Theorem facth1 26114

Description: The factor theorem and its converse. A polynomial 𝐹 has a root at 𝐴 iff 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
facth1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
facth1.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
facth1	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem facth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20455	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1rem.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
5		ply1rem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		ply1rem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		ply1rem.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ply1rem.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1rem.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		ply1rem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		ply1rem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
12		ply1rem.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
13		ply1rem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14		ply1rem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
16		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
17		facth1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 26112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
19	18	simp1d 1140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
20		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
21	20, 15	mon1puc1p 26099	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
22	3, 19, 21	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
23		facth1.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
24		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
25		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
26	5, 23, 6, 20, 24, 25	dvdsr1p 26111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃)))
27	3, 4, 22, 26	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃)))
28	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25	ply1rem 26113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))
29	5, 10, 17, 24	ply1scl0 22209	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
30	3, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
31	30	eqcomd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐴‘ 0 ))
32	28, 31	eqeq12d 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(rem1p‘𝑅)𝐺) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 )))
33	5, 10, 7, 6	ply1sclf1 22208	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)
34	3, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)
35	12, 5, 7, 6, 13, 14, 4	fveval1fvcl 22252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾)
36	7, 17	ring0cl 20203	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
37	3, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
38		f1fveq 7272	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ∧ (((𝑂‘𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ 𝐾)) → ((𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))
39	34, 35, 37, 38	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘ 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))
40	27, 32, 39	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4629   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5677   “ cima 5681  –1-1→wf1 6545  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140  Basecbs 17180  0_gc0g 17421  -_gcsg 18892  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174  ∥_rcdsr 20293  NzRingcnzr 20451  algSccascl 21786  var₁cv1 22095  Poly₁cpl1 22096  eval₁ce1 22233   deg₁ cdg1 26000  Monic_1pcmn1 26074  Unic_1pcuc1p 26075  rem_1pcr1p 26077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-rhm 20411  df-nzr 20452  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-rlreg 21230  df-cnfld 21280  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-opsr 21846  df-evls 22018  df-evl 22019  df-psr1 22099  df-vr1 22100  df-ply1 22101  df-coe1 22102  df-evl1 22235  df-mdeg 26001  df-deg1 26002  df-mon1 26079  df-uc1p 26080  df-q1p 26081  df-r1p 26082

This theorem is referenced by:  fta1glem1  26115  fta1glem2  26116