Theorem opprbas 20263

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17158	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17235	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20262	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2752	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1540  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  opp_rcoppr 20256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-mulr 17210  df-oppr 20257

This theorem is referenced by:  opprrng  20265  opprrngb  20266  opprring  20267  opprringb  20268  oppr0  20269  oppr1  20270  opprneg  20271  opprsubg  20272  mulgass3  20273  1unit  20294  opprunit  20297  crngunit  20298  unitmulcl  20300  unitgrp  20303  unitnegcl  20317  unitpropd  20337  opprirred  20342  rhmopp  20429  elrhmunit  20430  opprsubrng  20479  subrguss  20507  subrgunit  20510  opprsubrg  20513  opprdomnb  20637  isdomn4r  20639  isdrng2  20663  opprdrng  20684  isdrngrd  20686  isdrngrdOLD  20688  fidomndrng  20693  issrngd  20775  rngridlmcl  21159  isridlrng  21161  isridl  21194  ridl1  21201  2idlcpblrng  21213  crngridl  21222  psropprmul  22155  invrvald  22596  ply1divalg2  26077  isunit2  33207  isdrng4  33261  crngmxidl  33433  opprabs  33446  oppreqg  33447  opprnsg  33448  opprlidlabs  33449  opprmxidlabs  33451  opprqusbas  33452  opprqusplusg  33453  opprqus0g  33454  opprqusmulr  33455  opprqus1r  33456  opprqusdrng  33457  qsdrngi  33459  qsdrng  33461  ldualsbase  39119  lduallmodlem  39138  lcdsbase  41587