Theorem opprlemOLD 20156

Description: Obsolete version of opprlem 20155 as of 6-Nov-2024. Lemma for opprbas 20157 and oppradd 20159. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17130	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12221	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlemOLD.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 11327	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 17129	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 17238	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17142	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 20151	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6895	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2764	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  tpos ctpos 8210   < clt 11248  ℕcn 12212  3c3 12268   sSet csts 17096  Slot cslot 17114  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  ._rcmulr 17198  opp_rcoppr 20149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-mulr 17211  df-oppr 20150

This theorem is referenced by:  opprbasOLD  20158  oppraddOLD  20160