MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1remlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1remlem 26144
Description: A term of the form 𝑥𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.u 𝑈 = (Monic1p𝑅)
ply1rem.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1rem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1remlem (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1rem.g . . . 4 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
2 ply1rem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3 nzrring 20467 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ply1rem.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
65ply1ring 22190 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
8 ringgrp 20190 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
10 ply1rem.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
11 ply1rem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
1210, 5, 11vr1cl 22160 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
14 ply1rem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
15 ply1rem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
165, 14, 15, 11ply1sclf 22229 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝐾𝐵)
18 ply1rem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐾)
1917, 18ffvelcdmd 7094 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ 𝐵)
20 ply1rem.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
2111, 20grpsubcl 18984 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
229, 13, 19, 21syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
231, 22eqeltrid 2829 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
241fveq2i 6899 . . . . . . 7 (𝐷𝐺) = (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
25 ply1rem.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
2625, 5, 11deg1xrcl 26062 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
28 0xr 11293 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30 1re 11246 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
31 rexr 11292 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
3325, 5, 15, 14deg1sclle 26092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
344, 18, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
35 0lt1 11768 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
3727, 29, 32, 34, 36xrlelttrd 13174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < 1)
38 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
3938, 11mgpbas 20092 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4139, 40mulg1 19044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4213, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4342fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝐷𝑋))
44 1nn0 12521 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
4525, 5, 10, 38, 40deg1pw 26101 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
462, 44, 45sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
4743, 46eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 1)
4837, 47breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < (𝐷𝑋))
495, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48deg1sub 26088 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁))) = (𝐷𝑋))
5024, 49eqtrid 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) = (𝐷𝑋))
5150, 47eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
5251, 44eqeltrdi 2833 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
53 eqid 2725 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
5425, 5, 53, 11deg1nn0clb 26070 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
554, 23, 54syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
5652, 55mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝑃))
5751fveq2d 6900 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = ((coe1𝐺)‘1))
581fveq2i 6899 . . . . . 6 (coe1𝐺) = (coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
5958fveq1i 6897 . . . . 5 ((coe1𝐺)‘1) = ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1)
6044a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
61 eqid 2725 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
625, 11, 20, 61coe1subfv 22210 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
634, 13, 19, 60, 62syl31anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6459, 63eqtrid 2777 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6542oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋))
665ply1sca 22195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
672, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6867fveq2d 6900 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6968oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋))
705ply1lmod 22194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
714, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
73 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
74 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
7511, 72, 73, 74lmodvs1 20785 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7671, 13, 75syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7765, 69, 763eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
7877fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1𝑋))
7978fveq1d 6898 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1𝑋)‘1))
80 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8115, 80ringidcl 20214 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
83 ply1rem.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
8483, 15, 5, 10, 73, 38, 40coe1tmfv1 22218 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
854, 82, 60, 84syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
8679, 85eqtr3d 2767 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝑋)‘1) = (1r𝑅))
87 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
885, 14, 15, 87coe1scl 22231 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
894, 18, 88syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
9089fveq1d 6898 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1))
91 ax-1ne0 11209 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
92 neeq1 2992 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
9391, 92mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
94 ifnefalse 4542 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ 0 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
96 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))
97 fvex 6909 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 7004 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅))
9944, 98ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅)
10090, 99eqtrdi 2781 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = (0g𝑅))
10186, 100oveq12d 7437 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)))
102 ringgrp 20190 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1034, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
10415, 87, 61grpsubid1 18989 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
105103, 82, 104syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
106101, 105eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = (1r𝑅))
10757, 64, 1063eqtrd 2769 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅))
108 ply1rem.u . . . 4 𝑈 = (Monic1p𝑅)
1095, 11, 53, 25, 108, 80ismon1p 26123 . . 3 (𝐺𝑈 ↔ (𝐺𝐵𝐺 ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅)))
11023, 56, 107, 109syl3anbrc 1340 . 2 (𝜑𝐺𝑈)
1111fveq2i 6899 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝐺) = (𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
112111fveq1i 6897 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥)
113 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1𝑅)
114 ply1rem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
115114adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
116 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
117113, 10, 15, 5, 11, 115, 116evl1vard 22281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑥) = 𝑥))
11818adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑁𝐾)
119113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116evl1scad 22279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴𝑁))‘𝑥) = 𝑁))
120113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61evl1subd 22286 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁)))
121120simprd 494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
122112, 121eqtrid 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
123122eqeq1d 2727 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0 ))
124103adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Grp)
12515, 83, 61grpsubeq0 18990 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐾𝑁𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
126124, 116, 118, 125syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
127123, 126bitrd 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 = 𝑁))
128 velsn 4646 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
129127, 128bitr4di 288 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 ∈ {𝑁}))
130129pm5.32da 577 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
131 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
132 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
13315fvexi 6910 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
134133a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
135113, 5, 131, 15evl1rhm 22276 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
136114, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
13711, 132rhmf 20436 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
138136, 137syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
139138, 23ffvelcdmd 7094 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
140131, 15, 132, 2, 134, 139pwselbas 17474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
141140ffnd 6724 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
142 fniniseg 7068 . . . . 5 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
143141, 142syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
14418snssd 4814 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑁} ⊆ 𝐾)
145144sseld 3975 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} → 𝑥𝐾))
146145pm4.71rd 561 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
147130, 143, 1463bitr4d 310 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
148147eqrdv 2723 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁})
149110, 51, 1483jca 1125 1 (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ccnv 5677  cima 5681   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  0cn0 12505  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  0gc0g 17424  s cpws 17431  Grpcgrp 18898  -gcsg 18900  .gcmg 19031  mulGrpcmgp 20086  1rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186   RingHom crh 20420  NzRingcnzr 20463  LModclmod 20755  algSccascl 21803  var1cv1 22118  Poly1cpl1 22119  coe1cco1 22120  eval1ce1 22258   deg1 cdg1 26031  Monic1pcmn1 26106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-rhm 20423  df-nzr 20464  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-rlreg 21247  df-cnfld 21297  df-assa 21804  df-asp 21805  df-ascl 21806  df-psr 21859  df-mvr 21860  df-mpl 21861  df-opsr 21863  df-evls 22040  df-evl 22041  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-coe1 22125  df-evl1 22260  df-mdeg 26032  df-deg1 26033  df-mon1 26111
This theorem is referenced by:  ply1rem  26145  facth1  26146  fta1glem1  26147  fta1glem2  26148  irngss  33496
  Copyright terms: Public domain W3C validator