Theorem opprbas 20585

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17402	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17479	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20584	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2786	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  opp_rcoppr 20578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-mulr 17454  df-oppr 20579

This theorem is used by:  opprrng  20587  opprrngb  20588  opprring  20589  opprringb  20590  oppr0  20591  oppr1  20592  opprneg  20593  opprsubg  20594  mulgass3  20595  1unit  20616  opprunit  20619  crngunit  20620  unitmulcl  20622  unitgrp  20625  unitnegcl  20639  unitpropd  20659  opprirred  20664  rhmopp  20771  elrhmunit  20772  opprsubrng  20823  subrguss  20851  subrgunit  20854  opprsubrg  20857  opprdomnb  20980  isdomn4r  20982  isdrng4  21004  isdrng2  21009  opprdrng  21033  isdrngrd  21035  isdrngrdOLD  21037  fidomndrng  21043  issrngd  21124  rngridlmcl  21508  isridlrng  21510  isridl  21557  ridl1  21565  2idlcpblrng  21577  crngridl  21587  psropprmul  22567  invrvald  23003  ply1divalg2  26469  isunit2  33853  crngmxidl  34047  opprabs  34059  oppreqg  34060  opprnsg  34061  opprlidlabs  34062  opprmxidlabs  34064  opprqusbas  34065  opprqusplusg  34066  opprqus0g  34067  opprqusmulr  34068  opprqus1r  34069  opprqusdrng  34070  qsdrngi  34072  qsdrng  34074  ldualsbase  40330  lduallmodlem  40349  lcdsbase  42797