Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1remlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1remlem 24773
 Description: A term of the form 𝑥 − 𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.u 𝑈 = (Monic1p𝑅)
ply1rem.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1rem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1remlem (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1rem.g . . . 4 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
2 ply1rem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3 nzrring 20031 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ply1rem.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
65ply1ring 20887 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
8 ringgrp 19299 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
10 ply1rem.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
11 ply1rem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
1210, 5, 11vr1cl 20856 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
14 ply1rem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
15 ply1rem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
165, 14, 15, 11ply1sclf 20924 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝐾𝐵)
18 ply1rem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐾)
1917, 18ffvelrnd 6830 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ 𝐵)
20 ply1rem.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
2111, 20grpsubcl 18175 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
229, 13, 19, 21syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
231, 22eqeltrid 2894 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
241fveq2i 6649 . . . . . . 7 (𝐷𝐺) = (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
25 ply1rem.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
2625, 5, 11deg1xrcl 24693 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
28 0xr 10680 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30 1re 10633 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
31 rexr 10679 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
3325, 5, 15, 14deg1sclle 24723 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
344, 18, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
35 0lt1 11154 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
3727, 29, 32, 34, 36xrlelttrd 12544 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < 1)
38 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
3938, 11mgpbas 19242 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4139, 40mulg1 18231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4213, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4342fveq2d 6650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝐷𝑋))
44 1nn0 11904 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
4525, 5, 10, 38, 40deg1pw 24731 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
462, 44, 45sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
4743, 46eqtr3d 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 1)
4837, 47breqtrrd 5059 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < (𝐷𝑋))
495, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48deg1sub 24719 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁))) = (𝐷𝑋))
5024, 49syl5eq 2845 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) = (𝐷𝑋))
5150, 47eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
5251, 44eqeltrdi 2898 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
53 eqid 2798 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
5425, 5, 53, 11deg1nn0clb 24701 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
554, 23, 54syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
5652, 55mpbird 260 . . 3 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝑃))
5751fveq2d 6650 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = ((coe1𝐺)‘1))
581fveq2i 6649 . . . . . 6 (coe1𝐺) = (coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
5958fveq1i 6647 . . . . 5 ((coe1𝐺)‘1) = ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1)
6044a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
61 eqid 2798 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
625, 11, 20, 61coe1subfv 20905 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
634, 13, 19, 60, 62syl31anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6459, 63syl5eq 2845 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6542oveq2d 7152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋))
665ply1sca 20892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
672, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6867fveq2d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6968oveq1d 7151 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋))
705ply1lmod 20891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
714, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
73 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
74 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
7511, 72, 73, 74lmodvs1 19659 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7671, 13, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7765, 69, 763eqtrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
7877fveq2d 6650 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1𝑋))
7978fveq1d 6648 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1𝑋)‘1))
80 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8115, 80ringidcl 19318 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
83 ply1rem.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
8483, 15, 5, 10, 73, 38, 40coe1tmfv1 20913 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
854, 82, 60, 84syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
8679, 85eqtr3d 2835 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝑋)‘1) = (1r𝑅))
87 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
885, 14, 15, 87coe1scl 20926 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
894, 18, 88syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
9089fveq1d 6648 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1))
91 ax-1ne0 10598 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
92 neeq1 3049 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
9391, 92mpbiri 261 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
94 ifnefalse 4437 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ 0 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
96 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))
97 fvex 6659 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 6746 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅))
9944, 98ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅)
10090, 99eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = (0g𝑅))
10186, 100oveq12d 7154 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)))
102 ringgrp 19299 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1034, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
10415, 87, 61grpsubid1 18180 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
105103, 82, 104syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
106101, 105eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = (1r𝑅))
10757, 64, 1063eqtrd 2837 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅))
108 ply1rem.u . . . 4 𝑈 = (Monic1p𝑅)
1095, 11, 53, 25, 108, 80ismon1p 24753 . . 3 (𝐺𝑈 ↔ (𝐺𝐵𝐺 ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅)))
11023, 56, 107, 109syl3anbrc 1340 . 2 (𝜑𝐺𝑈)
1111fveq2i 6649 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝐺) = (𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
112111fveq1i 6647 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥)
113 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1𝑅)
114 ply1rem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
115114adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
116 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
117113, 10, 15, 5, 11, 115, 116evl1vard 20971 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑥) = 𝑥))
11818adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑁𝐾)
119113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116evl1scad 20969 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴𝑁))‘𝑥) = 𝑁))
120113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61evl1subd 20976 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁)))
121120simprd 499 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
122112, 121syl5eq 2845 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
123122eqeq1d 2800 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0 ))
124103adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Grp)
12515, 83, 61grpsubeq0 18181 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐾𝑁𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
126124, 116, 118, 125syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
127123, 126bitrd 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 = 𝑁))
128 velsn 4541 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
129127, 128bitr4di 292 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 ∈ {𝑁}))
130129pm5.32da 582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
131 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
132 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
13315fvexi 6660 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
134133a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
135113, 5, 131, 15evl1rhm 20966 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
136114, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
13711, 132rhmf 19478 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
138136, 137syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
139138, 23ffvelrnd 6830 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
140131, 15, 132, 2, 134, 139pwselbas 16757 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
141140ffnd 6489 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
142 fniniseg 6808 . . . . 5 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
143141, 142syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
14418snssd 4702 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑁} ⊆ 𝐾)
145144sseld 3914 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} → 𝑥𝐾))
146145pm4.71rd 566 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
147130, 143, 1463bitr4d 314 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
148147eqrdv 2796 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁})
149110, 51, 1483jca 1125 1 (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ifcif 4425  {csn 4525   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ◡ccnv 5519   “ cima 5523   Fn wfn 6320  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕ0cn0 11888  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708   ↑s cpws 16715  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  .gcmg 18220  mulGrpcmgp 19236  1rcur 19248  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295   RingHom crh 19464  LModclmod 19631  NzRingcnzr 20027  algSccascl 20546  var1cv1 20815  Poly1cpl1 20816  coe1cco1 20817  eval1ce1 20948   deg1 cdg1 24665  Monic1pcmn1 24736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13690  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-srg 19253  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-nzr 20028  df-rlreg 20053  df-cnfld 20096  df-assa 20547  df-asp 20548  df-ascl 20549  df-psr 20600  df-mvr 20601  df-mpl 20602  df-opsr 20604  df-evls 20751  df-evl 20752  df-psr1 20819  df-vr1 20820  df-ply1 20821  df-coe1 20822  df-evl1 20950  df-mdeg 24666  df-deg1 24667  df-mon1 24741 This theorem is referenced by:  ply1rem  24774  facth1  24775  fta1glem1  24776  fta1glem2  24777
 Copyright terms: Public domain W3C validator