Theorem ordtri2 6345

Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem ordtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 6339	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
2		eqcom 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
3	2	orbi2i 918	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
4		orcom 876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	3, 4	bitri 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
6	1, 5	bitrdi 288	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
7		ordtri1 6343	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
8	6, 7	bitr3d 282	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	ancoms 459	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	con2bid 355	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  Ord word 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313

This theorem is referenced by:  ordtri3  6346  ord0eln0  6366  ord1eln01  8421  ord2eln012  8422  oaord  8472  omord2  8492  oeord  8514  nnaord  8545  nnmord  8558  noextenddif  27650