Theorem opprbas 20109

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17129	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17222	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20107	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2759	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1541  ‘cfv 6532  Basecbs 17126  opp_rcoppr 20101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-mulr 17193  df-oppr 20102

This theorem is referenced by:  opprring  20113  opprringb  20114  oppr0  20115  oppr1  20116  opprneg  20117  opprsubg  20118  mulgass3  20119  1unit  20140  opprunit  20143  crngunit  20144  unitmulcl  20146  unitgrp  20149  unitnegcl  20163  unitpropd  20181  opprirred  20186  rhmopp  20238  elrhmunit  20239  opprnzr  20249  isdrng2  20278  opprdrng  20296  isdrngrd  20298  isdrngrdOLD  20300  subrguss  20327  subrgunit  20330  opprsubrg  20333  issrngd  20418  2idlcpbl  20807  crngridl  20812  opprdomn  20853  fidomndrng  20860  psropprmul  21691  invrvald  22107  ply1divalg2  25585  isdrng4  32257  crngmxidl  32436  opprabs  32442  oppreqg  32443  opprnsg  32444  opprlidlabs  32445  opprmxidlabs  32447  opprqusbas  32448  opprqusplusg  32449  opprqus0g  32450  opprqusmulr  32451  opprqus1r  32452  opprqusdrng  32453  qsdrngi  32455  qsdrng  32457  ldualsbase  37808  lduallmodlem  37827  lcdsbase  40276