MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1rem 25916
Description: The polynomial remainder theorem, or little BΓ©zout's theorem (by contrast to the regular BΓ©zout's theorem bezout 16489). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor π‘₯ βˆ’ 𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1rem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ply1rem.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1rem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
ply1rem.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
ply1rem.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
ply1rem.e 𝐸 = (rem1pβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1rem (πœ‘ β†’ (𝐹𝐸𝐺) = (π΄β€˜((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘)))

Proof of Theorem ply1rem
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20407 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ply1rem.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
5 ply1rem.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 ply1rem.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 ply1rem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
8 ply1rem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
9 ply1rem.m . . . . . . . . . . 11 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
10 ply1rem.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
11 ply1rem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘))
12 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
13 ply1rem.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
14 ply1rem.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
15 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
16 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
17 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 25915 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {𝑁}))
1918simp1d 1140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…))
20 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Unic1pβ€˜π‘…) = (Unic1pβ€˜π‘…)
2120, 15mon1puc1p 25903 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…)) β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
223, 19, 21syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
23 ply1rem.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (rem1pβ€˜π‘…)
2423, 5, 6, 20, 16r1pdeglt 25911 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΊ))
253, 4, 22, 24syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) < (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΊ))
2618simp2d 1141 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΊ) = 1)
2725, 26breqtrd 5173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) < 1)
28 1e0p1 12723 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2927, 28breqtrdi 5188 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1))
30 0nn0 12491 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
31 nn0leltp1 12625 . . . . . 6 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ≀ 0 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
3230, 31mpan2 687 . . . . 5 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ β„•0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ≀ 0 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) < (0 + 1)))
3329, 32syl5ibrcom 246 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ β„•0 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ≀ 0))
34 elsni 4644 . . . . . 6 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) = -∞)
35 0xr 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
36 mnfle 13118 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ 0)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6 -∞ ≀ 0
3834, 37eqbrtrdi 5186 . . . . 5 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ≀ 0)
3938a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞} β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ≀ 0))
4023, 5, 6, 20r1pcl 25910 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐡)
413, 4, 22, 40syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐡)
4216, 5, 6deg1cl 25836 . . . . . 6 ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
4341, 42syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
44 elun 4147 . . . . 5 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ β„•0 ∨ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
4543, 44sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ β„•0 ∨ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ {-∞}))
4633, 39, 45mpjaod 856 . . 3 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ≀ 0)
4716, 5, 6, 10deg1le0 25864 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐡) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ≀ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (π΄β€˜((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))))
483, 41, 47syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ≀ 0 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = (π΄β€˜((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))))
4946, 48mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐸𝐺) = (π΄β€˜((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0)))
50 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (quot1pβ€˜π‘…) = (quot1pβ€˜π‘…)
51 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
52 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
535, 6, 20, 50, 23, 51, 52r1pid 25912 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 = (((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐹𝐸𝐺)))
543, 4, 22, 53syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐹𝐸𝐺)))
5554fveq2d 6894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = (π‘‚β€˜(((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐹𝐸𝐺))))
56 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
5712, 5, 56, 7evl1rhm 22071 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
5813, 57syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
59 rhmghm 20375 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
615ply1ring 21990 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
623, 61syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6350, 5, 6, 20q1pcl 25908 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡)
643, 4, 22, 63syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡)
655, 6, 15mon1pcl 25897 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
6619, 65syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
676, 51ringcl 20144 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) ∈ 𝐡)
6862, 64, 66, 67syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) ∈ 𝐡)
69 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+gβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (+gβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
706, 52, 69ghmlin 19135 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜(((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐹𝐸𝐺))) = ((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))(+gβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))))
7160, 68, 41, 70syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐹𝐸𝐺))) = ((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))(+gβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))))
72 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
737fvexi 6904 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
756, 72rhmf 20376 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
7658, 75syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
7776, 68ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
7876, 41ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
79 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
8056, 72, 1, 74, 77, 78, 79, 69pwsplusgval 17440 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))(+gβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))) = ((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) ∘f (+gβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))))
8155, 71, 803eqtrd 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) ∘f (+gβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))))
8281fveq1d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘) = (((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) ∘f (+gβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)))β€˜π‘))
8356, 7, 72, 1, 74, 77pwselbas 17439 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)):𝐾⟢𝐾)
8483ffnd 6717 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) Fn 𝐾)
8556, 7, 72, 1, 74, 78pwselbas 17439 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)):𝐾⟢𝐾)
8685ffnd 6717 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾)
87 fnfvof 7689 . . . . . 6 ((((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) β†’ (((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) ∘f (+gβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)))β€˜π‘) = (((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘)))
8884, 86, 74, 14, 87syl22anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) ∘f (+gβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)))β€˜π‘) = (((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘)))
89 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
906, 51, 89rhmmul 20377 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) = ((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))(.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜πΊ)))
9158, 64, 66, 90syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) = ((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))(.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜πΊ)))
9276, 64ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
9376, 66ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
94 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
9556, 72, 1, 74, 92, 93, 94, 89pwsmulrval 17441 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))(.rβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))(π‘‚β€˜πΊ)) = ((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜πΊ)))
9691, 95eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) = ((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜πΊ)))
9796fveq1d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))β€˜π‘) = (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜πΊ))β€˜π‘))
9856, 7, 72, 1, 74, 92pwselbas 17439 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)):𝐾⟢𝐾)
9998ffnd 6717 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) Fn 𝐾)
10056, 7, 72, 1, 74, 93pwselbas 17439 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ):𝐾⟢𝐾)
101100ffnd 6717 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΊ) Fn 𝐾)
102 fnfvof 7689 . . . . . . . 8 ((((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (π‘‚β€˜πΊ) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝐾)) β†’ (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜πΊ))β€˜π‘) = (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘)))
10399, 101, 74, 14, 102syl22anc 835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜πΊ))β€˜π‘) = (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘)))
104 snidg 4661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ 𝐾 β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
10514, 104syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
10618simp3d 1142 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {𝑁})
107105, 106eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ {(0gβ€˜π‘…)}))
108 fniniseg 7060 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‚β€˜πΊ) Fn 𝐾 β†’ (𝑁 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
109101, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
110107, 109mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
111110simprd 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
112111oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘)) = (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
11398, 14ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘) ∈ 𝐾)
1147, 94, 17ringrz 20182 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘) ∈ 𝐾) β†’ (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
1153, 113, 114syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
116112, 115eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘…))
11797, 103, 1163eqtrd 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
118117oveq1d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘)))
119 ringgrp 20132 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1203, 119syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
12185, 14ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘) ∈ 𝐾)
1227, 79, 17grplid 18888 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘) ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘)) = ((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘))
123120, 121, 122syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘)) = ((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘))
12488, 118, 1233eqtrd 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)) ∘f (+gβ€˜π‘…)(π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)))β€˜π‘) = ((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘))
12549fveq2d 6894 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)) = (π‘‚β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))))
126 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺)) = (coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))
127126, 6, 5, 7coe1f 21954 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺)):β„•0⟢𝐾)
12841, 127syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺)):β„•0⟢𝐾)
129 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . 9 (((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺)):β„•0⟢𝐾 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0) ∈ 𝐾)
130128, 30, 129sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0) ∈ 𝐾)
13112, 5, 7, 10evl1sca 22073 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0) ∈ 𝐾) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))) = (𝐾 Γ— {((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0)}))
13213, 130, 131syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))) = (𝐾 Γ— {((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0)}))
133125, 132eqtrd 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐾 Γ— {((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0)}))
134133fveq1d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘) = ((𝐾 Γ— {((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0)})β€˜π‘))
135 fvex 6903 . . . . . . 7 ((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0) ∈ V
136135fvconst2 7206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ 𝐾 β†’ ((𝐾 Γ— {((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0)})β€˜π‘) = ((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))
13714, 136syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Γ— {((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0)})β€˜π‘) = ((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))
138134, 137eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜π‘) = ((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))
13982, 124, 1383eqtrd 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘) = ((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0))
140139fveq2d 6894 . 2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘)) = (π΄β€˜((coe1β€˜(𝐹𝐸𝐺))β€˜0)))
14149, 140eqtr4d 2773 1 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐸𝐺) = (π΄β€˜((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945  {csn 4627   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   ↑s cpws 17396  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857   GrpHom cghm 19127  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128   RingHom crh 20360  NzRingcnzr 20403  algSccascl 21626  var1cv1 21919  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921  eval1ce1 22053   deg1 cdg1 25804  Monic1pcmn1 25878  Unic1pcuc1p 25879  quot1pcq1p 25880  rem1pcr1p 25881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-assa 21627  df-asp 21628  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-evls 21854  df-evl 21855  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-evl1 22055  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-mon1 25883  df-uc1p 25884  df-q1p 25885  df-r1p 25886
This theorem is referenced by:  facth1  25917
  Copyright terms: Public domain W3C validator