Theorem opprlemOLD 20366

Description: Obsolete version of opprlem 20365 as of 6-Nov-2024. Lemma for opprbas 20367 and oppradd 20369. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17244	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12302	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlemOLD.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 11403	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 17243	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 17352	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3013	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17256	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 20361	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6923	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2771	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  tpos ctpos 8266   < clt 11324  ℕcn 12293  3c3 12349   sSet csts 17210  Slot cslot 17228  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  opp_rcoppr 20359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-mulr 17325  df-oppr 20360

This theorem is referenced by:  opprbasOLD  20368  oppraddOLD  20370