Theorem krull 33127

Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
krull	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Distinct variable group:   𝑅,𝑚

Proof of Theorem krull

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20444	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	2, 3	lidl0 21115	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		fvex 6904	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
7		hashsng 14352	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
10	9	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
11	8, 10	eqtr3id 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
12		1red 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
13		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13	isnzr2hash 20447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
15	14	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
17	12, 16	ltned 11372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
18	17	neneqd 2940	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
19	11, 18	pm2.65da 816	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
20	19	neqned 2942	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
21	13	ssmxidl 33123	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
22	1, 5, 20, 21	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
23		df-rex 3066	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚))
24		exsimpl 1864	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚) → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
25	23, 24	sylbi 216	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
26	22, 25	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  1c1 11131   < clt 11270  ♯chash 14313  Basecbs 17171  0_gc0g 17412  Ringcrg 20164  NzRingcnzr 20440  LIdealclidl 21091  MaxIdealcmxidl 33108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-ac2 10478  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rpss 7722  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-ac 10131  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-nzr 20441  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-mxidl 33109

This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  33128