Theorem fucoppcid 50334

Description: The opposite category of functors is compatible with the category of opposite functors in terms of identity morphism. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fucoppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fucoppc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucoppc.r	⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
fucoppc.s	⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
fucoppc.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fucoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
fucoppc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
fucoppcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucoppcid	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝑃(𝑥, 𝑦)   𝑄(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)   𝑂(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fucoppcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucoppcid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2	1	func1st2nd 50002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑋)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑋))
3	2	funcrcl3 50006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		fucoppc.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
6	4, 5	oppcid 17809	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
8		fucoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
9	8, 1	opf11 50329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹‘𝑋)) = (1st ‘𝑋))
10	7, 9	coeq12d 5844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
11		fucoppc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝑃) = (Id‘𝑃)
14		fucoppc.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15	14, 4	oppff1 50074	. . . . . 6 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)
16		f1f 6771	. . . . . 6 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)
18	8	feq1d 6684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ↔ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)))
19	17, 18	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
20	19, 1	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
21	11, 12, 13, 20	fucid 18063	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))))
22		fucoppc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
23		fucoppc.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
24	2	funcrcl2 50005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
25	23, 24, 3	fuccat 18062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
26		fucoppc.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
27		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Id‘𝑄) = (Id‘𝑄)
28	26, 27	oppcid 17809	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Cat → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
29	25, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
30	29	fveq1d 6880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝑄)‘𝑋))
31	23, 27, 5, 1	fucid 18063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑄)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
32	30, 31	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
33		fucoppc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
34	23, 33, 5, 1	fucidcl 18057	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)) ∈ (𝑋𝑁𝑋))
35	22, 1, 1, 32, 34	opf2 50332	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
36	10, 21, 35	3eqtr4rd 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   I cid 5549   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  Catccat 17752  Idccid 17753  oppCatcoppc 17799   Func cfunc 17943   Nat cnat 18033   FuncCat cfuc 18034   oppFunc coppf 50048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-hom 17366  df-cco 17367  df-cat 17756  df-cid 17757  df-oppc 17800  df-func 17947  df-nat 18035  df-fuc 18036  df-oppf 50049

This theorem is used by:  fucoppc  50336