Theorem prstcnidlem 50042

Description: Lemma for prstcnid 50043 and prstchomval 50049. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcnid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
prstcnid.no	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
prstcnidlem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))

Proof of Theorem prstcnidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3	1, 2	prstcval 50041	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
4	3	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩)))
5		prstcnid.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		prstcnid.no	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	5, 6	setsnid 17172	. 2 ⊢ (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)) = (𝐸‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
8	4, 7	eqtr4di 2790	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1_oc1o 8392   sSet csts 17127  Slot cslot 17145  ndxcnx 17157  lecple 17221  Hom chom 17225  compcco 17226   Proset cproset 18252  ProsetToCatcprstc 50039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-res 5637  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-sets 17128  df-slot 17146  df-prstc 50040

This theorem is referenced by:  prstcnid  50043  prstchomval  50049