Theorem opprbas 19464

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		df-base 16561	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
4		1nn 11698	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		1lt3 11860	. . 3 ⊢ 1 < 3
6	2, 3, 4, 5	opprlem 19463	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
7	1, 6	eqtri 2781	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1538  ‘cfv 6340  1c1 10589  Basecbs 16555  opp_rcoppr 19457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-mulr 16651  df-oppr 19458

This theorem is referenced by:  opprring  19466  opprringb  19467  oppr0  19468  oppr1  19469  opprneg  19470  opprsubg  19471  mulgass3  19472  1unit  19493  opprunit  19496  crngunit  19497  unitmulcl  19499  unitgrp  19502  unitnegcl  19516  unitpropd  19532  opprirred  19537  isdrng2  19594  opprdrng  19608  isdrngrd  19610  subrguss  19632  subrgunit  19635  opprsubrg  19638  issrngd  19714  2idlcpbl  20089  crngridl  20093  opprnzr  20120  opprdomn  20156  fidomndrng  20162  psropprmul  20976  invrvald  21390  ply1divalg2  24852  rhmopp  31057  elrhmunit  31058  ldualsbase  36744  lduallmodlem  36763  lcdsbase  39211