Theorem ordtri2 6226

Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem ordtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 6220	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
2		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
3	2	orbi2i 913	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
4		orcom 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	3, 4	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
6	1, 5	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
7		ordtri1 6224	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
8	6, 7	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	ancoms 462	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	con2bid 358	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  Ord word 6190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-11 2160  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5147  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-ord 6194

This theorem is referenced by:  ordtri3  6227  ord0eln0  6245  oaord  8253  omord2  8273  oeord  8294  nnaord  8325  nnmord  8338  noextenddif  33557