Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  krull Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem krull 31021
 Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
krull (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
Distinct variable group:   𝑅,𝑚

Proof of Theorem krull
StepHypRef Expression
1 nzrring 20034 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2824 . . . . 5 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
42, 3lidl0 19992 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → {(0g𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
51, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → {(0g𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
6 fvex 6674 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
7 hashsng 13735 . . . . . . 7 ((0g𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g𝑅)}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{(0g𝑅)}) = 1
9 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅))
109fveq2d 6665 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
118, 10syl5eqr 2873 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
12 1red 10640 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
13 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413isnzr2hash 20037 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
1514simprbi 500 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
1712, 16ltned 10774 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
1817neneqd 3019 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
1911, 18pm2.65da 816 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → ¬ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅))
2019neqned 3021 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
2113ssmxidl 31020 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g𝑅)} ⊆ 𝑚)
221, 5, 20, 21syl3anc 1368 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g𝑅)} ⊆ 𝑚)
23 df-rex 3139 . . 3 (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g𝑅)} ⊆ 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g𝑅)} ⊆ 𝑚))
24 exsimpl 1870 . . 3 (∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g𝑅)} ⊆ 𝑚) → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2523, 24sylbi 220 . 2 (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g𝑅)} ⊆ 𝑚 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2622, 25syl 17 1 (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  {csn 4550   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  1c1 10536   < clt 10673  ♯chash 13695  Basecbs 16483  0gc0g 16713  Ringcrg 19297  LIdealclidl 19942  NzRingcnzr 20030  MaxIdealcmxidl 31009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-ac2 9883  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-rpss 7443  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-ac 9540  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-lidl 19946  df-nzr 20031  df-mxidl 31010 This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  31022
 Copyright terms: Public domain W3C validator