Theorem opprbas 20487

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17307	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17384	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20486	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2783	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  opp_rcoppr 20480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-mulr 17359  df-oppr 20481

This theorem is used by:  opprrng  20489  opprrngb  20490  opprring  20491  opprringb  20492  oppr0  20493  oppr1  20494  opprneg  20495  opprsubg  20496  mulgass3  20497  1unit  20518  opprunit  20521  crngunit  20522  unitmulcl  20524  unitgrp  20527  unitnegcl  20541  unitpropd  20561  opprirred  20566  rhmopp  20672  elrhmunit  20673  opprsubrng  20724  subrguss  20752  subrgunit  20755  opprsubrg  20758  opprdomnb  20881  isdomn4r  20883  isdrng4  20905  isdrng2  20909  opprdrng  20933  isdrngrd  20935  isdrngrdOLD  20937  fidomndrng  20943  issrngd  21024  rngridlmcl  21408  isridlrng  21410  isridl  21457  ridl1  21464  2idlcpblrng  21476  crngridl  21485  psropprmul  22465  invrvald  22901  ply1divalg2  26367  isunit2  33682  crngmxidl  33875  opprabs  33887  oppreqg  33888  opprnsg  33889  opprlidlabs  33890  opprmxidlabs  33892  opprqusbas  33893  opprqusplusg  33894  opprqus0g  33895  opprqusmulr  33896  opprqus1r  33897  opprqusdrng  33898  qsdrngi  33900  qsdrng  33902  ldualsbase  40009  lduallmodlem  40028  lcdsbase  42476