Theorem krull 33494

Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
krull	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Distinct variable group:   𝑅,𝑚

Proof of Theorem krull

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20476	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	2, 3	lidl0 21191	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		fvex 6889	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
7		hashsng 14387	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
10	9	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
11	8, 10	eqtr3id 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
12		1red 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
13		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13	isnzr2hash 20479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
15	14	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
17	12, 16	ltned 11371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
18	17	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
19	11, 18	pm2.65da 816	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
20	19	neqned 2939	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
21	13	ssmxidl 33489	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
22	1, 5, 20, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
23		df-rex 3061	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚))
24		exsimpl 1868	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚) → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
25	23, 24	sylbi 217	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
26	22, 25	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  1c1 11130   < clt 11269  ♯chash 14348  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  Ringcrg 20193  NzRingcnzr 20472  LIdealclidl 21167  MaxIdealcmxidl 33474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7717  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-nzr 20473  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-mxidl 33475

This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  33495  krullndrng  33496