Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1rem 24768
 Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 15885). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor 𝑥 − 𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.4 (𝜑𝐹𝐵)
ply1rem.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1rem (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)))

Proof of Theorem ply1rem
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20031 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ply1rem.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
5 ply1rem.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 ply1rem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 ply1rem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 ply1rem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (var1𝑅)
9 ply1rem.m . . . . . . . . . . 11 = (-g𝑃)
10 ply1rem.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11 ply1rem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
12 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1𝑅)
13 ply1rem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
14 ply1rem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁𝐾)
15 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
16 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
17 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 24767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}) = {𝑁}))
1918simp1d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
20 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
2120, 15mon1puc1p 24755 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
223, 19, 21syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
23 ply1rem.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (rem1p𝑅)
2423, 5, 6, 20, 16r1pdeglt 24763 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1𝑅)‘𝐺))
253, 4, 22, 24syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1𝑅)‘𝐺))
2618simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘𝐺) = 1)
2725, 26breqtrd 5059 . . . . . 6 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < 1)
28 1e0p1 12132 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2927, 28breqtrdi 5074 . . . . 5 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1))
30 0nn0 11904 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
31 nn0leltp1 12033 . . . . . 6 (((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
3230, 31mpan2 690 . . . . 5 ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
3329, 32syl5ibrcom 250 . . . 4 (𝜑 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
34 elsni 4545 . . . . . 6 ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) = -∞)
35 0xr 10681 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
36 mnfle 12521 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 0)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6 -∞ ≤ 0
3834, 37eqbrtrdi 5072 . . . . 5 ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
4023, 5, 6, 20r1pcl 24762 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
413, 4, 22, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
4216, 5, 6deg1cl 24688 . . . . . 6 ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44 elun 4079 . . . . 5 ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
4543, 44sylib 221 . . . 4 (𝜑 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
4633, 39, 45mpjaod 857 . . 3 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
4716, 5, 6, 10deg1le0 24716 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
483, 41, 47syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
4946, 48mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
50 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
51 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (.r𝑃) = (.r𝑃)
52 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (+g𝑃) = (+g𝑃)
535, 6, 20, 50, 23, 51, 52r1pid 24764 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → 𝐹 = (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
543, 4, 22, 53syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
5554fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐹) = (𝑂‘(((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺))))
56 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
5712, 5, 56, 7evl1rhm 20960 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
5813, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
59 rhmghm 19477 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐾)))
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐾)))
615ply1ring 20881 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
623, 61syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
6350, 5, 6, 20q1pcl 24760 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
643, 4, 22, 63syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
655, 6, 15mon1pcl 24749 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
6619, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
676, 51ringcl 19311 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
6862, 64, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
69 eqid 2801 . . . . . . . 8 (+g‘(𝑅s 𝐾)) = (+g‘(𝑅s 𝐾))
706, 52, 69ghmlin 18359 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐾)) ∧ ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
7160, 68, 41, 70syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
72 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
737fvexi 6663 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
756, 72rhmf 19478 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
7658, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
7776, 68ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
7876, 41ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
79 eqid 2801 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
8056, 72, 1, 74, 77, 78, 79, 69pwsplusgval 16759 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
8155, 71, 803eqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐹) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
8281fveq1d 6651 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁))
8356, 7, 72, 1, 74, 77pwselbas 16758 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)):𝐾𝐾)
8483ffnd 6492 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) Fn 𝐾)
8556, 7, 72, 1, 74, 78pwselbas 16758 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)):𝐾𝐾)
8685ffnd 6492 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾)
87 fnfvof 7407 . . . . . 6 ((((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁𝐾)) → (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
8884, 86, 74, 14, 87syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
89 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
906, 51, 89rhmmul 19479 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
9158, 64, 66, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
9276, 64ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
9376, 66ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
94 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9556, 72, 1, 74, 92, 93, 94, 89pwsmulrval 16760 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
9691, 95eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
9796fveq1d 6651 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑁))
9856, 7, 72, 1, 74, 92pwselbas 16758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)):𝐾𝐾)
9998ffnd 6492 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
10056, 7, 72, 1, 74, 93pwselbas 16758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
101100ffnd 6492 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
102 fnfvof 7407 . . . . . . . 8 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑁)))
10399, 101, 74, 14, 102syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑁)))
104 snidg 4562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝐾𝑁 ∈ {𝑁})
10514, 104syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ {𝑁})
10618simp3d 1141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}) = {𝑁})
107105, 106eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}))
108 fniniseg 6811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑁) = (0g𝑅))))
109101, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑁) = (0g𝑅))))
110107, 109mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑁) = (0g𝑅)))
111110simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐺)‘𝑁) = (0g𝑅))
112111oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑁)) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)(0g𝑅)))
11398, 14ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
1147, 94, 17ringrz 19338 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1153, 113, 114syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
116112, 115eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑁)) = (0g𝑅))
11797, 103, 1163eqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁) = (0g𝑅))
118117oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
119 ringgrp 19299 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1203, 119syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
12185, 14ffvelrnd 6833 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
1227, 79, 17grplid 18129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → ((0g𝑅)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
123120, 121, 122syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
12488, 118, 1233eqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
12549fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
126 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)) = (coe1‘(𝐹𝐸𝐺))
127126, 6, 5, 7coe1f 20844 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0𝐾)
12841, 127syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0𝐾)
129 ffvelrn 6830 . . . . . . . . 9 (((coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0𝐾 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
130128, 30, 129sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
13112, 5, 7, 10evl1sca 20962 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾) → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
13213, 130, 131syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
133125, 132eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
134133fveq1d 6651 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁))
135 fvex 6662 . . . . . . 7 ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ V
136135fvconst2 6947 . . . . . 6 (𝑁𝐾 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
13714, 136syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
138134, 137eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
13982, 124, 1383eqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
140139fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
14149, 140eqtr4d 2839 1 (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∪ cun 3882  {csn 4528   class class class wbr 5033   × cxp 5521  ◡ccnv 5522   “ cima 5526   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  .rcmulr 16562  0gc0g 16709   ↑s cpws 16716  Grpcgrp 18099  -gcsg 18101   GrpHom cghm 18351  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295   RingHom crh 19464  NzRingcnzr 20027  algSccascl 20545  var1cv1 20809  Poly1cpl1 20810  coe1cco1 20811  eval1ce1 20942   deg1 cdg1 24659  Monic1pcmn1 24730  Unic1pcuc1p 24731  quot1pcq1p 24732  rem1pcr1p 24733 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-srg 19253  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-nzr 20028  df-rlreg 20053  df-cnfld 20096  df-assa 20546  df-asp 20547  df-ascl 20548  df-psr 20598  df-mvr 20599  df-mpl 20600  df-opsr 20602  df-evls 20749  df-evl 20750  df-psr1 20813  df-vr1 20814  df-ply1 20815  df-coe1 20816  df-evl1 20944  df-mdeg 24660  df-deg1 24661  df-mon1 24735  df-uc1p 24736  df-q1p 24737  df-r1p 24738 This theorem is referenced by:  facth1  24769
 Copyright terms: Public domain W3C validator