Theorem fucoppcid 49653

Description: The opposite category of functors is compatible with the category of opposite functors in terms of identity morphism. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fucoppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fucoppc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucoppc.r	⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
fucoppc.s	⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
fucoppc.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fucoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
fucoppc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
fucoppcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucoppcid	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fucoppcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucoppcid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2	1	func1st2nd 49321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑋)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑋))
3	2	funcrcl3 49325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		fucoppc.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
6	4, 5	oppcid 17644	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑃) = (Id‘𝐷))
8		fucoppc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
9	8, 1	opf11 49648	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹‘𝑋)) = (1st ‘𝑋))
10	7, 9	coeq12d 5813	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
11		fucoppc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Id‘𝑃) = (Id‘𝑃)
14		fucoppc.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15	14, 4	oppff1 49393	. . . . . 6 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)
16		f1f 6730	. . . . . 6 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)
18	8	feq1d 6644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ↔ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)))
19	17, 18	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
20	19, 1	ffvelcdmd 7030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
21	11, 12, 13, 20	fucid 17898	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑃) ∘ (1st ‘(𝐹‘𝑋))))
22		fucoppc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
23		fucoppc.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
24	2	funcrcl2 49324	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
25	23, 24, 3	fuccat 17897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
26		fucoppc.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
27		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Id‘𝑄) = (Id‘𝑄)
28	26, 27	oppcid 17644	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Cat → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
29	25, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑅) = (Id‘𝑄))
30	29	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝑄)‘𝑋))
31	23, 27, 5, 1	fucid 17898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑄)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
32	30, 31	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
33		fucoppc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
34	23, 33, 5, 1	fucidcl 17892	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)) ∈ (𝑋𝑁𝑋))
35	22, 1, 1, 32, 34	opf2 49651	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝐷) ∘ (1st ‘𝑋)))
36	10, 21, 35	3eqtr4rd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   I cid 5518   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  Catccat 17587  Idccid 17588  oppCatcoppc 17634   Func cfunc 17778   Nat cnat 17868   FuncCat cfuc 17869   oppFunc coppf 49367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-oppc 17635  df-func 17782  df-nat 17870  df-fuc 17871  df-oppf 49368

This theorem is referenced by:  fucoppc  49655