Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  krull Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem krull 32017
Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
krull (𝑅 ∈ NzRing β†’ βˆƒπ‘š π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
Distinct variable group:   𝑅,π‘š

Proof of Theorem krull
StepHypRef Expression
1 nzrring 20654 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2738 . . . . 5 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
3 eqid 2738 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
42, 3lidl0 20612 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
51, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
6 fvex 6851 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
7 hashsng 14197 . . . . . . 7 ((0gβ€˜π‘…) ∈ V β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1
9 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
109fveq2d 6842 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
118, 10eqtr3id 2792 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
12 1red 11090 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 ∈ ℝ)
13 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1413isnzr2hash 20657 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…))))
1514simprbi 498 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1712, 16ltned 11225 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 β‰  (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1817neneqd 2947 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ 1 = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1911, 18pm2.65da 816 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ Β¬ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
2019neqned 2949 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))
2113ssmxidl 32016 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…){(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š)
221, 5, 20, 21syl3anc 1372 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…){(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š)
23 df-rex 3073 . . 3 (βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…){(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š ↔ βˆƒπ‘š(π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š))
24 exsimpl 1872 . . 3 (βˆƒπ‘š(π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š) β†’ βˆƒπ‘š π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
2523, 24sylbi 216 . 2 (βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…){(0gβ€˜π‘…)} βŠ† π‘š β†’ βˆƒπ‘š π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
2622, 25syl 17 1 (𝑅 ∈ NzRing β†’ βˆƒπ‘š π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆƒwrex 3072  Vcvv 3444   βŠ† wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104  β€˜cfv 6492  1c1 10986   < clt 11123  β™―chash 14158  Basecbs 17018  0gc0g 17256  Ringcrg 19888  LIdealclidl 20554  NzRingcnzr 20650  MaxIdealcmxidl 32005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-ac2 10333  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-rpss 7651  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-dju 9771  df-card 9809  df-ac 9986  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-hash 14159  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-0g 17258  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-subg 18858  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-subrg 20143  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-lidl 20558  df-nzr 20651  df-mxidl 32006
This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  32018
  Copyright terms: Public domain W3C validator