
35 0lt1 11740 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
3727, 29, 32, 34, 36xrlelttrd 13143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) < 1)
38 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
3938, 11mgpbas 20034 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
40 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
4139, 40mulg1 18997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋) = 𝑋)
4213, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋) = 𝑋)
4342fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = (π·β€˜π‘‹))
44 1nn0 12492 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
4525, 5, 10, 38, 40deg1pw 25873 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (π·β€˜(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = 1)
462, 44, 45sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = 1)
4743, 46eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘‹) = 1)
4837, 47breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) < (π·β€˜π‘‹))
495, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48deg1sub 25861 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) = (π·β€˜π‘‹))
5024, 49eqtrid 2782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = (π·β€˜π‘‹))
5150, 47eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = 1)
5251, 44eqeltrdi 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
53 eqid 2730 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
5425, 5, 53, 11deg1nn0clb 25843 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
554, 23, 54syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
5652, 55mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
5751fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = ((coe1β€˜πΊ)β€˜1))
581fveq2i 6893 . . . . . 6 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))
5958fveq1i 6891 . . . . 5 ((coe1β€˜πΊ)β€˜1) = ((coe1β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜1)
6044a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
61 eqid 2730 . . . . . . 7 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
625, 11, 20, 61coe1subfv 22008 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜1) = (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)))
634, 13, 19, 60, 62syl31anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜1) = (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)))
6459, 63eqtrid 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜1) = (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)))
6542oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋))
665ply1sca 21995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
672, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
6867fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
6968oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋))
705ply1lmod 21994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
714, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
73 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
74 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
7511, 72, 73, 74lmodvs1 20644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋) = 𝑋)
7671, 13, 75syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋) = 𝑋)
7765, 69, 763eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = 𝑋)
7877fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋))) = (coe1β€˜π‘‹))
7978fveq1d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = ((coe1β€˜π‘‹)β€˜1))
80 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
8115, 80ringidcl 20154 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾)
83 ply1rem.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
8483, 15, 5, 10, 73, 38, 40coe1tmfv1 22016 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
854, 82, 60, 84syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
8679, 85eqtr3d 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π‘‹)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
87 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
885, 14, 15, 87coe1scl 22029 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…))))
894, 18, 88syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…))))
9089fveq1d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1) = ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)))β€˜1))
91 ax-1ne0 11181 . . . . . . . . . . 11 1 β‰  0
92 neeq1 3001 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ 1 β‰  0))
9391, 92mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 1 β†’ π‘₯ β‰  0)
94 ifnefalse 4539 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰  0 β†’ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
96 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…))) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)))
97 fvex 6903 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 6997 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)))β€˜1) = (0gβ€˜π‘…))
9944, 98ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)))β€˜1) = (0gβ€˜π‘…)
10090, 99eqtrdi 2786 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1) = (0gβ€˜π‘…))
10186, 100oveq12d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)) = ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
102 ringgrp 20132 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1034, 102syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
10415, 87, 61grpsubid1 18944 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
105103, 82, 104syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
106101, 105eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)) = (1rβ€˜π‘…))
10757, 64, 1063eqtrd 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (1rβ€˜π‘…))
108 ply1rem.u . . . 4 π‘ˆ = (Monic1pβ€˜π‘…)
1095, 11, 53, 25, 108, 80ismon1p 25895 . . 3 (𝐺 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (1rβ€˜π‘…)))
11023, 56, 107, 109syl3anbrc 1341 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘ˆ)
1111fveq2i 6893 . . . . . . . . . 10 (π‘‚β€˜πΊ) = (π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))
112111fveq1i 6891 . . . . . . . . 9 ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜π‘₯)
113 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
114 ply1rem.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
115114adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
116 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
117113, 10, 15, 5, 11, 115, 116evl1vard 22076 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘‹)β€˜π‘₯) = π‘₯))
11818adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
119113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116evl1scad 22074 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜π‘₯) = 𝑁))
120113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61evl1subd 22081 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜π‘₯) = (π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁)))
121120simprd 494 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜π‘₯) = (π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁))
122112, 121eqtrid 2782 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = (π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁))
123122eqeq1d 2732 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁) = 0 ))
124103adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
12515, 83, 61grpsubeq0 18945 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑁))
126124, 116, 118, 125syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑁))
127123, 126bitrd 278 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑁))
128 velsn 4643 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑁} ↔ π‘₯ = 𝑁)
129127, 128bitr4di 288 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ ∈ {𝑁}))
130129pm5.32da 577 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ {𝑁})))
131 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
132 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
13315fvexi 6904 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
134133a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
135113, 5, 131, 15evl1rhm 22071 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
136114, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
13711, 132rhmf 20376 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
138136, 137syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
139138, 23ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
140131, 15, 132, 2, 134, 139pwselbas 17439 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ):𝐾⟢𝐾)
141140ffnd 6717 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ) Fn 𝐾)
142 fniniseg 7060 . . . . 5 ((π‘‚β€˜πΊ) Fn 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 )))
143141, 142syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 )))
14418snssd 4811 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑁} βŠ† 𝐾)
145144sseld 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑁} β†’ π‘₯ ∈ 𝐾))
146145pm4.71rd 561 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑁} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ {𝑁})))
147130, 143, 1463bitr4d 310 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ π‘₯ ∈ {𝑁}))
148147eqrdv 2728 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {𝑁})
149110, 51, 1483jca 1126 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ π‘ˆ ∧ (π·β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389   ↑s cpws 17396  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  .gcmg 18986  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128   RingHom crh 20360  NzRingcnzr 20403  LModclmod 20614  algSccascl 21626  var1cv1 21919  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921  eval1ce1 22053   deg1 cdg1 25804  Monic1pcmn1 25878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-assa 21627  df-asp 21628  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-evls 21854  df-evl 21855  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-evl1 22055  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-mon1 25883
This theorem is referenced by:  ply1rem  25916  facth1  25917  fta1glem1  25918  fta1glem2  25919  irngss  33040
  Copyright terms: Public domain W3C validator