MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri2 6411
Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordtri2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ordtri2
StepHypRef Expression
1 ordsseleq 6405 . . . . 5 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2 eqcom 2733 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
32orbi2i 910 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
4 orcom 868 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
53, 4bitri 274 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
61, 5bitrdi 286 . . . 4 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
7 ordtri1 6409 . . . 4 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
86, 7bitr3d 280 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ((𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
98ancoms 457 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
109con2bid 353 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  Ord word 6375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-tr 5271  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6379
This theorem is referenced by:  ordtri3  6412  ord0eln0  6431  ord1eln01  8526  ord2eln012  8527  oaord  8577  omord2  8597  oeord  8618  nnaord  8649  nnmord  8662  noextenddif  27698
  Copyright terms: Public domain W3C validator