Theorem facth1 26379

Description: The factor theorem and its converse. A polynomial 𝐹 has a root at 𝐴 iff 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
facth1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
facth1.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
facth1	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem facth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20667	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1rem.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
5		ply1rem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		ply1rem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		ply1rem.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ply1rem.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1rem.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		ply1rem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		ply1rem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
12		ply1rem.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
13		ply1rem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14		ply1rem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
17		facth1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 26377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
19	18	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
21	20, 15	mon1puc1p 26363	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
22	3, 19, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
23		facth1.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
24		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
25		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
26	5, 23, 6, 20, 24, 25	dvdsr1p 26376	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃)))
27	3, 4, 22, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃)))
28	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25	ply1rem 26378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))
29	5, 10, 17, 24	ply1scl0 22505	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
30	3, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
31	30	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐴‘ 0 ))
32	28, 31	eqeq12d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 )))
33	5, 10, 7, 6	ply1sclf1 22504	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)
34	3, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)
35	12, 5, 7, 6, 13, 14, 4	fveval1fvcl 22547	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾)
36	7, 17	ring0cl 20399	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
37	3, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
38		f1fveq 7265	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ∧ (((𝑂‘𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ 𝐾)) → ((𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))
39	34, 35, 37, 38	syl12anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))
40	27, 32, 39	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11120  Basecbs 17295  0_gc0g 17518  -_gcsg 19050  Ringcrg 20363  CRingccrg 20364  ∥_rcdsr 20486  NzRingcnzr 20663  algSccascl 22056  var₁cv1 22390  Poly₁cpl1 22391  eval₁ce1 22528  deg₁cdg1 26266  Monic_1pcmn1 26338  Unic_1pcuc1p 26339  rem_1pcr1p 26341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-hash 14389  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-hom 17360  df-cco 17361  df-0g 17520  df-gsum 17521  df-prds 17526  df-pws 17528  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mhm 18882  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-mulg 19182  df-subg 19237  df-ghm 19332  df-cntz 19435  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-srg 20317  df-ring 20365  df-cring 20366  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-rhm 20604  df-nzr 20664  df-subrng 20699  df-subrg 20723  df-rlreg 20847  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-cnfld 21577  df-assa 22057  df-asp 22058  df-ascl 22059  df-psr 22113  df-mvr 22114  df-mpl 22115  df-opsr 22117  df-evls 22279  df-evl 22280  df-psr1 22394  df-vr1 22395  df-ply1 22396  df-coe1 22397  df-evl1 22530  df-mdeg 26267  df-deg1 26268  df-mon1 26343  df-uc1p 26344  df-q1p 26345  df-r1p 26346

This theorem is used by:  fta1glem1  26380  fta1glem2  26381