Theorem oppradd 20574

Description: Addition operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppradd.2	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppradd	⊢ + = (+g‘𝑂)

Proof of Theorem oppradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppradd.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		plusgid 17455	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		plusgndxnmulrndx 17468	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20572	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2784	1 ⊢ + = (+g‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ‘cfv 6538  +_gcplusg 17428  opp_rcoppr 20566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-oppr 20567

This theorem is used by:  opprrng  20575  opprrngb  20576  opprringb  20578  oppr0  20579  opprneg  20581  opprsubg  20582  mulgass3  20583  rhmopp  20759  srngadd  21108  issrngd  21112  crngridl  21575  psropprmul  22555  ply1divalg2  26457  oppreqg  34007  opprnsg  34008  opprlidlabs  34009  opprqusplusg  34013  opprqus0g  34014  ldualsaddN  40191  lduallmodlem  40209  lcdsadd  42658