Theorem 0prjspnlem 40460

Description: Lemma for 0prjspn 40465. The given unit vector is a nonzero vector. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspnlem.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
0prjspnlem.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspnlem.1	⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)

Assertion

Ref	Expression
0prjspnlem	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem 0prjspnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngnzr 20533	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ NzRing)
2		ovex 7308	. . . 4 ⊢ (0...0) ∈ V
3		c0ex 10969	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snid 4597	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
5		fz0sn 13356	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
6	4, 5	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0...0)
7		nzrring 20532	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing → 𝐾 ∈ Ring)
8		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 unitVec (0...0)) = (𝐾 unitVec (0...0))
9		0prjspnlem.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	8, 9, 10	uvccl 40264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊))
12	7, 11	syl3an1 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
14	8, 9, 10, 13	uvcn0 40265	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ≠ (0g‘𝑊))
15		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↔ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ≠ (0g‘𝑊)))
16	12, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ (0...0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0...0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
17	2, 6, 16	mp3an23 1452	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
18	1, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
19		0prjspnlem.1	. 2 ⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
20		0prjspnlem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
21	18, 19, 20	3eltr4g 2856	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ...cfz 13239  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  DivRingcdr 19991  NzRingcnzr 20528   freeLMod cfrlm 20953   unitVec cuvc 20989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-nzr 20529  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-uvc 20990

This theorem is referenced by:  0prjspnrel  40464  0prjspn  40465