Theorem facth1 26333

Description: The factor theorem and its converse. A polynomial 𝐹 has a root at 𝐴 iff 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
facth1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
facth1.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
facth1	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem facth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20622	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1rem.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
5		ply1rem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		ply1rem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		ply1rem.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ply1rem.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1rem.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		ply1rem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		ply1rem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
12		ply1rem.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
13		ply1rem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14		ply1rem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
17		facth1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 26331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
19	18	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
20		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
21	20, 15	mon1puc1p 26317	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
22	3, 19, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
23		facth1.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
26	5, 23, 6, 20, 24, 25	dvdsr1p 26330	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃)))
27	3, 4, 22, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃)))
28	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25	ply1rem 26332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))
29	5, 10, 17, 24	ply1scl0 22460	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
30	3, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
31	30	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐴‘ 0 ))
32	28, 31	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 )))
33	5, 10, 7, 6	ply1sclf1 22459	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)
34	3, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)
35	12, 5, 7, 6, 13, 14, 4	fveval1fvcl 22502	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾)
36	7, 17	ring0cl 20355	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
37	3, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
38		f1fveq 7260	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ∧ (((𝑂‘𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ 𝐾)) → ((𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))
39	34, 35, 37, 38	syl12anc 849	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))
40	27, 32, 39	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11105  Basecbs 17273  0_gc0g 17496  -_gcsg 19006  Ringcrg 20319  CRingccrg 20320  ∥_rcdsr 20441  NzRingcnzr 20618  algSccascl 22011  var₁cv1 22345  Poly₁cpl1 22346  eval₁ce1 22483  deg₁cdg1 26220  Monic_1pcmn1 26292  Unic_1pcuc1p 26293  rem_1pcr1p 26295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-srg 20273  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-rhm 20559  df-nzr 20619  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-rlreg 20802  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-cnfld 21532  df-assa 22012  df-asp 22013  df-ascl 22014  df-psr 22068  df-mvr 22069  df-mpl 22070  df-opsr 22072  df-evls 22234  df-evl 22235  df-psr1 22349  df-vr1 22350  df-ply1 22351  df-coe1 22352  df-evl1 22485  df-mdeg 26221  df-deg1 26222  df-mon1 26297  df-uc1p 26298  df-q1p 26299  df-r1p 26300

This theorem is used by:  fta1glem1  26334  fta1glem2  26335