MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1rem 25528
Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 16424). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor 𝑥𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.4 (𝜑𝐹𝐵)
ply1rem.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1rem (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)))

Proof of Theorem ply1rem
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20731 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ply1rem.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
5 ply1rem.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 ply1rem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 ply1rem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 ply1rem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (var1𝑅)
9 ply1rem.m . . . . . . . . . . 11 = (-g𝑃)
10 ply1rem.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11 ply1rem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
12 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1𝑅)
13 ply1rem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
14 ply1rem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁𝐾)
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
16 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 25527 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}) = {𝑁}))
1918simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
20 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
2120, 15mon1puc1p 25515 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
223, 19, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
23 ply1rem.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (rem1p𝑅)
2423, 5, 6, 20, 16r1pdeglt 25523 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1𝑅)‘𝐺))
253, 4, 22, 24syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1𝑅)‘𝐺))
2618simp2d 1143 . . . . . . 7 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘𝐺) = 1)
2725, 26breqtrd 5131 . . . . . 6 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < 1)
28 1e0p1 12660 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2927, 28breqtrdi 5146 . . . . 5 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1))
30 0nn0 12428 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
31 nn0leltp1 12562 . . . . . 6 (((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
3230, 31mpan2 689 . . . . 5 ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
3329, 32syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝜑 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
34 elsni 4603 . . . . . 6 ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) = -∞)
35 0xr 11202 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
36 mnfle 13055 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 0)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6 -∞ ≤ 0
3834, 37eqbrtrdi 5144 . . . . 5 ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
4023, 5, 6, 20r1pcl 25522 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
413, 4, 22, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
4216, 5, 6deg1cl 25448 . . . . . 6 ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44 elun 4108 . . . . 5 ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
4543, 44sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
4633, 39, 45mpjaod 858 . . 3 (𝜑 → (( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
4716, 5, 6, 10deg1le0 25476 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
483, 41, 47syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((( deg1𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
4946, 48mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
50 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
51 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (.r𝑃) = (.r𝑃)
52 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (+g𝑃) = (+g𝑃)
535, 6, 20, 50, 23, 51, 52r1pid 25524 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → 𝐹 = (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
543, 4, 22, 53syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
5554fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐹) = (𝑂‘(((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺))))
56 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
5712, 5, 56, 7evl1rhm 21698 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
5813, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
59 rhmghm 20157 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐾)))
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐾)))
615ply1ring 21619 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
623, 61syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
6350, 5, 6, 20q1pcl 25520 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
643, 4, 22, 63syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
655, 6, 15mon1pcl 25509 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
6619, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
676, 51ringcl 19981 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
6862, 64, 66, 67syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
69 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g‘(𝑅s 𝐾)) = (+g‘(𝑅s 𝐾))
706, 52, 69ghmlin 19013 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐾)) ∧ ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
7160, 68, 41, 70syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)(+g𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
72 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
737fvexi 6856 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
756, 72rhmf 20158 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
7658, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
7776, 68ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
7876, 41ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
79 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
8056, 72, 1, 74, 77, 78, 79, 69pwsplusgval 17372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
8155, 71, 803eqtrd 2780 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐹) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
8281fveq1d 6844 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁))
8356, 7, 72, 1, 74, 77pwselbas 17371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)):𝐾𝐾)
8483ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) Fn 𝐾)
8556, 7, 72, 1, 74, 78pwselbas 17371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)):𝐾𝐾)
8685ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾)
87 fnfvof 7634 . . . . . 6 ((((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁𝐾)) → (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
8884, 86, 74, 14, 87syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
89 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
906, 51, 89rhmmul 20159 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
9158, 64, 66, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
9276, 64ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
9376, 66ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
94 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9556, 72, 1, 74, 92, 93, 94, 89pwsmulrval 17373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
9691, 95eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
9796fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑁))
9856, 7, 72, 1, 74, 92pwselbas 17371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)):𝐾𝐾)
9998ffnd 6669 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
10056, 7, 72, 1, 74, 93pwselbas 17371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
101100ffnd 6669 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
102 fnfvof 7634 . . . . . . . 8 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑁)))
10399, 101, 74, 14, 102syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑁)))
104 snidg 4620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝐾𝑁 ∈ {𝑁})
10514, 104syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ {𝑁})
10618simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}) = {𝑁})
107105, 106eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}))
108 fniniseg 7010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑁) = (0g𝑅))))
109101, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑂𝐺) “ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑁) = (0g𝑅))))
110107, 109mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑁) = (0g𝑅)))
111110simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐺)‘𝑁) = (0g𝑅))
112111oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑁)) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)(0g𝑅)))
11398, 14ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
1147, 94, 17ringrz 20012 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1153, 113, 114syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
116112, 115eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑁)) = (0g𝑅))
11797, 103, 1163eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁) = (0g𝑅))
118117oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
119 ringgrp 19969 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1203, 119syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
12185, 14ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
1227, 79, 17grplid 18780 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → ((0g𝑅)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
123120, 121, 122syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
12488, 118, 1233eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) ∘f (+g𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
12549fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
126 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)) = (coe1‘(𝐹𝐸𝐺))
127126, 6, 5, 7coe1f 21582 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0𝐾)
12841, 127syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0𝐾)
129 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . 9 (((coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0𝐾 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
130128, 30, 129sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
13112, 5, 7, 10evl1sca 21700 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾) → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
13213, 130, 131syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
133125, 132eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
134133fveq1d 6844 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁))
135 fvex 6855 . . . . . . 7 ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ V
136135fvconst2 7153 . . . . . 6 (𝑁𝐾 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
13714, 136syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
138134, 137eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
13982, 124, 1383eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
140139fveq2d 6846 . 2 (𝜑 → (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
14149, 140eqtr4d 2779 1 (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cun 3908  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccnv 5632  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  0cn0 12413  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  s cpws 17328  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750   GrpHom cghm 19005  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  NzRingcnzr 20727  algSccascl 21258  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548  coe1cco1 21549  eval1ce1 21680   deg1 cdg1 25416  Monic1pcmn1 25490  Unic1pcuc1p 25491  quot1pcq1p 25492  rem1pcr1p 25493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-nzr 20728  df-rlreg 20753  df-cnfld 20797  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-evl 21483  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-evl1 21682  df-mdeg 25417  df-deg1 25418  df-mon1 25495  df-uc1p 25496  df-q1p 25497  df-r1p 25498
This theorem is referenced by:  facth1  25529
  Copyright terms: Public domain W3C validator