Theorem ply1remlem 26077

Description: A term of the form 𝑥 − 𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.u	⊢ 𝑈 = (Monic1p‘𝑅)
ply1rem.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1rem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1remlem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
2		ply1rem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
3		nzrring 20432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1rem.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 22139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
8		ringgrp 20154	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
10		ply1rem.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
11		ply1rem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	10, 5, 11	vr1cl 22109	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		ply1rem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
15		ply1rem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16	5, 14, 15, 11	ply1sclf 22178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
18		ply1rem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
19	17, 18	ffvelcdmd 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵)
20		ply1rem.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
21	11, 20	grpsubcl 18959	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵)
22	9, 13, 19, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵)
23	1, 22	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
24	1	fveq2i 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
25		ply1rem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
26	25, 5, 11	deg1xrcl 25994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ*)
27	19, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ*)
28		0xr 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30		1re 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		rexr 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
33	25, 5, 15, 14	deg1sclle 26024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ≤ 0)
34	4, 18, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) ≤ 0)
35		0lt1 11707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
37	27, 29, 32, 34, 36	xrlelttrd 13127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) < 1)
38		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
39	38, 11	mgpbas 20061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
41	39, 40	mulg1 19020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
42	13, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
43	42	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
44		1nn0 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
45	25, 5, 10, 38, 40	deg1pw 26033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
46	2, 44, 45	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
47	43, 46	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)
48	37, 47	breqtrrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴‘𝑁)) < (𝐷‘𝑋))
49	5, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48	deg1sub 26020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁))) = (𝐷‘𝑋))
50	24, 49	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘𝑋))
51	50, 47	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
52	51, 44	eqeltrdi 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
53		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
54	25, 5, 53, 11	deg1nn0clb 26002	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
55	4, 23, 54	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
56	52, 55	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
57	51	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = ((coe1‘𝐺)‘1))
58	1	fveq2i 6864	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
59	58	fveq1i 6862	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘1) = ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1)
60	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
61		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
62	5, 11, 20, 61	coe1subfv 22159	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
63	4, 13, 19, 60, 62	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
64	59, 63	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘1) = (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)))
65	42	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋))
66	5	ply1sca 22144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
67	2, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
68	67	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
69	68	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋))
70	5	ply1lmod 22143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
71	4, 70	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
72		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
73		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
74		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
75	11, 72, 73, 74	lmodvs1 20803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = 𝑋)
76	71, 13, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑋) = 𝑋)
77	65, 69, 76	3eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
78	77	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1‘𝑋))
79	78	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1‘𝑋)‘1))
80		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
81	15, 80	ringidcl 20181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
82	4, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
83		ply1rem.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
84	83, 15, 5, 10, 73, 38, 40	coe1tmfv1 22167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r‘𝑅))
85	4, 82, 60, 84	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r‘𝑅))
86	79, 85	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑋)‘1) = (1r‘𝑅))
87		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
88	5, 14, 15, 87	coe1scl 22180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → (coe1‘(𝐴‘𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))))
89	4, 18, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐴‘𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))))
90	89	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1))
91		ax-1ne0 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
92		neeq1 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
93	91, 92	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
94		ifnefalse 4503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 0 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
96		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))
97		fvex 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
98	95, 96, 97	fvmpt 6971	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1) = (0g‘𝑅))
99	44, 98	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g‘𝑅)))‘1) = (0g‘𝑅)
100	90, 99	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1) = (0g‘𝑅))
101	86, 100	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)) = ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
102		ringgrp 20154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
103	4, 102	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
104	15, 87, 61	grpsubid1 18964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
105	103, 82, 104	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
106	101, 105	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝑋)‘1)(-g‘𝑅)((coe1‘(𝐴‘𝑁))‘1)) = (1r‘𝑅))
107	57, 64, 106	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
108		ply1rem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Monic1p‘𝑅)
109	5, 11, 53, 25, 108, 80	ismon1p 26055	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅)))
110	23, 56, 107, 109	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
111	1	fveq2i 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂‘𝐺) = (𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))
112	111	fveq1i 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥)
113		ply1rem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
114		ply1rem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
116		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾)
117	113, 10, 15, 5, 11, 115, 116	evl1vard 22231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑥) = 𝑥))
118	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ 𝐾)
119	113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116	evl1scad 22229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑁))‘𝑥) = 𝑁))
120	113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61	evl1subd 22236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑋 − (𝐴‘𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁)))
121	120	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁))
122	112, 121	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = (𝑥(-g‘𝑅)𝑁))
123	122	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ))
124	103	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Grp)
125	15, 83, 61	grpsubeq0 18965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ 𝐾) → ((𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
126	124, 116, 118, 125	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝑥(-g‘𝑅)𝑁) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
127	123, 126	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑁))
128		velsn 4608	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
129	127, 128	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
130	129	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ {𝑁})))
131		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
132		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
133	15	fvexi 6875	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
134	133	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
135	113, 5, 131, 15	evl1rhm 22226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
136	114, 135	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
137	11, 132	rhmf 20401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
139	138, 23	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
140	131, 15, 132, 2, 134, 139	pwselbas 17459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):𝐾⟶𝐾)
141	140	ffnd 6692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾)
142		fniniseg 7035	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )))
143	141, 142	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )))
144	18	snssd 4776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ 𝐾)
145	144	sseld 3948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} → 𝑥 ∈ 𝐾))
146	145	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ {𝑁})))
147	130, 143, 146	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
148	147	eqrdv 2728	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁})
149	110, 51, 148	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409   ↑_s cpws 17416  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385  NzRingcnzr 20428  LModclmod 20773  algSccascl 21768  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068  coe₁cco1 22069  eval₁ce1 22208  deg₁cdg1 25966  Monic_1pcmn1 26038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-rhm 20388  df-nzr 20429  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-rlreg 20610  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-cnfld 21272  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-evls 21988  df-evl 21989  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074  df-evl1 22210  df-mdeg 25967  df-deg1 25968  df-mon1 26043

This theorem is referenced by:  ply1rem  26078  facth1  26079  fta1glem1  26080  fta1glem2  26081  irngss  33689