Theorem opprlem 19374

Description: Lemma for opprbas 19375 and oppradd 19376. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlem.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16501	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 11634	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlem.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 10742	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 16500	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 16607	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3053	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 16531	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 19370	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6648	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2824	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  tpos ctpos 7874   < clt 10664  ℕcn 11625  3c3 11681  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Slot cslot 16474  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  opp_rcoppr 19368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-sets 16482  df-mulr 16571  df-oppr 19369

This theorem is referenced by:  opprbas  19375  oppradd  19376