Theorem prstcnidlem 48254

Description: Lemma for prstcnid 48255 and prstchomval 48263. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcnid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
prstcnid.no	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
prstcnidlem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))

Proof of Theorem prstcnidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3	1, 2	prstcval 48253	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
4	3	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩)))
5		prstcnid.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		prstcnid.no	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	5, 6	setsnid 17181	. 2 ⊢ (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)) = (𝐸‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
8	4, 7	eqtr4di 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∅c0 4322  {csn 4630  ⟨cop 4636   × cxp 5676  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  1_oc1o 8480   sSet csts 17135  Slot cslot 17153  ndxcnx 17165  lecple 17243  Hom chom 17247  compcco 17248   Proset cproset 18288  ProsetToCatcprstc 48251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-res 5690  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-sets 17136  df-slot 17154  df-prstc 48252

This theorem is referenced by:  prstcnid  48255  prstchomval  48263