Theorem opprlem 19380

Description: Lemma for opprbas 19381 and oppradd 19382. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlem.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16511	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 11649	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlem.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 10755	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 16510	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 16617	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3084	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 233	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 16541	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 19376	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6675	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2849	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  tpos ctpos 7893   < clt 10677  ℕcn 11640  3c3 11696  ndxcnx 16482   sSet csts 16483  Slot cslot 16484  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  opp_rcoppr 19374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-sets 16492  df-mulr 16581  df-oppr 19375

This theorem is referenced by:  opprbas  19381  oppradd  19382