MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprlemOLD 20063
Description: Obsolete version of opprlem 20062 as of 6-Nov-2024. Lemma for opprbas 20064 and oppradd 20066. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
opprlemOLD.2 𝐸 = Slot 𝑁
opprlemOLD.3 𝑁 ∈ β„•
opprlemOLD.4 𝑁 < 3
Assertion
Ref Expression
opprlemOLD (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘‚)

Proof of Theorem opprlemOLD
StepHypRef Expression
1 opprlemOLD.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 opprlemOLD.3 . . . 4 𝑁 ∈ β„•
31, 2ndxid 17077 . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
42nnrei 12170 . . . . 5 𝑁 ∈ ℝ
5 opprlemOLD.4 . . . . 5 𝑁 < 3
64, 5ltneii 11276 . . . 4 𝑁 β‰  3
71, 2ndxarg 17076 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) = 𝑁
8 mulrndx 17182 . . . . 5 (.rβ€˜ndx) = 3
97, 8neeq12i 3007 . . . 4 ((πΈβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx) ↔ 𝑁 β‰  3)
106, 9mpbir 230 . . 3 (πΈβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
113, 10setsnid 17089 . 2 (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜(𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩))
12 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 eqid 2733 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
14 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
1512, 13, 14opprval 20058 . . 3 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩)
1615fveq2i 6849 . 2 (πΈβ€˜π‘‚) = (πΈβ€˜(𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩))
1711, 16eqtr4i 2764 1 (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  tpos ctpos 8160   < clt 11197  β„•cn 12161  3c3 12217   sSet csts 17043  Slot cslot 17061  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  opprcoppr 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-mulr 17155  df-oppr 20057
This theorem is referenced by:  opprbasOLD  20065  oppraddOLD  20067
  Copyright terms: Public domain W3C validator