MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri2 6352
Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordtri2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ordtri2
StepHypRef Expression
1 ordsseleq 6346 . . . . 5 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2 eqcom 2743 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
32orbi2i 911 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
4 orcom 868 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
53, 4bitri 274 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
61, 5bitrdi 286 . . . 4 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
7 ordtri1 6350 . . . 4 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
86, 7bitr3d 280 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ((𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
98ancoms 459 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
109con2bid 354 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  Ord word 6316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-ord 6320
This theorem is referenced by:  ordtri3  6353  ord0eln0  6372  ord1eln01  8441  ord2eln012  8442  oaord  8493  omord2  8513  oeord  8534  nnaord  8565  nnmord  8578  noextenddif  27014
  Copyright terms: Public domain W3C validator