Theorem ply1rem 25528

Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 16424). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor 𝑥 − 𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1rem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1rem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
ply1rem.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1rem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1rem.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1rem	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Proof of Theorem ply1rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1rem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
5		ply1rem.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		ply1rem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		ply1rem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ply1rem.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1rem.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		ply1rem.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		ply1rem.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑁))
12		ply1rem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
13		ply1rem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14		ply1rem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
15		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
17		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 25527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁}))
19	18	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
20		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
21	20, 15	mon1puc1p 25515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
22	3, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
23		ply1rem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
24	23, 5, 6, 20, 16	r1pdeglt 25523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺))
25	3, 4, 22, 24	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺))
26	18	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) = 1)
27	25, 26	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < 1)
28		1e0p1 12660	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
29	27, 28	breqtrdi 5146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1))
30		0nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		nn0leltp1 12562	. . . . . 6 ⊢ (((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
32	30, 31	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
33	29, 32	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
34		elsni 4603	. . . . . 6 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) = -∞)
35		0xr 11202	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
36		mnfle 13055	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 0)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -∞ ≤ 0
38	34, 37	eqbrtrdi 5144	. . . . 5 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0))
40	23, 5, 6, 20	r1pcl 25522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
41	3, 4, 22, 40	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)
42	16, 5, 6	deg1cl 25448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44		elun 4108	. . . . 5 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
45	43, 44	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
46	33, 39, 45	mpjaod 858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0)
47	16, 5, 6, 10	deg1le0 25476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
48	3, 41, 47	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹𝐸𝐺)) ≤ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
49	46, 48	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
50		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
51		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
52		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
53	5, 6, 20, 50, 23, 51, 52	r1pid 25524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
54	3, 4, 22, 53	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺)))
55	54	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))))
56		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
57	12, 5, 56, 7	evl1rhm 21698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
58	13, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
59		rhmghm 20157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
60	58, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
61	5	ply1ring 21619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
62	3, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
63	50, 5, 6, 20	q1pcl 25520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
64	3, 4, 22, 63	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
65	5, 6, 15	mon1pcl 25509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
66	19, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
67	6, 51	ringcl 19981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
68	62, 64, 66, 67	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
69		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))
70	6, 52, 69	ghmlin 19013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
71	60, 68, 41, 70	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)(+g‘𝑃)(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
72		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
73	7	fvexi 6856	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
75	6, 72	rhmf 20158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
76	58, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
77	76, 68	ffvelcdmd 7036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
78	76, 41	ffvelcdmd 7036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
79		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
80	56, 72, 1, 74, 77, 78, 79, 69	pwsplusgval 17372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))(+g‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
81	55, 71, 80	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))))
82	81	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁))
83	56, 7, 72, 1, 74, 77	pwselbas 17371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
84	83	ffnd 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾)
85	56, 7, 72, 1, 74, 78	pwselbas 17371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)):𝐾⟶𝐾)
86	85	ffnd 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾)
87		fnfvof 7634	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
88	84, 86, 74, 14, 87	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
89		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
90	6, 51, 89	rhmmul 20159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
91	58, 64, 66, 90	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)))
92	76, 64	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
93	76, 66	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
94		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
95	56, 72, 1, 74, 92, 93, 94, 89	pwsmulrval 17373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
96	91, 95	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺)))
97	96	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁))
98	56, 7, 72, 1, 74, 92	pwselbas 17371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)):𝐾⟶𝐾)
99	98	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
100	56, 7, 72, 1, 74, 93	pwselbas 17371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):𝐾⟶𝐾)
101	100	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾)
102		fnfvof 7634	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂‘𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
103	99, 101, 74, 14, 102	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∘f (.r‘𝑅)(𝑂‘𝐺))‘𝑁) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)))
104		snidg 4620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → 𝑁 ∈ {𝑁})
105	14, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
106	18	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑁})
107	105, 106	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}))
108		fniniseg 7010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
109	101, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))))
110	107, 109	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
111	110	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
112	111	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
113	98, 14	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
114	7, 94, 17	ringrz 20012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
115	3, 113, 114	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
116	112, 115	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))‘𝑁)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑁)) = (0g‘𝑅))
117	97, 103, 116	3eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁) = (0g‘𝑅))
118	117	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))‘𝑁)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)))
119		ringgrp 19969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
120	3, 119	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
121	85, 14	ffvelcdmd 7036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾)
122	7, 79, 17	grplid 18780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
123	120, 121, 122	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁)) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
124	88, 118, 123	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)))‘𝑁) = ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁))
125	49	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))))
126		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)) = (coe1‘(𝐹𝐸𝐺))
127	126, 6, 5, 7	coe1f 21582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
128	41, 127	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
129		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘(𝐹𝐸𝐺)):ℕ0⟶𝐾 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
130	128, 30, 129	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾)
131	12, 5, 7, 10	evl1sca 21700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ 𝐾) → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
132	13, 130, 131	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
133	125, 132	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)}))
134	133	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁))
135		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0) ∈ V
136	135	fvconst2 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐾 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
137	14, 136	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)})‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
138	134, 137	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹𝐸𝐺))‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
139	82, 124, 138	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑁) = ((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0))
140	139	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)) = (𝐴‘((coe1‘(𝐹𝐸𝐺))‘0)))
141	49, 140	eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐴‘((𝑂‘𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ∪ cun 3908  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321   ↑_s cpws 17328  Grpcgrp 18748  -_gcsg 18750   GrpHom cghm 19005  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  NzRingcnzr 20727  algSccascl 21258  var₁cv1 21547  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549  eval₁ce1 21680   deg₁ cdg1 25416  Monic_1pcmn1 25490  Unic_1pcuc1p 25491  quot_1pcq1p 25492  rem_1pcr1p 25493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-nzr 20728  df-rlreg 20753  df-cnfld 20797  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-evl 21483  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-evl1 21682  df-mdeg 25417  df-deg1 25418  df-mon1 25495  df-uc1p 25496  df-q1p 25497  df-r1p 25498

This theorem is referenced by:  facth1  25529