MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facth1 26052
Description: The factor theorem and its converse. A polynomial 𝐹 has a root at 𝐴 iff 𝐺 = π‘₯ βˆ’ 𝐴 is a factor of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1rem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ply1rem.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1rem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
ply1rem.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
facth1.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
facth1.d βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
facth1 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ₯ 𝐹 ↔ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘) = 0 ))

Proof of Theorem facth1
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20416 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ply1rem.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
5 ply1rem.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 ply1rem.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 ply1rem.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
8 ply1rem.x . . . . . 6 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
9 ply1rem.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
10 ply1rem.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
11 ply1rem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))
12 ply1rem.o . . . . . 6 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
13 ply1rem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
14 ply1rem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
16 eqid 2726 . . . . . 6 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
17 facth1.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 26050 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {𝑁}))
1918simp1d 1139 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…))
20 eqid 2726 . . . . 5 (Unic1pβ€˜π‘…) = (Unic1pβ€˜π‘…)
2120, 15mon1puc1p 26037 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…)) β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
223, 19, 21syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
23 facth1.d . . . 4 βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)
24 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
25 eqid 2726 . . . 4 (rem1pβ€˜π‘…) = (rem1pβ€˜π‘…)
265, 23, 6, 20, 24, 25dvdsr1p 26049 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐺 βˆ₯ 𝐹 ↔ (𝐹(rem1pβ€˜π‘…)𝐺) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
273, 4, 22, 26syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ₯ 𝐹 ↔ (𝐹(rem1pβ€˜π‘…)𝐺) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
285, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25ply1rem 26051 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(rem1pβ€˜π‘…)𝐺) = (π΄β€˜((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘)))
295, 10, 17, 24ply1scl0 22160 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π΄β€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
303, 29syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3130eqcomd 2732 . . 3 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (π΄β€˜ 0 ))
3228, 31eqeq12d 2742 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(rem1pβ€˜π‘…)𝐺) = (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (π΄β€˜((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘)) = (π΄β€˜ 0 )))
335, 10, 7, 6ply1sclf1 22159 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾–1-1→𝐡)
343, 33syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐾–1-1→𝐡)
3512, 5, 7, 6, 13, 14, 4fveval1fvcl 22203 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
367, 17ring0cl 20164 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐾)
373, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
38 f1fveq 7256 . . 3 ((𝐴:𝐾–1-1→𝐡 ∧ (((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ 𝐾)) β†’ ((π΄β€˜((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘)) = (π΄β€˜ 0 ) ↔ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘) = 0 ))
3934, 35, 37, 38syl12anc 834 . 2 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘)) = (π΄β€˜ 0 ) ↔ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘) = 0 ))
4027, 32, 393bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ₯ 𝐹 ↔ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€“1-1β†’wf1 6533  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110  Basecbs 17151  0gc0g 17392  -gcsg 18863  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  βˆ₯rcdsr 20254  NzRingcnzr 20412  algSccascl 21743  var1cv1 22046  Poly1cpl1 22047  eval1ce1 22184   deg1 cdg1 25938  Monic1pcmn1 26012  Unic1pcuc1p 26013  rem1pcr1p 26015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-rhm 20372  df-nzr 20413  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-rlreg 21191  df-cnfld 21237  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-opsr 21803  df-evls 21973  df-evl 21974  df-psr1 22050  df-vr1 22051  df-ply1 22052  df-coe1 22053  df-evl1 22186  df-mdeg 25939  df-deg1 25940  df-mon1 26017  df-uc1p 26018  df-q1p 26019  df-r1p 26020
This theorem is referenced by:  fta1glem1  26053  fta1glem2  26054
  Copyright terms: Public domain W3C validator