MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1remlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1remlem 24213
Description: A term of the form 𝑥𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.u 𝑈 = (Monic1p𝑅)
ply1rem.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1rem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1remlem (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1rem.g . . . 4 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
2 ply1rem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3 nzrring 19535 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ply1rem.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
65ply1ring 19891 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
8 ringgrp 18819 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
10 ply1rem.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
11 ply1rem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
1210, 5, 11vr1cl 19860 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
14 ply1rem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
15 ply1rem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
165, 14, 15, 11ply1sclf 19928 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝐾𝐵)
18 ply1rem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐾)
1917, 18ffvelrnd 6550 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ 𝐵)
20 ply1rem.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
2111, 20grpsubcl 17762 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
229, 13, 19, 21syl3anc 1490 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
231, 22syl5eqel 2848 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
241fveq2i 6378 . . . . . . 7 (𝐷𝐺) = (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
25 ply1rem.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
2625, 5, 11deg1xrcl 24133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
28 0xr 10340 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30 1re 10293 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
31 rexr 10339 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
3325, 5, 15, 14deg1sclle 24163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
344, 18, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
35 0lt1 10804 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
3727, 29, 32, 34, 36xrlelttrd 12193 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < 1)
38 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
3938, 11mgpbas 18762 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4139, 40mulg1 17815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4213, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4342fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝐷𝑋))
44 1nn0 11556 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
4525, 5, 10, 38, 40deg1pw 24171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
462, 44, 45sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
4743, 46eqtr3d 2801 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 1)
4837, 47breqtrrd 4837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < (𝐷𝑋))
495, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48deg1sub 24159 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁))) = (𝐷𝑋))
5024, 49syl5eq 2811 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) = (𝐷𝑋))
5150, 47eqtrd 2799 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
5251, 44syl6eqel 2852 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
53 eqid 2765 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
5425, 5, 53, 11deg1nn0clb 24141 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
554, 23, 54syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
5652, 55mpbird 248 . . 3 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝑃))
5751fveq2d 6379 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = ((coe1𝐺)‘1))
581fveq2i 6378 . . . . . 6 (coe1𝐺) = (coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
5958fveq1i 6376 . . . . 5 ((coe1𝐺)‘1) = ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1)
6044a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
61 eqid 2765 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
625, 11, 20, 61coe1subfv 19909 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
634, 13, 19, 60, 62syl31anc 1492 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6459, 63syl5eq 2811 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6542oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋))
665ply1sca 19896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
672, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6867fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6968oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋))
705ply1lmod 19895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
714, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
73 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
74 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
7511, 72, 73, 74lmodvs1 19160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7671, 13, 75syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7765, 69, 763eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
7877fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1𝑋))
7978fveq1d 6377 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1𝑋)‘1))
80 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8115, 80ringidcl 18835 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
83 ply1rem.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
8483, 15, 5, 10, 73, 38, 40coe1tmfv1 19917 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
854, 82, 60, 84syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
8679, 85eqtr3d 2801 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝑋)‘1) = (1r𝑅))
87 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
885, 14, 15, 87coe1scl 19930 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
894, 18, 88syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
9089fveq1d 6377 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1))
91 ax-1ne0 10258 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
92 neeq1 2999 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
9391, 92mpbiri 249 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
94 ifnefalse 4255 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ 0 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
96 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))
97 fvex 6388 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 6471 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅))
9944, 98ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅)
10090, 99syl6eq 2815 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = (0g𝑅))
10186, 100oveq12d 6860 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)))
102 ringgrp 18819 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1034, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
10415, 87, 61grpsubid1 17767 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
105103, 82, 104syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
106101, 105eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = (1r𝑅))
10757, 64, 1063eqtrd 2803 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅))
108 ply1rem.u . . . 4 𝑈 = (Monic1p𝑅)
1095, 11, 53, 25, 108, 80ismon1p 24193 . . 3 (𝐺𝑈 ↔ (𝐺𝐵𝐺 ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅)))
11023, 56, 107, 109syl3anbrc 1443 . 2 (𝜑𝐺𝑈)
1111fveq2i 6378 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝐺) = (𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
112111fveq1i 6376 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥)
113 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1𝑅)
114 ply1rem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
115114adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
116 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
117113, 10, 15, 5, 11, 115, 116evl1vard 19974 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑥) = 𝑥))
11818adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑁𝐾)
119113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116evl1scad 19972 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴𝑁))‘𝑥) = 𝑁))
120113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61evl1subd 19979 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁)))
121120simprd 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
122112, 121syl5eq 2811 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
123122eqeq1d 2767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0 ))
124103adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Grp)
12515, 83, 61grpsubeq0 17768 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐾𝑁𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
126124, 116, 118, 125syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
127123, 126bitrd 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 = 𝑁))
128 velsn 4350 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
129127, 128syl6bbr 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 ∈ {𝑁}))
130129pm5.32da 574 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
131 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
132 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
13315fvexi 6389 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
134133a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
135113, 5, 131, 15evl1rhm 19969 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
136114, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
13711, 132rhmf 18995 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
138136, 137syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
139138, 23ffvelrnd 6550 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
140131, 15, 132, 2, 134, 139pwselbas 16415 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
141140ffnd 6224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
142 fniniseg 6528 . . . . 5 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
143141, 142syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
14418snssd 4494 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑁} ⊆ 𝐾)
145144sseld 3760 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} → 𝑥𝐾))
146145pm4.71rd 558 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
147130, 143, 1463bitr4d 302 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
148147eqrdv 2763 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁})
149110, 51, 1483jca 1158 1 (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ccnv 5276  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  0cn0 11538  Basecbs 16130  Scalarcsca 16217   ·𝑠 cvsca 16218  0gc0g 16366  s cpws 16373  Grpcgrp 17689  -gcsg 17691  .gcmg 17807  mulGrpcmgp 18756  1rcur 18768  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815   RingHom crh 18981  LModclmod 19132  NzRingcnzr 19531  algSccascl 19585  var1cv1 19819  Poly1cpl1 19820  coe1cco1 19821  eval1ce1 19952   deg1 cdg1 24105  Monic1pcmn1 24176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-prds 16374  df-pws 16376  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-srg 18773  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-rnghom 18984  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-nzr 19532  df-rlreg 19557  df-assa 19586  df-asp 19587  df-ascl 19588  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-evls 19779  df-evl 19780  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-coe1 19826  df-evl1 19954  df-cnfld 20020  df-mdeg 24106  df-deg1 24107  df-mon1 24181
This theorem is referenced by:  ply1rem  24214  facth1  24215  fta1glem1  24216  fta1glem2  24217
  Copyright terms: Public domain W3C validator