Theorem krull 34107

Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
krull	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Distinct variable group:   𝑅,𝑚

Proof of Theorem krull

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20817	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	2, 3	lidl0 21561	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
7		hashsng 14554	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
9		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
10	9	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
11	8, 10	eqtr3id 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
12		1red 11348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
13		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13	isnzr2hash 20821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
15	14	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
17	12, 16	ltned 11485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
18	17	neneqd 2964	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
19	11, 18	pm2.65da 829	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
20	19	neqned 2966	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
21	13	ssmxidl 34103	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
22	1, 5, 20, 21	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
23		df-rex 3091	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚))
24		exsimpl 1901	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚) → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
25	23, 24	sylbi 220	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
26	22, 25	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  1c1 11240   < clt 11382  ♯chash 14515  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  Ringcrg 20510  NzRingcnzr 20813  LIdealclidl 21535  MaxIdealcmxidl 34088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-ac2 10580  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-rpss 7771  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-ac 10234  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-nzr 20814  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-mxidl 34089

This theorem is used by:  mxidlnzrb  34108  krullndrng  34109