MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1remlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1remlem 26020
Description: A term of the form π‘₯ βˆ’ 𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1rem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ply1rem.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1rem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
ply1rem.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.u π‘ˆ = (Monic1pβ€˜π‘…)
ply1rem.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1rem.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1remlem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ π‘ˆ ∧ (π·β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1rem.g . . . 4 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))
2 ply1rem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
3 nzrring 20408 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ply1rem.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
65ply1ring 22089 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
8 ringgrp 20133 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
10 ply1rem.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
11 ply1rem.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1210, 5, 11vr1cl 22059 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
134, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
14 ply1rem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
15 ply1rem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
165, 14, 15, 11ply1sclf 22126 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
18 ply1rem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
1917, 18ffvelcdmd 7077 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡)
20 ply1rem.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
2111, 20grpsubcl 18938 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
229, 13, 19, 21syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
231, 22eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
241fveq2i 6884 . . . . . . 7 (π·β€˜πΊ) = (π·β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))
25 ply1rem.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
2625, 5, 11deg1xrcl 25940 . . . . . . . . . . 11 ((π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) ∈ ℝ*)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) ∈ ℝ*)
28 0xr 11258 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
30 1re 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
31 rexr 11257 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ β†’ 1 ∈ ℝ*)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ*)
3325, 5, 15, 14deg1sclle 25970 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) ≀ 0)
344, 18, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) ≀ 0)
35 0lt1 11733 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
3727, 29, 32, 34, 36xrlelttrd 13136 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) < 1)
38 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
3938, 11mgpbas 20035 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
40 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
4139, 40mulg1 18998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋) = 𝑋)
4213, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋) = 𝑋)
4342fveq2d 6885 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = (π·β€˜π‘‹))
44 1nn0 12485 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
4525, 5, 10, 38, 40deg1pw 25978 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (π·β€˜(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = 1)
462, 44, 45sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = 1)
4743, 46eqtr3d 2766 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘‹) = 1)
4837, 47breqtrrd 5166 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘)) < (π·β€˜π‘‹))
495, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48deg1sub 25966 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) = (π·β€˜π‘‹))
5024, 49eqtrid 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = (π·β€˜π‘‹))
5150, 47eqtrd 2764 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = 1)
5251, 44eqeltrdi 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
53 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
5425, 5, 53, 11deg1nn0clb 25948 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
554, 23, 54syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
5652, 55mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
5751fveq2d 6885 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = ((coe1β€˜πΊ)β€˜1))
581fveq2i 6884 . . . . . 6 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))
5958fveq1i 6882 . . . . 5 ((coe1β€˜πΊ)β€˜1) = ((coe1β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜1)
6044a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
61 eqid 2724 . . . . . . 7 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
625, 11, 20, 61coe1subfv 22107 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜1) = (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)))
634, 13, 19, 60, 62syl31anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜1) = (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)))
6459, 63eqtrid 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜1) = (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)))
6542oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋))
665ply1sca 22094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
672, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
6867fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
6968oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋))
705ply1lmod 22093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
714, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
73 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
74 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
7511, 72, 73, 74lmodvs1 20726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋) = 𝑋)
7671, 13, 75syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑋) = 𝑋)
7765, 69, 763eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)) = 𝑋)
7877fveq2d 6885 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋))) = (coe1β€˜π‘‹))
7978fveq1d 6883 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = ((coe1β€˜π‘‹)β€˜1))
80 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
8115, 80ringidcl 20155 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾)
83 ply1rem.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
8483, 15, 5, 10, 73, 38, 40coe1tmfv1 22115 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
854, 82, 60, 84syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜((1rβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))𝑋)))β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
8679, 85eqtr3d 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π‘‹)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
87 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
885, 14, 15, 87coe1scl 22128 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…))))
894, 18, 88syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…))))
9089fveq1d 6883 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1) = ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)))β€˜1))
91 ax-1ne0 11175 . . . . . . . . . . 11 1 β‰  0
92 neeq1 2995 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ 1 β‰  0))
9391, 92mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 1 β†’ π‘₯ β‰  0)
94 ifnefalse 4532 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰  0 β†’ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
96 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…))) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)))
97 fvex 6894 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 6988 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)))β€˜1) = (0gβ€˜π‘…))
9944, 98ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, 𝑁, (0gβ€˜π‘…)))β€˜1) = (0gβ€˜π‘…)
10090, 99eqtrdi 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1) = (0gβ€˜π‘…))
10186, 100oveq12d 7419 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)) = ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
102 ringgrp 20133 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1034, 102syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
10415, 87, 61grpsubid1 18943 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
105103, 82, 104syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
106101, 105eqtrd 2764 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜π‘‹)β€˜1)(-gβ€˜π‘…)((coe1β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜1)) = (1rβ€˜π‘…))
10757, 64, 1063eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (1rβ€˜π‘…))
108 ply1rem.u . . . 4 π‘ˆ = (Monic1pβ€˜π‘…)
1095, 11, 53, 25, 108, 80ismon1p 26000 . . 3 (𝐺 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (1rβ€˜π‘…)))
11023, 56, 107, 109syl3anbrc 1340 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘ˆ)
1111fveq2i 6884 . . . . . . . . . 10 (π‘‚β€˜πΊ) = (π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))
112111fveq1i 6882 . . . . . . . . 9 ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜π‘₯)
113 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
114 ply1rem.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
115114adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
116 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
117113, 10, 15, 5, 11, 115, 116evl1vard 22178 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘‹)β€˜π‘₯) = π‘₯))
11818adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
119113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116evl1scad 22176 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘))β€˜π‘₯) = 𝑁))
120113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61evl1subd 22183 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜π‘₯) = (π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁)))
121120simprd 495 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘)))β€˜π‘₯) = (π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁))
122112, 121eqtrid 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = (π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁))
123122eqeq1d 2726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁) = 0 ))
124103adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
12515, 83, 61grpsubeq0 18944 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑁))
126124, 116, 118, 125syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘…)𝑁) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑁))
127123, 126bitrd 279 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑁))
128 velsn 4636 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑁} ↔ π‘₯ = 𝑁)
129127, 128bitr4di 289 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ ∈ {𝑁}))
130129pm5.32da 578 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ {𝑁})))
131 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
132 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
13315fvexi 6895 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
134133a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
135113, 5, 131, 15evl1rhm 22173 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
136114, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
13711, 132rhmf 20377 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
138136, 137syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
139138, 23ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
140131, 15, 132, 2, 134, 139pwselbas 17434 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ):𝐾⟢𝐾)
141140ffnd 6708 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ) Fn 𝐾)
142 fniniseg 7051 . . . . 5 ((π‘‚β€˜πΊ) Fn 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 )))
143141, 142syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 0 )))
14418snssd 4804 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑁} βŠ† 𝐾)
145144sseld 3973 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑁} β†’ π‘₯ ∈ 𝐾))
146145pm4.71rd 562 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑁} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ {𝑁})))
147130, 143, 1463bitr4d 311 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ π‘₯ ∈ {𝑁}))
148147eqrdv 2722 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {𝑁})
149110, 51, 1483jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ π‘ˆ ∧ (π·β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466  ifcif 4520  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665   β€œ cima 5669   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246  β„•0cn0 12469  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   ↑s cpws 17391  Grpcgrp 18853  -gcsg 18855  .gcmg 18985  mulGrpcmgp 20029  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  NzRingcnzr 20404  LModclmod 20696  algSccascl 21715  var1cv1 22018  Poly1cpl1 22019  coe1cco1 22020  eval1ce1 22155   deg1 cdg1 25909  Monic1pcmn1 25983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-rhm 20364  df-nzr 20405  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-rlreg 21183  df-cnfld 21229  df-assa 21716  df-asp 21717  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-evls 21945  df-evl 21946  df-psr1 22022  df-vr1 22023  df-ply1 22024  df-coe1 22025  df-evl1 22157  df-mdeg 25910  df-deg1 25911  df-mon1 25988
This theorem is referenced by:  ply1rem  26021  facth1  26022  fta1glem1  26023  fta1glem2  26024  irngss  33231
  Copyright terms: Public domain W3C validator