Theorem ply1rem 26145

Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 16507). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor 𝑥 − 𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1rem.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1rem	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Proof of Theorem ply1rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1rem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
5		ply1rem.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		ply1rem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		ply1rem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ply1rem.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1rem.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		ply1rem.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		ply1rem.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
12		ply1rem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
13		ply1rem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14		ply1rem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 26144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁}))
19	18	simp1d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
20		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
21	20, 15	mon1puc1p 26130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
22	3, 19, 21	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
23		ply1rem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
24	23, 5, 6, 20, 16	r1pdeglt 26139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
25	3, 4, 22, 24	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
26	18	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) = 1)
27	25, 26	breqtrd 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < 1)
28		1e0p1 12681	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
29	27, 28	breqtrdi 5127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1))
30		0nn0 12447	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		nn0leltp1 12583	. . . . . 6 ⊢ ((((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
32	30, 31	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
33	29, 32	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
34		elsni 4585	. . . . . 6 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) = -∞)
35		0xr 11187	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
36		mnfle 13081	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 0)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -∞ ≤ 0
38	34, 37	eqbrtrdi 5125	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
40	23, 5, 6, 20	r1pcl 26138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
41	3, 4, 22, 40	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
42	16, 5, 6	deg1cl 26062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44		elun 4094	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
45	43, 44	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
46	33, 39, 45	mpjaod 861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
47	16, 5, 6, 10	deg1le0 26090	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
48	3, 41, 47	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
49	46, 48	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
50		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
51		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
52		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
53	5, 6, 20, 50, 23, 51, 52	r1pid 26140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
54	3, 4, 22, 53	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
55	54	fveq2d 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))))
56		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
57	12, 5, 56, 7	evl1rhm 22311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
58	13, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
59		rhmghm 20458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
60	58, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
61	5	ply1ring 22225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
62	3, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
63	50, 5, 6, 20	q1pcl 26136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
64	3, 4, 22, 63	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
65	5, 6, 15	mon1pcl 26124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
66	19, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
67	6, 51	ringcl 20226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
68	62, 64, 66, 67	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
69		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))
70	6, 52, 69	ghmlin 19191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
71	60, 68, 41, 70	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
72		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
73	7	fvexi 6850	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
75	6, 72	rhmf 20459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
76	58, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
77	76, 68	ffvelcdmd 7033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
78	76, 41	ffvelcdmd 7033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
79		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
80	56, 72, 1, 74, 77, 78, 79, 69	pwsplusgval 17449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
81	55, 71, 80	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
82	81	fveq1d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁))
83	56, 7, 72, 1, 74, 77	pwselbas 17447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
84	83	ffnd 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾)
85	56, 7, 72, 1, 74, 78	pwselbas 17447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)):𝐾⟶𝐾)
86	85	ffnd 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾)
87		fnfvof 7643	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
88	84, 86, 74, 14, 87	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
89		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
90	6, 51, 89	rhmmul 20460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
91	58, 64, 66, 90	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
92	76, 64	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
93	76, 66	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
94		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
95	56, 72, 1, 74, 92, 93, 94, 89	pwsmulrval 17450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
96	91, 95	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
97	96	fveq1d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁))
98	56, 7, 72, 1, 74, 92	pwselbas 17447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
99	98	ffnd 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
100	56, 7, 72, 1, 74, 93	pwselbas 17447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):𝐾⟶𝐾)
101	100	ffnd 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾)
102		fnfvof 7643	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
103	99, 101, 74, 14, 102	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
104		snidg 4605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → 𝑁 ∈ {𝑁})
105	14, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
106	18	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁})
107	105, 106	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}))
108		fniniseg 7008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
109	101, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
110	107, 109	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
111	110	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
112	111	oveq2d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
113	98, 14	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
114	7, 94, 17	ringrz 20270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
115	3, 113, 114	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
116	112, 115	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (0g‘𝑅))
117	97, 103, 116	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (0g‘𝑅))
118	117	oveq1d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
119		ringgrp 20214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
120	3, 119	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
121	85, 14	ffvelcdmd 7033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
122	7, 79, 17	grplid 18938	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
123	120, 121, 122	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
124	88, 118, 123	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
125	49	fveq2d 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
126		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)) = (coe1‘(𝐹𝐸𝐺))
127	126, 6, 5, 7	coe1f 22189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
128	41, 127	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
129		ffvelcdm 7029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
130	128, 30, 129	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
131	12, 5, 7, 10	evl1sca 22313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾) → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
132	13, 130, 131	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
133	125, 132	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
134	133	fveq1d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁))
135		fvex 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ V
136	135	fvconst2 7154	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
137	14, 136	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
138	134, 137	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
139	82, 124, 138	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
140	139	fveq2d 6840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
141	49, 140	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5624  ^◡ccnv 5625   “ cima 5629   Fn wfn 6489  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∘_f cof 7624  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  -∞cmnf 11172  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397   ↑_s cpws 17404  Grpcgrp 18904  -_gcsg 18906   GrpHom cghm 19182  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210   RingHom crh 20444  NzRingcnzr 20484  algSccascl 21846  var₁cv1 22153  Poly₁cpl1 22154  coe₁cco1 22155  eval₁ce1 22293  deg₁cdg1 26033  Monic_1pcmn1 26105  Unic_1pcuc1p 26106  quot_1pcq1p 26107  rem_1pcr1p 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-srg 20163  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-rhm 20447  df-nzr 20485  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-rlreg 20666  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-cnfld 21349  df-assa 21847  df-asp 21848  df-ascl 21849  df-psr 21903  df-mvr 21904  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-evls 22066  df-evl 22067  df-psr1 22157  df-vr1 22158  df-ply1 22159  df-coe1 22160  df-evl1 22295  df-mdeg 26034  df-deg1 26035  df-mon1 26110  df-uc1p 26111  df-q1p 26112  df-r1p 26113

This theorem is referenced by:  facth1  26146