Theorem prstcnidlem 50215

Description: Lemma for prstcnid 50216 and prstchomval 50222. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcnid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
prstcnid.no	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
prstcnidlem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))

Proof of Theorem prstcnidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3	1, 2	prstcval 50214	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
4	3	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩)))
5		prstcnid.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		prstcnid.no	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	5, 6	setsnid 17268	. 2 ⊢ (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)) = (𝐸‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
8	4, 7	eqtr4di 2822	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  {csn 4594  ⟨cop 4600   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1_oc1o 8446   sSet csts 17223  Slot cslot 17241  ndxcnx 17253  lecple 17317  Hom chom 17321  compcco 17322   Proset cproset 18348  ProsetToCatcprstc 50212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-res 5674  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-sets 17224  df-slot 17242  df-prstc 50213

This theorem is referenced by:  prstcnid  50216  prstchomval  50222