Theorem ordtri2 6424

Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem ordtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 6418	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
2		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
3	2	orbi2i 926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
4		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	3, 4	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
6	1, 5	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
7		ordtri1 6422	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
8	6, 7	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	ancoms 464	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	con2bid 357	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  Ord word 6387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391

This theorem is used by:  ordtri3  6425  ord0eln0  6445  ord1eln01  8542  ord2eln012  8543  oaord  8593  omord2  8613  oeord  8635  nnaord  8666  nnmord  8679  noextenddif  28082