MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facth1 24769
Description: The factor theorem and its converse. A polynomial 𝐹 has a root at 𝐴 iff 𝐺 = 𝑥𝐴 is a factor of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.4 (𝜑𝐹𝐵)
facth1.z 0 = (0g𝑅)
facth1.d = (∥r𝑃)
Assertion
Ref Expression
facth1 (𝜑 → (𝐺 𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem facth1
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20031 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ply1rem.4 . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
5 ply1rem.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 ply1rem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 ply1rem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 ply1rem.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
9 ply1rem.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
10 ply1rem.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11 ply1rem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
12 ply1rem.o . . . . . 6 𝑂 = (eval1𝑅)
13 ply1rem.2 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
14 ply1rem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐾)
15 eqid 2801 . . . . . 6 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
16 eqid 2801 . . . . . 6 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
17 facth1.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 24767 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
1918simp1d 1139 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
20 eqid 2801 . . . . 5 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
2120, 15mon1puc1p 24755 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
223, 19, 21syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
23 facth1.d . . . 4 = (∥r𝑃)
24 eqid 2801 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
25 eqid 2801 . . . 4 (rem1p𝑅) = (rem1p𝑅)
265, 23, 6, 20, 24, 25dvdsr1p 24766 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p𝑅)𝐺) = (0g𝑃)))
273, 4, 22, 26syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐺 𝐹 ↔ (𝐹(rem1p𝑅)𝐺) = (0g𝑃)))
285, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25ply1rem 24768 . . 3 (𝜑 → (𝐹(rem1p𝑅)𝐺) = (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)))
295, 10, 17, 24ply1scl0 20923 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝐴0 ) = (0g𝑃))
303, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴0 ) = (0g𝑃))
3130eqcomd 2807 . . 3 (𝜑 → (0g𝑃) = (𝐴0 ))
3228, 31eqeq12d 2817 . 2 (𝜑 → ((𝐹(rem1p𝑅)𝐺) = (0g𝑃) ↔ (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)) = (𝐴0 )))
335, 10, 7, 6ply1sclf1 20922 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾1-1𝐵)
343, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝐴:𝐾1-1𝐵)
3512, 5, 7, 6, 13, 14, 4fveval1fvcl 20961 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾)
367, 17ring0cl 19319 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
373, 36syl 17 . . 3 (𝜑0𝐾)
38 f1fveq 7002 . . 3 ((𝐴:𝐾1-1𝐵 ∧ (((𝑂𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐾0𝐾)) → ((𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)) = (𝐴0 ) ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑁) = 0 ))
3934, 35, 37, 38syl12anc 835 . 2 (𝜑 → ((𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)) = (𝐴0 ) ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑁) = 0 ))
4027, 32, 393bitrd 308 1 (𝜑 → (𝐺 𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑁) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112  {csn 4528   class class class wbr 5033  ccnv 5522  cima 5526  1-1wf1 6325  cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531  Basecbs 16479  0gc0g 16709  -gcsg 18101  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295  rcdsr 19388  NzRingcnzr 20027  algSccascl 20545  var1cv1 20809  Poly1cpl1 20810  eval1ce1 20942   deg1 cdg1 24659  Monic1pcmn1 24730  Unic1pcuc1p 24731  rem1pcr1p 24733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-srg 19253  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-nzr 20028  df-rlreg 20053  df-cnfld 20096  df-assa 20546  df-asp 20547  df-ascl 20548  df-psr 20598  df-mvr 20599  df-mpl 20600  df-opsr 20602  df-evls 20749  df-evl 20750  df-psr1 20813  df-vr1 20814  df-ply1 20815  df-coe1 20816  df-evl1 20944  df-mdeg 24660  df-deg1 24661  df-mon1 24735  df-uc1p 24736  df-q1p 24737  df-r1p 24738
This theorem is referenced by:  fta1glem1  24770  fta1glem2  24771
  Copyright terms: Public domain W3C validator