Theorem opprbas 20291

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17151	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17228	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20290	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2760	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1542  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  opp_rcoppr 20284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-mulr 17203  df-oppr 20285

This theorem is referenced by:  opprrng  20293  opprrngb  20294  opprring  20295  opprringb  20296  oppr0  20297  oppr1  20298  opprneg  20299  opprsubg  20300  mulgass3  20301  1unit  20322  opprunit  20325  crngunit  20326  unitmulcl  20328  unitgrp  20331  unitnegcl  20345  unitpropd  20365  opprirred  20370  rhmopp  20454  elrhmunit  20455  opprsubrng  20504  subrguss  20532  subrgunit  20535  opprsubrg  20538  opprdomnb  20662  isdomn4r  20664  isdrng2  20688  opprdrng  20709  isdrngrd  20711  isdrngrdOLD  20713  fidomndrng  20718  issrngd  20800  rngridlmcl  21184  isridlrng  21186  isridl  21219  ridl1  21226  2idlcpblrng  21238  crngridl  21247  psropprmul  22190  invrvald  22632  ply1divalg2  26112  isunit2  33334  isdrng4  33389  crngmxidl  33562  opprabs  33575  oppreqg  33576  opprnsg  33577  opprlidlabs  33578  opprmxidlabs  33580  opprqusbas  33581  opprqusplusg  33582  opprqus0g  33583  opprqusmulr  33584  opprqus1r  33585  opprqusdrng  33586  qsdrngi  33588  qsdrng  33590  ldualsbase  39509  lduallmodlem  39528  lcdsbase  41976