Theorem prstchomval 49297

Description: Hom-sets of the constructed category which depend on an arbitrary definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchomval.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchomval	⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Proof of Theorem prstchomval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		homid 17413	. . 3 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
4		slotsbhcdif 17416	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
5	4	simp3i 1141	. . 3 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	prstcnidlem 49290	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
7		fvex 6886	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) ∈ V
8		snex 5404	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
9	7, 8	xpex 7742	. . 3 ⊢ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V
10	3	setsid 17213	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V) → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
11	2, 9, 10	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
12		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
13	1, 2, 12	prstcleval 49293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
14		prstchomval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
15	13, 14	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = ≤ )
16	15	xpeq1d 5681	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = ( ≤ × {1o}))
17	6, 11, 16	3eqtr2rd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3457  {csn 4599  ⟨cop 4605   × cxp 5650  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  1_oc1o 8468   sSet csts 17169  ndxcnx 17199  Basecbs 17215  lecple 17265  Hom chom 17269  compcco 17270   Proset cproset 18291  ProsetToCatcprstc 49287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ple 17278  df-hom 17282  df-cco 17283  df-prstc 49288

This theorem is referenced by:  prstcthin  49299  prstchom  49300  prstchom2ALT  49302