Theorem opprbas 20317

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17176	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17253	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20316	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2760	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1542  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  opp_rcoppr 20310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-mulr 17228  df-oppr 20311

This theorem is referenced by:  opprrng  20319  opprrngb  20320  opprring  20321  opprringb  20322  oppr0  20323  oppr1  20324  opprneg  20325  opprsubg  20326  mulgass3  20327  1unit  20348  opprunit  20351  crngunit  20352  unitmulcl  20354  unitgrp  20357  unitnegcl  20371  unitpropd  20391  opprirred  20396  rhmopp  20480  elrhmunit  20481  opprsubrng  20530  subrguss  20558  subrgunit  20561  opprsubrg  20564  opprdomnb  20688  isdomn4r  20690  isdrng2  20714  opprdrng  20735  isdrngrd  20737  isdrngrdOLD  20739  fidomndrng  20744  issrngd  20826  rngridlmcl  21210  isridlrng  21212  isridl  21245  ridl1  21252  2idlcpblrng  21264  crngridl  21273  psropprmul  22214  invrvald  22654  ply1divalg2  26117  isunit2  33319  isdrng4  33374  crngmxidl  33547  opprabs  33560  oppreqg  33561  opprnsg  33562  opprlidlabs  33563  opprmxidlabs  33565  opprqusbas  33566  opprqusplusg  33567  opprqus0g  33568  opprqusmulr  33569  opprqus1r  33570  opprqusdrng  33571  qsdrngi  33573  qsdrng  33575  ldualsbase  39596  lduallmodlem  39615  lcdsbase  42063