Theorem krull 33436

Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
krull	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Distinct variable group:   𝑅,𝑚

Proof of Theorem krull

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20426	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	2, 3	lidl0 21162	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		fvex 6830	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
7		hashsng 14271	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
10	9	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
11	8, 10	eqtr3id 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
12		1red 11108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
13		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13	isnzr2hash 20429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
15	14	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
17	12, 16	ltned 11244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
18	17	neneqd 2933	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
19	11, 18	pm2.65da 816	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
20	19	neqned 2935	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
21	13	ssmxidl 33431	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
22	1, 5, 20, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚)
23		df-rex 3057	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚))
24		exsimpl 1869	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚) → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
25	23, 24	sylbi 217	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g‘𝑅)} ⊆ 𝑚 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
26	22, 25	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4571   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  1c1 11002   < clt 11141  ♯chash 14232  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  Ringcrg 20146  NzRingcnzr 20422  LIdealclidl 21138  MaxIdealcmxidl 33416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-ac2 10349  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-rpss 7651  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9789  df-card 9827  df-ac 10002  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-nzr 20423  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-lidl 21140  df-mxidl 33417

This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  33437  krullndrng  33438