Theorem ply1rem 25681

Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 16485). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor 𝑥 − 𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1rem.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1rem	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Proof of Theorem ply1rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1rem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
5		ply1rem.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		ply1rem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		ply1rem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ply1rem.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1rem.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		ply1rem.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		ply1rem.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
12		ply1rem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
13		ply1rem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14		ply1rem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
15		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
16		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
17		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 25680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁}))
19	18	simp1d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
20		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
21	20, 15	mon1puc1p 25668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
22	3, 19, 21	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
23		ply1rem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
24	23, 5, 6, 20, 16	r1pdeglt 25676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺))
25	3, 4, 22, 24	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺))
26	18	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) = 1)
27	25, 26	breqtrd 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < 1)
28		1e0p1 12719	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
29	27, 28	breqtrdi 5190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1))
30		0nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		nn0leltp1 12621	. . . . . 6 ⊢ (((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
32	30, 31	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
33	29, 32	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
34		elsni 4646	. . . . . 6 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) = -∞)
35		0xr 11261	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
36		mnfle 13114	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 0)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -∞ ≤ 0
38	34, 37	eqbrtrdi 5188	. . . . 5 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
40	23, 5, 6, 20	r1pcl 25675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
41	3, 4, 22, 40	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
42	16, 5, 6	deg1cl 25601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44		elun 4149	. . . . 5 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
45	43, 44	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
46	33, 39, 45	mpjaod 859	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
47	16, 5, 6, 10	deg1le0 25629	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
48	3, 41, 47	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
49	46, 48	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
50		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
51		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
52		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
53	5, 6, 20, 50, 23, 51, 52	r1pid 25677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
54	3, 4, 22, 53	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
55	54	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))))
56		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
57	12, 5, 56, 7	evl1rhm 21851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
58	13, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
59		rhmghm 20262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
60	58, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
61	5	ply1ring 21770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
62	3, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
63	50, 5, 6, 20	q1pcl 25673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
64	3, 4, 22, 63	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
65	5, 6, 15	mon1pcl 25662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
66	19, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
67	6, 51	ringcl 20073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
68	62, 64, 66, 67	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
69		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))
70	6, 52, 69	ghmlin 19097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
71	60, 68, 41, 70	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
72		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
73	7	fvexi 6906	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
75	6, 72	rhmf 20263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
76	58, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
77	76, 68	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
78	76, 41	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
79		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
80	56, 72, 1, 74, 77, 78, 79, 69	pwsplusgval 17436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
81	55, 71, 80	3eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
82	81	fveq1d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁))
83	56, 7, 72, 1, 74, 77	pwselbas 17435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
84	83	ffnd 6719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾)
85	56, 7, 72, 1, 74, 78	pwselbas 17435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)):𝐾⟶𝐾)
86	85	ffnd 6719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾)
87		fnfvof 7687	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
88	84, 86, 74, 14, 87	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
89		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
90	6, 51, 89	rhmmul 20264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
91	58, 64, 66, 90	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
92	76, 64	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
93	76, 66	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
94		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
95	56, 72, 1, 74, 92, 93, 94, 89	pwsmulrval 17437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
96	91, 95	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
97	96	fveq1d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁))
98	56, 7, 72, 1, 74, 92	pwselbas 17435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
99	98	ffnd 6719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
100	56, 7, 72, 1, 74, 93	pwselbas 17435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):𝐾⟶𝐾)
101	100	ffnd 6719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾)
102		fnfvof 7687	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
103	99, 101, 74, 14, 102	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
104		snidg 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → 𝑁 ∈ {𝑁})
105	14, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
106	18	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁})
107	105, 106	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}))
108		fniniseg 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
109	101, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
110	107, 109	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
111	110	simprd 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
112	111	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
113	98, 14	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
114	7, 94, 17	ringrz 20108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
115	3, 113, 114	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
116	112, 115	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (0g‘𝑅))
117	97, 103, 116	3eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (0g‘𝑅))
118	117	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
119		ringgrp 20061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
120	3, 119	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
121	85, 14	ffvelcdmd 7088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
122	7, 79, 17	grplid 18852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
123	120, 121, 122	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
124	88, 118, 123	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
125	49	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
126		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)) = (coe1‘(𝐹𝐸𝐺))
127	126, 6, 5, 7	coe1f 21735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
128	41, 127	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
129		ffvelcdm 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
130	128, 30, 129	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
131	12, 5, 7, 10	evl1sca 21853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾) → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
132	13, 130, 131	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
133	125, 132	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
134	133	fveq1d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁))
135		fvex 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ V
136	135	fvconst2 7205	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
137	14, 136	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
138	134, 137	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
139	82, 124, 138	3eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
140	139	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
141	49, 140	eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∪ cun 3947  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  -∞cmnf 11246  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  0_gc0g 17385   ↑_s cpws 17392  Grpcgrp 18819  -_gcsg 18821   GrpHom cghm 19089  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  NzRingcnzr 20291  algSccascl 21407  var₁cv1 21700  Poly₁cpl1 21701  coe₁cco1 21702  eval₁ce1 21833   deg₁ cdg1 25569  Monic_1pcmn1 25643  Unic_1pcuc1p 25644  quot_1pcq1p 25645  rem_1pcr1p 25646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-rlreg 20899  df-cnfld 20945  df-assa 21408  df-asp 21409  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-evls 21635  df-evl 21636  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707  df-evl1 21835  df-mdeg 25570  df-deg1 25571  df-mon1 25648  df-uc1p 25649  df-q1p 25650  df-r1p 25651

This theorem is referenced by:  facth1  25682