Theorem opprlemOLD 19758

Description: Obsolete version of opprlem 19757 as of 6-Nov-2024. Lemma for opprbas 19759 and oppradd 19761. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16801	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 11887	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlemOLD.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 10993	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 16800	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 16904	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3010	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 16813	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 19753	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6756	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2770	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  tpos ctpos 8009   < clt 10915  ℕcn 11878  3c3 11934   sSet csts 16767  Slot cslot 16785  ndxcnx 16797  Basecbs 16815  ._rcmulr 16864  opp_rcoppr 19751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-tpos 8010  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-ltxr 10920  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-mulr 16877  df-oppr 19752

This theorem is referenced by:  opprbasOLD  19760  oppraddOLD  19762