Theorem 0prjspnlem 42578

Description: Lemma for 0prjspn 42583. The given unit vector is a nonzero vector. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspnlem.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
0prjspnlem.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspnlem.1	⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)

Assertion

Ref	Expression
0prjspnlem	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem 0prjspnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngnzr 20770	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ NzRing)
2		ovex 7481	. . . 4 ⊢ (0...0) ∈ V
3		c0ex 11284	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snid 4684	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
5		fz0sn 13684	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
6	4, 5	eleqtrri 2843	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0...0)
7		nzrring 20542	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing → 𝐾 ∈ Ring)
8		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 unitVec (0...0)) = (𝐾 unitVec (0...0))
9		0prjspnlem.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
10		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	8, 9, 10	uvccl 42496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊))
12	7, 11	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
14	8, 9, 10, 13	uvcn0 42497	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ≠ (0g‘𝑊))
15		eldifsn 4811	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ≠ (0g‘𝑊)))
16	12, 14, 15	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
17	2, 6, 16	mp3an23 1453	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
18	1, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
19		0prjspnlem.1	. 2 ⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
20		0prjspnlem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
21	18, 19, 20	3eltr4g 2861	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ...cfz 13567  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Ringcrg 20260  NzRingcnzr 20538  DivRingcdr 20751   freeLMod cfrlm 21789   unitVec cuvc 21825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-nzr 20539  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-uvc 21826

This theorem is referenced by:  0prjspnrel  42582  0prjspn  42583