MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facth1 24473
Description: The factor theorem and its converse. A polynomial 𝐹 has a root at 𝐴 iff 𝐺 = 𝑥𝐴 is a factor of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.4 (𝜑𝐹𝐵)
facth1.z 0 = (0g𝑅)
facth1.d = (∥r𝑃)
Assertion
Ref Expression
facth1 (𝜑 → (𝐺 𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem facth1
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 19767 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ply1rem.4 . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
5 ply1rem.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 ply1rem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 ply1rem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 ply1rem.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
9 ply1rem.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
10 ply1rem.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11 ply1rem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
12 ply1rem.o . . . . . 6 𝑂 = (eval1𝑅)
13 ply1rem.2 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
14 ply1rem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐾)
15 eqid 2772 . . . . . 6 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
16 eqid 2772 . . . . . 6 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
17 facth1.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 24471 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
1918simp1d 1122 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
20 eqid 2772 . . . . 5 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
2120, 15mon1puc1p 24459 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
223, 19, 21syl2anc 576 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
23 facth1.d . . . 4 = (∥r𝑃)
24 eqid 2772 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
25 eqid 2772 . . . 4 (rem1p𝑅) = (rem1p𝑅)
265, 23, 6, 20, 24, 25dvdsr1p 24470 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p𝑅)𝐺) = (0g𝑃)))
273, 4, 22, 26syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → (𝐺 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p𝑅)𝐺) = (0g𝑃)))
285, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25ply1rem 24472 . . 3 (𝜑 → (𝐹(rem1p𝑅)𝐺) = (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)))
295, 10, 17, 24ply1scl0 20173 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝐴0 ) = (0g𝑃))
303, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴0 ) = (0g𝑃))
3130eqcomd 2778 . . 3 (𝜑 → (0g𝑃) = (𝐴0 ))
3228, 31eqeq12d 2787 . 2 (𝜑 → ((𝐹(rem1p𝑅)𝐺) = (0g𝑃) ↔ (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)) = (𝐴0 )))
335, 10, 7, 6ply1sclf1 20172 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾1-1𝐵)
343, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝐴:𝐾1-1𝐵)
3512, 5, 7, 6, 13, 14, 4fveval1fvcl 20210 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾)
367, 17ring0cl 19054 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
373, 36syl 17 . . 3 (𝜑0𝐾)
38 f1fveq 6843 . . 3 ((𝐴:𝐾1-1𝐵 ∧ (((𝑂𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾0𝐾)) → ((𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)) = (𝐴0 ) ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑁) = 0 ))
3934, 35, 37, 38syl12anc 824 . 2 (𝜑 → ((𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)) = (𝐴0 ) ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑁) = 0 ))
4027, 32, 393bitrd 297 1 (𝜑 → (𝐺 𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑁) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1507  wcel 2050  {csn 4435   class class class wbr 4925  ccnv 5402  cima 5406  1-1wf1 6182  cfv 6185  (class class class)co 6974  1c1 10334  Basecbs 16337  0gc0g 16567  -gcsg 17905  Ringcrg 19032  CRingccrg 19033  rcdsr 19123  NzRingcnzr 19763  algSccascl 19817  var1cv1 20059  Poly1cpl1 20060  eval1ce1 20192   deg1 cdg1 24363  Monic1pcmn1 24434  Unic1pcuc1p 24435  rem1pcr1p 24437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-ofr 7226  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-sup 8699  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-hash 13504  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-prds 16575  df-pws 16577  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-mulg 18024  df-subg 18072  df-ghm 18139  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-srg 18991  df-ring 19034  df-cring 19035  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-rnghom 19202  df-subrg 19268  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-nzr 19764  df-rlreg 19789  df-assa 19818  df-asp 19819  df-ascl 19820  df-psr 19862  df-mvr 19863  df-mpl 19864  df-opsr 19866  df-evls 20011  df-evl 20012  df-psr1 20063  df-vr1 20064  df-ply1 20065  df-coe1 20066  df-evl1 20194  df-cnfld 20260  df-mdeg 24364  df-deg1 24365  df-mon1 24439  df-uc1p 24440  df-q1p 24441  df-r1p 24442
This theorem is referenced by:  fta1glem1  24474  fta1glem2  24475
  Copyright terms: Public domain W3C validator