Theorem ply1remlem 26291

Description: A term of the form 𝑥 − 𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.u	⊢ 𝑈 = (Monic1p‘𝑅)
ply1rem.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1rem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1remlem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
2		ply1rem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
3		nzrring 20599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1rem.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 22376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
8		ringgrp 20320	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
10		ply1rem.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
11		ply1rem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	10, 5, 11	vr1cl 22346	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	4, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		ply1rem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
15		ply1rem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16	5, 14, 15, 11	ply1sclf 22415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
17	4, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
18		ply1rem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
19	17, 18	ffvelcdmd 7081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵)
20		ply1rem.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
21	11, 20	grpsubcl 19086	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵)
22	9, 13, 19, 21	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵)
23	1, 22	eqeltrid 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
24	1	fveq2i 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
25		ply1rem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
26	25, 5, 11	deg1xrcl 26208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ*)
27	19, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ*)
28		0xr 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30		1re 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		rexr 11255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
32	30, 31	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
33	25, 5, 15, 14	deg1sclle 26238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ≤ 0)
34	4, 18, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ≤ 0)
35		0lt1 11736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
37	27, 29, 32, 34, 36	xrlelttrd 13185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) < 1)
38		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
39	38, 11	mgpbas 20221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
41	39, 40	mulg1 19147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
42	13, 41	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
43	42	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
44		1nn0 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
45	25, 5, 10, 38, 40	deg1pw 26247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
46	2, 44, 45	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
47	43, 46	eqtr3d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)
48	37, 47	breqtrrd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) < (𝐷‘𝑋))
49	5, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48	deg1sub 26234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁))) = (𝐷‘𝑋))
50	24, 49	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘𝑋))
51	50, 47	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
52	51, 44	eqeltrdi 2877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
53		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
54	25, 5, 53, 11	deg1nn0clb 26216	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
55	4, 23, 54	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
56	52, 55	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
57	51	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = ((coe1‘𝐺)‘1))
58	1	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
59	58	fveq1i 6883	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘1) = ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1)
60	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
61		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
62	5, 11, 20, 61	coe1subfv 22396	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
63	4, 13, 19, 60, 62	syl31anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
64	59, 63	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
65	42	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋))
66	5	ply1sca 22381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
67	2, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
68	67	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
69	68	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋))
70	5	ply1lmod 22380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
71	4, 70	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
72		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
73		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
74		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
75	11, 72, 73, 74	lmodvs1 20989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = 𝑋)
76	71, 13, 75	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = 𝑋)
77	65, 69, 76	3eqtrd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
78	77	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1‘𝑋))
79	78	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1‘𝑋)‘1))
80		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
81	15, 80	ringidcl 20348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
82	4, 81	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
83		ply1rem.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
84	83, 15, 5, 10, 73, 38, 40	coe1tmfv1 22404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r‘𝑅))
85	4, 82, 60, 84	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r‘𝑅))
86	79, 85	eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑋)‘1) = (1r‘𝑅))
87		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
88	5, 14, 15, 87	coe1scl 22417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → (coe1‘(𝐴‘𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))))
89	4, 18, 88	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐴‘𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))))
90	89	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1))
91		ax-1ne0 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
92		neeq1 3026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
93	91, 92	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
94		ifnefalse 4502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 0 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
95	93, 94	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
96		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))
97		fvex 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
98	95, 96, 97	fvmpt 6990	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1) = (0g‘𝑅))
99	44, 98	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1) = (0g‘𝑅)
100	90, 99	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1) = (0g‘𝑅))
101	86, 100	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)) = ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
102		ringgrp 20320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
103	4, 102	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
104	15, 87, 61	grpsubid1 19091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
105	103, 82, 104	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
106	101, 105	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)) = (1r‘𝑅))
107	57, 64, 106	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
108		ply1rem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Monic1p‘𝑅)
109	5, 11, 53, 25, 108, 80	ismon1p 26269	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅)))
110	23, 56, 107, 109	syl3anbrc 1360	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
111	1	fveq2i 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂‘𝐺) = (𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
112	111	fveq1i 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥)
113		ply1rem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
114		ply1rem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
115	114	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
116		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾)
117	113, 10, 15, 5, 11, 115, 116	evl1vard 22466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑥) = 𝑥))
118	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
119	113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116	evl1scad 22464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑁))‘𝑥) = 𝑁))
120	113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61	evl1subd 22471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁)))
121	120	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁))
122	112, 121	eqtrid 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁))
123	122	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ))
124	103	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Grp)
125	15, 83, 61	grpsubeq0 19092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → ((𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
126	124, 116, 118, 125	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
127	123, 126	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
128		velsn 4608	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
129	127, 128	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
130	129	pm5.32da 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ {𝑁})))
131		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
132		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
133	15	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
134	133	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
135	113, 5, 131, 15	evl1rhm 22461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
136	114, 135	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
137	11, 132	rhmf 20566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
138	136, 137	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
139	138, 23	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
140	131, 15, 132, 2, 134, 139	pwselbas 17542	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):𝐾⟶𝐾)
141	140	ffnd 6707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾)
142		fniniseg 7056	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )))
143	141, 142	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )))
144	18	snssd 4755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ 𝐾)
145	144	sseld 3942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} → 𝑥 ∈ 𝐾))
146	145	pm4.71rd 571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ {𝑁})))
147	130, 143, 146	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
148	147	eqrdv 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁})
149	110, 51, 148	3jca 1144	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3461  ifcif 4490  {csn 4592   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492   ↑_s cpws 17499  Grpcgrp 19000  -_gcsg 19002  ._gcmg 19133  mulGrpcmgp 20216  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316   RingHom crh 20551  NzRingcnzr 20595  LModclmod 20959  algSccascl 21971  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306  coe₁cco1 22307  eval₁ce1 22443  deg₁cdg1 26180  Monic_1pcmn1 26252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-rhm 20554  df-nzr 20596  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-rlreg 20779  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-cnfld 21492  df-assa 21972  df-asp 21973  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-evls 22194  df-evl 22195  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-evl1 22445  df-mdeg 26181  df-deg1 26182  df-mon1 26257

This theorem is referenced by:  ply1rem  26292  facth1  26293  fta1glem1  26294  fta1glem2  26295  irngss  34022