Theorem fucoppcid 49377

Description: The opposite category of functors is compatible with the category of opposite functors in terms of identity morphism. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fucoppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fucoppc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucoppc.r	⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
fucoppc.s	⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
fucoppc.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fucoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
fucoppc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
fucoppcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucoppcid	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fucoppcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucoppcid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2	1	func1st2nd 49053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑋)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑋))
3	2	funcrcl3 49057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		fucoppc.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
6	4, 5	oppcid 17688	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
8		fucoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
9	8, 1	opf11 49372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹‘𝑋)) = (1st ‘𝑋))
10	7, 9	coeq12d 5830	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
11		fucoppc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
12		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
13		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Id‘𝑃) = (Id‘𝑃)
14		fucoppc.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15	14, 4	oppff1 49125	. . . . . 6 ⊢ (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)
16		f1f 6758	. . . . . 6 ⊢ ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) → (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)
18	8	feq1d 6672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ↔ (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)))
19	17, 18	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
20	19, 1	ffvelcdmd 7059	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
21	11, 12, 13, 20	fucid 17942	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))))
22		fucoppc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
23		fucoppc.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
24	2	funcrcl2 49056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
25	23, 24, 3	fuccat 17941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
26		fucoppc.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
27		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Id‘𝑄) = (Id‘𝑄)
28	26, 27	oppcid 17688	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Cat → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
29	25, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
30	29	fveq1d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝑄)‘𝑋))
31	23, 27, 5, 1	fucid 17942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑄)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
32	30, 31	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
33		fucoppc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
34	23, 33, 5, 1	fucidcl 17936	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)) ∈ (𝑋𝑁𝑋))
35	22, 1, 1, 32, 34	opf2 49375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
36	10, 21, 35	3eqtr4rd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5534   ↾ cres 5642   ∘ ccom 5644  ⟶wf 6509  –1-1→wf1 6510  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  Catccat 17631  Idccid 17632  oppCatcoppc 17678   Func cfunc 17822   Nat cnat 17912   FuncCat cfuc 17913  oppFunccoppf 49099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-oppc 17679  df-func 17826  df-nat 17914  df-fuc 17915  df-oppf 49100

This theorem is referenced by:  fucoppc  49379