MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfslbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfslbn 9377
Description: Any subset of 𝐴 smaller than its cofinality has union less than 𝐴. (This is the contrapositive to cfslb 9376.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfslb.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
cfslbn ((Lim 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≺ (cf‘𝐴)) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem cfslbn
StepHypRef Expression
1 uniss 4651 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 𝐵 𝐴)
2 limuni 6001 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴𝐴 = 𝐴)
32sseq2d 3829 . . . . . . . 8 (Lim 𝐴 → ( 𝐵𝐴 𝐵 𝐴))
41, 3syl5ibr 238 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 𝐵𝐴))
54imp 396 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 limord 6000 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7 ordsson 7223 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (Lim 𝐴𝐴 ⊆ On)
9 sstr2 3805 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 → (𝐴 ⊆ On → 𝐵 ⊆ On))
108, 9syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ On))
11 ssorduni 7219 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ On → Ord 𝐵)
1210, 11syl6 35 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 → Ord 𝐵))
1312, 6jctird 523 . . . . . . . 8 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)))
14 ordsseleq 5970 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → ( 𝐵𝐴 ↔ ( 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴)))
1513, 14syl6 35 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 → ( 𝐵𝐴 ↔ ( 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴))))
1615imp 396 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵𝐴 ↔ ( 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴)))
175, 16mpbid 224 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴))
1817ord 891 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (¬ 𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴))
19 cfslb.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
2019cfslb 9376 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴) → (cf‘𝐴) ≼ 𝐵)
21 domnsym 8328 . . . . . 6 ((cf‘𝐴) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 𝐵 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴))
23223expia 1151 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)))
2418, 23syld 47 . . 3 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)))
2524con4d 115 . 2 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ≺ (cf‘𝐴) → 𝐵𝐴))
26253impia 1146 1 ((Lim 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≺ (cf‘𝐴)) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  wss 3769   cuni 4628   class class class wbr 4843  Ord word 5940  Oncon0 5941  Lim wlim 5942  cfv 6101  cdom 8193  csdm 8194  cfccf 9049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-card 9051  df-cf 9053
This theorem is referenced by:  cfslb2n  9378
  Copyright terms: Public domain W3C validator