Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  krull Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem krull 32029
Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
krull (𝑅 ∈ NzRing β†’ βˆƒπ‘š π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
Distinct variable group:   𝑅,π‘š

Proof of Theorem krull
StepHypRef Expression
1 nzrring 20654 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2737 . . . . 5 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
3 eqid 2737 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
42, 3lidl0 20612 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
51, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
6 fvex 6850 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
7 hashsng 14196 . . . . . . 7 ((0gβ€˜π‘…) ∈ V β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1
9 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
109fveq2d 6841 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
118, 10eqtr3id 2791 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
12 1red 11089 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 ∈ ℝ)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1413isnzr2hash 20657 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…))))
1514simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1712, 16ltned 11224 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 β‰  (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1817neneqd 2946 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ 1 = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1911, 18pm2.65da 815 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ Β¬ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
2019neqned 2948 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))
2113ssmxidl 32028 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…){(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š)
221, 5, 20, 21syl3anc 1371 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…){(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š)
23 df-rex 3072 . . 3 (βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…){(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š ↔ βˆƒπ‘š(π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š))
24 exsimpl 1871 . . 3 (βˆƒπ‘š(π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š) β†’ βˆƒπ‘š π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
2523, 24sylbi 216 . 2 (βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…){(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š β†’ βˆƒπ‘š π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
2622, 25syl 17 1 (𝑅 ∈ NzRing β†’ βˆƒπ‘š π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3443   βŠ† wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  1c1 10985   < clt 11122  β™―chash 14157  Basecbs 17017  0gc0g 17255  Ringcrg 19888  LIdealclidl 20554  NzRingcnzr 20650  MaxIdealcmxidl 32017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-ac2 10332  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-rpss 7650  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-oadd 8383  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-dju 9770  df-card 9808  df-ac 9985  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-n0 12347  df-xnn0 12419  df-z 12433  df-uz 12696  df-fz 13353  df-hash 14158  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-0g 17257  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-subg 18857  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-subrg 20143  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-lidl 20558  df-nzr 20651  df-mxidl 32018
This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  32030
  Copyright terms: Public domain W3C validator