Theorem ply1rem 26078

Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 16520). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor 𝑥 − 𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1rem.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1rem	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Proof of Theorem ply1rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1rem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
5		ply1rem.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		ply1rem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		ply1rem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ply1rem.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1rem.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		ply1rem.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		ply1rem.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
12		ply1rem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
13		ply1rem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14		ply1rem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
15		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
16		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
17		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 26077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁}))
19	18	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
20		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
21	20, 15	mon1puc1p 26063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
22	3, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
23		ply1rem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
24	23, 5, 6, 20, 16	r1pdeglt 26072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
25	3, 4, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
26	18	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) = 1)
27	25, 26	breqtrd 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < 1)
28		1e0p1 12698	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
29	27, 28	breqtrdi 5151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1))
30		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		nn0leltp1 12600	. . . . . 6 ⊢ ((((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
32	30, 31	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
33	29, 32	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
34		elsni 4609	. . . . . 6 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) = -∞)
35		0xr 11228	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
36		mnfle 13102	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 0)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -∞ ≤ 0
38	34, 37	eqbrtrdi 5149	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
40	23, 5, 6, 20	r1pcl 26071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
41	3, 4, 22, 40	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
42	16, 5, 6	deg1cl 25995	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44		elun 4119	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
45	43, 44	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
46	33, 39, 45	mpjaod 860	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
47	16, 5, 6, 10	deg1le0 26023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
48	3, 41, 47	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
49	46, 48	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
50		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
51		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
52		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
53	5, 6, 20, 50, 23, 51, 52	r1pid 26073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
54	3, 4, 22, 53	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
55	54	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))))
56		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
57	12, 5, 56, 7	evl1rhm 22226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
58	13, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
59		rhmghm 20400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
60	58, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
61	5	ply1ring 22139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
62	3, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
63	50, 5, 6, 20	q1pcl 26069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
64	3, 4, 22, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
65	5, 6, 15	mon1pcl 26057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
66	19, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
67	6, 51	ringcl 20166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
68	62, 64, 66, 67	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
69		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))
70	6, 52, 69	ghmlin 19160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
71	60, 68, 41, 70	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
72		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
73	7	fvexi 6875	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
75	6, 72	rhmf 20401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
76	58, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
77	76, 68	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
78	76, 41	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
79		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
80	56, 72, 1, 74, 77, 78, 79, 69	pwsplusgval 17460	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
81	55, 71, 80	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
82	81	fveq1d 6863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁))
83	56, 7, 72, 1, 74, 77	pwselbas 17459	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
84	83	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾)
85	56, 7, 72, 1, 74, 78	pwselbas 17459	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)):𝐾⟶𝐾)
86	85	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾)
87		fnfvof 7673	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
88	84, 86, 74, 14, 87	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
89		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
90	6, 51, 89	rhmmul 20402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
91	58, 64, 66, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
92	76, 64	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
93	76, 66	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
94		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
95	56, 72, 1, 74, 92, 93, 94, 89	pwsmulrval 17461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
96	91, 95	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
97	96	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁))
98	56, 7, 72, 1, 74, 92	pwselbas 17459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
99	98	ffnd 6692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
100	56, 7, 72, 1, 74, 93	pwselbas 17459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):𝐾⟶𝐾)
101	100	ffnd 6692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾)
102		fnfvof 7673	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
103	99, 101, 74, 14, 102	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
104		snidg 4627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → 𝑁 ∈ {𝑁})
105	14, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
106	18	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁})
107	105, 106	eleqtrrd 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}))
108		fniniseg 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
109	101, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
110	107, 109	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
111	110	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
112	111	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
113	98, 14	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
114	7, 94, 17	ringrz 20210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
115	3, 113, 114	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
116	112, 115	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (0g‘𝑅))
117	97, 103, 116	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (0g‘𝑅))
118	117	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
119		ringgrp 20154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
120	3, 119	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
121	85, 14	ffvelcdmd 7060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
122	7, 79, 17	grplid 18906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
123	120, 121, 122	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
124	88, 118, 123	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
125	49	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
126		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)) = (coe1‘(𝐹𝐸𝐺))
127	126, 6, 5, 7	coe1f 22103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
128	41, 127	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
129		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
130	128, 30, 129	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
131	12, 5, 7, 10	evl1sca 22228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾) → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
132	13, 130, 131	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
133	125, 132	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
134	133	fveq1d 6863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁))
135		fvex 6874	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ V
136	135	fvconst2 7181	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
137	14, 136	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
138	134, 137	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
139	82, 124, 138	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
140	139	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
141	49, 140	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409   ↑_s cpws 17416  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874   GrpHom cghm 19151  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385  NzRingcnzr 20428  algSccascl 21768  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068  coe₁cco1 22069  eval₁ce1 22208  deg₁cdg1 25966  Monic_1pcmn1 26038  Unic_1pcuc1p 26039  quot_1pcq1p 26040  rem_1pcr1p 26041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-rhm 20388  df-nzr 20429  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-rlreg 20610  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-cnfld 21272  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-evls 21988  df-evl 21989  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074  df-evl1 22210  df-mdeg 25967  df-deg1 25968  df-mon1 26043  df-uc1p 26044  df-q1p 26045  df-r1p 26046

This theorem is referenced by:  facth1  26079