Theorem cfslbn 10181

Description: Any subset of 𝐴 smaller than its cofinality has union less than 𝐴. (This is the contrapositive to cfslb 10180.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cfslb.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cfslbn	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)) → ∪ 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cfslbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
2		limuni 6380	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 = ∪ 𝐴)
3	2	sseq2d 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝐴 → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴))
4	1, 3	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5	4	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		limord 6379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7		ordsson 7730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
9		sstr2 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ On → 𝐵 ⊆ On))
10	8, 9	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ⊆ On))
11		ssorduni 7726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ On → Ord ∪ 𝐵)
12	10, 11	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → Ord ∪ 𝐵))
13	12, 6	jctird 526	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (Ord ∪ 𝐵 ∧ Ord 𝐴)))
14		ordsseleq 6347	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ∪ 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ∪ 𝐵 = 𝐴)))
15	13, 14	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ∪ 𝐵 = 𝐴))))
16	15	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ∪ 𝐵 = 𝐴)))
17	5, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ∪ 𝐵 = 𝐴))
18	17	ord 865	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ ∪ 𝐵 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐵 = 𝐴))
19		cfslb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
20	19	cfslb 10180	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∪ 𝐵 = 𝐴) → (cf‘𝐴) ≼ 𝐵)
21		domnsym 9035	. . . . . 6 ⊢ ((cf‘𝐴) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∪ 𝐵 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴))
23	22	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)))
24	18, 23	syld 47	. . 3 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ ∪ 𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)))
25	24	con4d 115	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ≺ (cf‘𝐴) → ∪ 𝐵 ∈ 𝐴))
26	25	3impia 1118	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ (cf‘𝐴)) → ∪ 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099  Ord word 6317  Oncon0 6318  Lim wlim 6319  ‘cfv 6493   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886  cfccf 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-card 9855  df-cf 9857

This theorem is referenced by:  cfslb2n  10182