Theorem opprlemOLD 20340

Description: Obsolete version of opprlem 20339 as of 6-Nov-2024. Lemma for opprbas 20341 and oppradd 20343. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17234	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12275	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlemOLD.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 11374	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 17233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 17337	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17245	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 20335	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2768	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8250   < clt 11295  ℕcn 12266  3c3 12322   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  opp_rcoppr 20333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-mulr 17311  df-oppr 20334

This theorem is referenced by:  opprbasOLD  20342  oppraddOLD  20344