MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprlemOLD 20357
Description: Obsolete version of opprlem 20356 as of 6-Nov-2024. Lemma for opprbas 20358 and oppradd 20360. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
opprlemOLD.2 𝐸 = Slot 𝑁
opprlemOLD.3 𝑁 ∈ ℕ
opprlemOLD.4 𝑁 < 3
Assertion
Ref Expression
opprlemOLD (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)

Proof of Theorem opprlemOLD
StepHypRef Expression
1 opprlemOLD.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 opprlemOLD.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 17231 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
42nnrei 12273 . . . . 5 𝑁 ∈ ℝ
5 opprlemOLD.4 . . . . 5 𝑁 < 3
64, 5ltneii 11372 . . . 4 𝑁 ≠ 3
71, 2ndxarg 17230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
8 mulrndx 17339 . . . . 5 (.r‘ndx) = 3
97, 8neeq12i 3005 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
106, 9mpbir 231 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
113, 10setsnid 17243 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩))
12 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2735 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
14 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
1512, 13, 14opprval 20352 . . 3 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩)
1615fveq2i 6910 . 2 (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩))
1711, 16eqtr4i 2766 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cop 4637   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8249   < clt 11293  cn 12264  3c3 12320   sSet csts 17197  Slot cslot 17215  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  opprcoppr 20350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-mulr 17312  df-oppr 20351
This theorem is referenced by:  opprbasOLD  20359  oppraddOLD  20361
  Copyright terms: Public domain W3C validator