Theorem 0prjspnlem 42781

Description: Lemma for 0prjspn 42786. The given unit vector is a nonzero vector. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspnlem.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
0prjspnlem.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspnlem.1	⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)

Assertion

Ref	Expression
0prjspnlem	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem 0prjspnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngnzr 20672	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ NzRing)
2		ovex 7388	. . . 4 ⊢ (0...0) ∈ V
3		c0ex 11117	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snid 4616	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
5		fz0sn 13534	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
6	4, 5	eleqtrri 2832	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0...0)
7		nzrring 20440	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing → 𝐾 ∈ Ring)
8		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 unitVec (0...0)) = (𝐾 unitVec (0...0))
9		0prjspnlem.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
10		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	8, 9, 10	uvccl 42711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊))
12	7, 11	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
14	8, 9, 10, 13	uvcn0 42712	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ≠ (0g‘𝑊))
15		eldifsn 4739	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ≠ (0g‘𝑊)))
16	12, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
17	2, 6, 16	mp3an23 1455	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
18	1, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
19		0prjspnlem.1	. 2 ⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
20		0prjspnlem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
21	18, 19, 20	3eltr4g 2850	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895  {csn 4577  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  ...cfz 13414  Basecbs 17127  0_gc0g 17350  Ringcrg 20159  NzRingcnzr 20436  DivRingcdr 20653   freeLMod cfrlm 21692   unitVec cuvc 21728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-nzr 20437  df-subrg 20494  df-drng 20655  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-dsmm 21678  df-frlm 21693  df-uvc 21729

This theorem is referenced by:  0prjspnrel  42785  0prjspn  42786