Theorem cfslbn 10189

Description: Any subset of 𝐴 smaller than its cofinality has union less than 𝐴. (This is the contrapositive to cfslb 10188.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cfslb.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cfslbn	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)) → ∪ 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cfslbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
2		limuni 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 = ∪ 𝐴)
3	2	sseq2d 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝐴 → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴))
4	1, 3	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5	4	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		limord 6384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7		ordsson 7737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
9		sstr2 3928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ On → 𝐵 ⊆ On))
10	8, 9	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ⊆ On))
11		ssorduni 7733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ On → Ord ∪ 𝐵)
12	10, 11	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → Ord ∪ 𝐵))
13	12, 6	jctird 526	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (Ord ∪ 𝐵 ∧ Ord 𝐴)))
14		ordsseleq 6352	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ∪ 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ∪ 𝐵 = 𝐴)))
15	13, 14	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ∪ 𝐵 = 𝐴))))
16	15	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ∪ 𝐵 = 𝐴)))
17	5, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ∪ 𝐵 = 𝐴))
18	17	ord 865	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ ∪ 𝐵 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐵 = 𝐴))
19		cfslb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
20	19	cfslb 10188	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∪ 𝐵 = 𝐴) → (cf‘𝐴) ≼ 𝐵)
21		domnsym 9041	. . . . . 6 ⊢ ((cf‘𝐴) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∪ 𝐵 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴))
23	22	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)))
24	18, 23	syld 47	. . 3 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ ∪ 𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)))
25	24	con4d 115	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ≺ (cf‘𝐴) → ∪ 𝐵 ∈ 𝐴))
26	25	3impia 1118	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)) → ∪ 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085  Ord word 6322  Oncon0 6323  Lim wlim 6324  ‘cfv 6498   ≼ cdom 8891   ≺ csdm 8892  cfccf 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-card 9863  df-cf 9865

This theorem is referenced by:  cfslb2n  10190