Theorem opprbas 20156

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17146	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17239	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20154	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2760	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1541  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  opp_rcoppr 20148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-mulr 17210  df-oppr 20149

This theorem is referenced by:  opprring  20160  opprringb  20161  oppr0  20162  oppr1  20163  opprneg  20164  opprsubg  20165  mulgass3  20166  1unit  20187  opprunit  20190  crngunit  20191  unitmulcl  20193  unitgrp  20196  unitnegcl  20210  unitpropd  20230  opprirred  20235  rhmopp  20287  elrhmunit  20288  opprnzr  20298  subrguss  20333  subrgunit  20336  opprsubrg  20339  isdrng2  20370  opprdrng  20388  isdrngrd  20390  isdrngrdOLD  20392  issrngd  20468  isridl  20858  ridl1  20861  2idlcpbl  20870  crngridl  20875  opprdomn  20918  fidomndrng  20925  psropprmul  21759  invrvald  22177  ply1divalg2  25655  isdrng4  32390  crngmxidl  32580  opprabs  32591  oppreqg  32592  opprnsg  32593  opprlidlabs  32594  opprmxidlabs  32596  opprqusbas  32597  opprqusplusg  32598  opprqus0g  32599  opprqusmulr  32600  opprqus1r  32601  opprqusdrng  32602  qsdrngi  32604  qsdrng  32606  ldualsbase  37998  lduallmodlem  38017  lcdsbase  40466  opprrng  46664  opprrngb  46665  opprsubrng  46728  rngridlmcl  46739  isridlrng  46741  2idlcpblrng  46756