Theorem opprbas 20228

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17123	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17200	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20227	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2752	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1540  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  opp_rcoppr 20221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-mulr 17175  df-oppr 20222

This theorem is referenced by:  opprrng  20230  opprrngb  20231  opprring  20232  opprringb  20233  oppr0  20234  oppr1  20235  opprneg  20236  opprsubg  20237  mulgass3  20238  1unit  20259  opprunit  20262  crngunit  20263  unitmulcl  20265  unitgrp  20268  unitnegcl  20282  unitpropd  20302  opprirred  20307  rhmopp  20394  elrhmunit  20395  opprsubrng  20444  subrguss  20472  subrgunit  20475  opprsubrg  20478  opprdomnb  20602  isdomn4r  20604  isdrng2  20628  opprdrng  20649  isdrngrd  20651  isdrngrdOLD  20653  fidomndrng  20658  issrngd  20740  rngridlmcl  21124  isridlrng  21126  isridl  21159  ridl1  21166  2idlcpblrng  21178  crngridl  21187  psropprmul  22120  invrvald  22561  ply1divalg2  26042  isunit2  33180  isdrng4  33234  crngmxidl  33406  opprabs  33419  oppreqg  33420  opprnsg  33421  opprlidlabs  33422  opprmxidlabs  33424  opprqusbas  33425  opprqusplusg  33426  opprqus0g  33427  opprqusmulr  33428  opprqus1r  33429  opprqusdrng  33430  qsdrngi  33432  qsdrng  33434  ldualsbase  39116  lduallmodlem  39135  lcdsbase  41583