Theorem opprlemOLD 19962

Description: Obsolete version of opprlem 19961 as of 6-Nov-2024. Lemma for opprbas 19963 and oppradd 19965. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16995	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12087	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlemOLD.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 11193	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 16994	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 17100	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17007	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 19957	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6832	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2768	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ⟨cop 4583   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  tpos ctpos 8115   < clt 11114  ℕcn 12078  3c3 12134   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  Basecbs 17009  ._rcmulr 17060  opp_rcoppr 19955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-tpos 8116  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-ltxr 11119  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-mulr 17073  df-oppr 19956

This theorem is referenced by:  opprbasOLD  19964  oppraddOLD  19966