Theorem 0prjspnlem 40381

Description: Lemma for 0prjspn 40386. The given unit vector is a nonzero vector. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspnlem.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
0prjspnlem.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspnlem.1	⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)

Assertion

Ref	Expression
0prjspnlem	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem 0prjspnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngnzr 20446	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ NzRing)
2		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (0...0) ∈ V
3		c0ex 10900	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snid 4594	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
5		fz0sn 13285	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
6	4, 5	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0...0)
7		nzrring 20445	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing → 𝐾 ∈ Ring)
8		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 unitVec (0...0)) = (𝐾 unitVec (0...0))
9		0prjspnlem.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	8, 9, 10	uvccl 40189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊))
12	7, 11	syl3an1 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
14	8, 9, 10, 13	uvcn0 40190	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ≠ (0g‘𝑊))
15		eldifsn 4717	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ≠ (0g‘𝑊)))
16	12, 14, 15	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
17	2, 6, 16	mp3an23 1451	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
18	1, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
19		0prjspnlem.1	. 2 ⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
20		0prjspnlem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
21	18, 19, 20	3eltr4g 2856	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ...cfz 13168  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  DivRingcdr 19906  NzRingcnzr 20441   freeLMod cfrlm 20863   unitVec cuvc 20899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-nzr 20442  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-uvc 20900

This theorem is referenced by:  0prjspnrel  40385  0prjspn  40386