Theorem opprbas 20235

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17148	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17241	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20233	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2752	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1533  ‘cfv 6534  Basecbs 17145  opp_rcoppr 20227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-mulr 17212  df-oppr 20228

This theorem is referenced by:  opprrng  20239  opprrngb  20240  opprring  20241  opprringb  20242  oppr0  20243  oppr1  20244  opprneg  20245  opprsubg  20246  mulgass3  20247  1unit  20268  opprunit  20271  crngunit  20272  unitmulcl  20274  unitgrp  20277  unitnegcl  20291  unitpropd  20311  opprirred  20316  rhmopp  20403  elrhmunit  20404  opprnzr  20414  opprsubrng  20451  subrguss  20481  subrgunit  20484  opprsubrg  20487  isdrng2  20593  opprdrng  20611  isdrngrd  20613  isdrngrdOLD  20615  issrngd  20696  rngridlmcl  21068  isridlrng  21070  isridl  21101  ridl1  21108  2idlcpblrng  21120  crngridl  21127  opprdomn  21205  fidomndrng  21212  psropprmul  22081  invrvald  22502  ply1divalg2  25998  isdrng4  32864  crngmxidl  33057  opprabs  33068  oppreqg  33069  opprnsg  33070  opprlidlabs  33071  opprmxidlabs  33073  opprqusbas  33074  opprqusplusg  33075  opprqus0g  33076  opprqusmulr  33077  opprqus1r  33078  opprqusdrng  33079  qsdrngi  33081  qsdrng  33083  ldualsbase  38497  lduallmodlem  38516  lcdsbase  40965