Theorem fucoppcid 50186

Description: The opposite category of functors is compatible with the category of opposite functors in terms of identity morphism. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fucoppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fucoppc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucoppc.r	⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
fucoppc.s	⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
fucoppc.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fucoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
fucoppc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
fucoppcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucoppcid	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fucoppcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucoppcid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2	1	func1st2nd 49854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑋)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑋))
3	2	funcrcl3 49858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		fucoppc.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
6	4, 5	oppcid 17772	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
8		fucoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
9	8, 1	opf11 50181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹‘𝑋)) = (1st ‘𝑋))
10	7, 9	coeq12d 5850	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
11		fucoppc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
13		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘𝑃) = (Id‘𝑃)
14		fucoppc.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15	14, 4	oppff1 49926	. . . . . 6 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)
16		f1f 6774	. . . . . 6 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)
18	8	feq1d 6687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ↔ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)))
19	17, 18	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
20	19, 1	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
21	11, 12, 13, 20	fucid 18026	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))))
22		fucoppc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
23		fucoppc.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
24	2	funcrcl2 49857	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
25	23, 24, 3	fuccat 18025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
26		fucoppc.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
27		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Id‘𝑄) = (Id‘𝑄)
28	26, 27	oppcid 17772	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Cat → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
29	25, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
30	29	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝑄)‘𝑋))
31	23, 27, 5, 1	fucid 18026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑄)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
32	30, 31	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
33		fucoppc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
34	23, 33, 5, 1	fucidcl 18020	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)) ∈ (𝑋𝑁𝑋))
35	22, 1, 1, 32, 34	opf2 50184	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
36	10, 21, 35	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   I cid 5555   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  Catccat 17715  Idccid 17716  oppCatcoppc 17762   Func cfunc 17906   Nat cnat 17996   FuncCat cfuc 17997   oppFunc coppf 49900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-oppc 17763  df-func 17910  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-oppf 49901

This theorem is referenced by:  fucoppc  50188