Theorem krull 32866

Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
krull	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Distinct variable group:   𝑅,𝑚

Proof of Theorem krull

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20409	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	2, 3	lidl0 20995	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		fvex 6905	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
7		hashsng 14335	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
9		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
10	9	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
11	8, 10	eqtr3id 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
12		1red 11221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
13		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13	isnzr2hash 20412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
15	14	simprbi 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
16	15	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
17	12, 16	ltned 11356	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
18	17	neneqd 2943	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
19	11, 18	pm2.65da 813	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
20	19	neqned 2945	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
21	13	ssmxidl 32862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
22	1, 5, 20, 21	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
23		df-rex 3069	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚))
24		exsimpl 1869	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚) → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
25	23, 24	sylbi 216	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
26	22, 25	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ⊆ wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  1c1 11115   < clt 11254  ♯chash 14296  Basecbs 17150  0_gc0g 17391  Ringcrg 20129  NzRingcnzr 20405  LIdealclidl 20930  MaxIdealcmxidl 32847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rpss 7717  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-ac 10115  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-hash 14297  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-subg 19041  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-nzr 20406  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-lidl 20934  df-mxidl 32848

This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  32867