Theorem fucoppcid 50066

Description: The opposite category of functors is compatible with the category of opposite functors in terms of identity morphism. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fucoppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fucoppc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucoppc.r	⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
fucoppc.s	⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
fucoppc.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fucoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
fucoppc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
fucoppcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucoppcid	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fucoppcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucoppcid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2	1	func1st2nd 49734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑋)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑋))
3	2	funcrcl3 49738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		fucoppc.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
6	4, 5	oppcid 17773	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
8		fucoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
9	8, 1	opf11 50061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹‘𝑋)) = (1st ‘𝑋))
10	7, 9	coeq12d 5848	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
11		fucoppc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
12		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
13		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Id‘𝑃) = (Id‘𝑃)
14		fucoppc.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15	14, 4	oppff1 49806	. . . . . 6 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)
16		f1f 6772	. . . . . 6 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)
18	8	feq1d 6685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ↔ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)))
19	17, 18	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
20	19, 1	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
21	11, 12, 13, 20	fucid 18027	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))))
22		fucoppc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
23		fucoppc.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
24	2	funcrcl2 49737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
25	23, 24, 3	fuccat 18026	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
26		fucoppc.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
27		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Id‘𝑄) = (Id‘𝑄)
28	26, 27	oppcid 17773	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Cat → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
29	25, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
30	29	fveq1d 6881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝑄)‘𝑋))
31	23, 27, 5, 1	fucid 18027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑄)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
32	30, 31	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
33		fucoppc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
34	23, 33, 5, 1	fucidcl 18021	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)) ∈ (𝑋𝑁𝑋))
35	22, 1, 1, 32, 34	opf2 50064	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
36	10, 21, 35	3eqtr4rd 2815	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   I cid 5553   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6530  –1-1→wf1 6531  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  Catccat 17716  Idccid 17717  oppCatcoppc 17763   Func cfunc 17907   Nat cnat 17997   FuncCat cfuc 17998   oppFunc coppf 49780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-oppc 17764  df-func 17911  df-nat 17999  df-fuc 18000  df-oppf 49781

This theorem is referenced by:  fucoppc  50068