MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri2 5901
Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordtri2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ordtri2
StepHypRef Expression
1 ordsseleq 5895 . . . . 5 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2 eqcom 2778 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
32orbi2i 896 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
4 orcom 857 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
53, 4bitri 264 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
61, 5syl6bb 276 . . . 4 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
7 ordtri1 5899 . . . 4 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
86, 7bitr3d 270 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ((𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
98ancoms 455 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
109con2bid 343 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 834   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  Ord word 5865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-ord 5869
This theorem is referenced by:  ordtri3  5902  ord0eln0  5922  oaord  7781  omord2  7801  oeord  7822  nnaord  7853  nnmord  7866  noextenddif  32158
  Copyright terms: Public domain W3C validator