Theorem ply1rem 26484

Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 16716). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor 𝑥 − 𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1rem.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1rem	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Proof of Theorem ply1rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1rem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
5		ply1rem.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		ply1rem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		ply1rem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ply1rem.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1rem.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		ply1rem.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		ply1rem.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
12		ply1rem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
13		ply1rem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14		ply1rem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
15		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
17		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 26483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁}))
19	18	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
20		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
21	20, 15	mon1puc1p 26469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
22	3, 19, 21	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
23		ply1rem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
24	23, 5, 6, 20, 16	r1pdeglt 26478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
25	3, 4, 22, 24	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
26	18	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) = 1)
27	25, 26	breqtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < 1)
28		1e0p1 12861	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
29	27, 28	breqtrdi 5145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1))
30		0nn0 12621	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		nn0leltp1 12758	. . . . . 6 ⊢ ((((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
32	30, 31	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
33	29, 32	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
34		elsni 4600	. . . . . 6 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) = -∞)
35		0xr 11356	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
36		mnfle 13264	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 0)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -∞ ≤ 0
38	34, 37	eqbrtrdi 5143	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
40	23, 5, 6, 20	r1pcl 26477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
41	3, 4, 22, 40	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
42	16, 5, 6	deg1cl 26401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
43	41, 42	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44		elun 4152	. . . . 5 ⊢ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
45	43, 44	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
46	33, 39, 45	mpjaod 874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
47	16, 5, 6, 10	deg1le0 26429	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
48	3, 41, 47	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
49	46, 48	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
50		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
51		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
52		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
53	5, 6, 20, 50, 23, 51, 52	r1pid 26479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
54	3, 4, 22, 53	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
55	54	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))))
56		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
57	12, 5, 56, 7	evl1rhm 22650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
58	13, 57	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
59		rhmghm 20714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
60	58, 59	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
61	5	ply1ring 22565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
62	3, 61	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
63	50, 5, 6, 20	q1pcl 26475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
64	3, 4, 22, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
65	5, 6, 15	mon1pcl 26463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
66	19, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
67	6, 51	ringcl 20477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
68	62, 64, 66, 67	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
69		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))
70	6, 52, 69	ghmlin 19435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
71	60, 68, 41, 70	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
72		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
73	7	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
75	6, 72	rhmf 20715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
76	58, 75	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
77	76, 68	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
78	76, 41	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
79		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
80	56, 72, 1, 74, 77, 78, 79, 69	pwsplusgval 17662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
81	55, 71, 80	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
82	81	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁))
83	56, 7, 72, 1, 74, 77	pwselbas 17660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
84	83	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾)
85	56, 7, 72, 1, 74, 78	pwselbas 17660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)):𝐾⟶𝐾)
86	85	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾)
87		fnfvof 7710	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
88	84, 86, 74, 14, 87	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
89		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
90	6, 51, 89	rhmmul 20720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
91	58, 64, 66, 90	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
92	76, 64	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
93	76, 66	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
94		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
95	56, 72, 1, 74, 92, 93, 94, 89	pwsmulrval 17663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
96	91, 95	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
97	96	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁))
98	56, 7, 72, 1, 74, 92	pwselbas 17660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
99	98	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
100	56, 7, 72, 1, 74, 93	pwselbas 17660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):𝐾⟶𝐾)
101	100	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾)
102		fnfvof 7710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
103	99, 101, 74, 14, 102	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
104		snidg 4620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → 𝑁 ∈ {𝑁})
105	14, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
106	18	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁})
107	105, 106	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}))
108		fniniseg 7059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
109	101, 108	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
110	107, 109	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
111	110	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
112	111	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
113	98, 14	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
114	7, 94, 17	ringrz 20525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
115	3, 113, 114	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
116	112, 115	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (0g‘𝑅))
117	97, 103, 116	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (0g‘𝑅))
118	117	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
119		ringgrp 20464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
120	3, 119	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
121	85, 14	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
122	7, 79, 17	grplid 19178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
123	120, 121, 122	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
124	88, 118, 123	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
125	49	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
126		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)) = (coe1‘(𝐹𝐸𝐺))
127	126, 6, 5, 7	coe1f 22529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
128	41, 127	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
129		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
130	128, 30, 129	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
131	12, 5, 7, 10	evl1sca 22652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾) → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
132	13, 130, 131	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
133	125, 132	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
134	133	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁))
135		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ V
136	135	fvconst2 7210	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
137	14, 136	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
138	134, 137	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
139	82, 124, 138	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
140	139	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
141	49, 140	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∪ cun 4149  {csn 4583   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   ↑_s cpws 17617  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146   GrpHom cghm 19427  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460   RingHom crh 20699  NzRingcnzr 20762  algSccascl 22160  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495  coe₁cco1 22496  eval₁ce1 22632  deg₁cdg1 26372  Monic_1pcmn1 26444  Unic_1pcuc1p 26445  quot_1pcq1p 26446  rem_1pcr1p 26447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-rhm 20702  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-rlreg 20946  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-cnfld 21679  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-evl1 22634  df-mdeg 26373  df-deg1 26374  df-mon1 26449  df-uc1p 26450  df-q1p 26451  df-r1p 26452

This theorem is used by:  facth1  26485