Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  krull Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem krull 33507
Description: Krull's theorem: Any nonzero ring has at least one maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
krull (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
Distinct variable group:   𝑅,𝑚

Proof of Theorem krull
StepHypRef Expression
1 nzrring 20516 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2737 . . . . 5 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
42, 3lidl0 21240 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → {(0g𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
51, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → {(0g𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
6 fvex 6919 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
7 hashsng 14408 . . . . . . 7 ((0g𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g𝑅)}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{(0g𝑅)}) = 1
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅))
109fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
118, 10eqtr3id 2791 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
12 1red 11262 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413isnzr2hash 20519 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
1514simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
1712, 16ltned 11397 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 1 ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
1817neneqd 2945 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ 1 = (♯‘(Base‘𝑅)))
1911, 18pm2.65da 817 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → ¬ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅))
2019neqned 2947 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
2113ssmxidl 33502 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g𝑅)} ⊆ 𝑚)
221, 5, 20, 21syl3anc 1373 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g𝑅)} ⊆ 𝑚)
23 df-rex 3071 . . 3 (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g𝑅)} ⊆ 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g𝑅)} ⊆ 𝑚))
24 exsimpl 1868 . . 3 (∃𝑚(𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ {(0g𝑅)} ⊆ 𝑚) → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2523, 24sylbi 217 . 2 (∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅){(0g𝑅)} ⊆ 𝑚 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2622, 25syl 17 1 (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  1c1 11156   < clt 11295  chash 14369  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  LIdealclidl 21216  MaxIdealcmxidl 33487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-mxidl 33488
This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  33508  krullndrng  33509
  Copyright terms: Public domain W3C validator