Theorem ordtri2 6396

Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem ordtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 6390	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
2		eqcom 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
3	2	orbi2i 925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
4		orcom 883	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	3, 4	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
6	1, 5	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
7		ordtri1 6394	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
8	6, 7	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	ancoms 463	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	con2bid 357	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  Ord word 6359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-ord 6363

This theorem is used by:  ordtri3  6397  ord0eln0  6417  ord1eln01  8479  ord2eln012  8480  oaord  8530  omord2  8550  oeord  8572  nnaord  8603  nnmord  8616  noextenddif  27843