Theorem prstchomval 50046

Description: Hom-sets of the constructed category which depend on an arbitrary definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchomval.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchomval	⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Proof of Theorem prstchomval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		homid 17366	. . 3 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
4		slotsbhcdif 17369	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
5	4	simp3i 1142	. . 3 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	prstcnidlem 50039	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
7		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) ∈ V
8		snex 5376	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
9	7, 8	xpex 7700	. . 3 ⊢ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V
10	3	setsid 17168	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V) → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
11	2, 9, 10	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
12		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
13	1, 2, 12	prstcleval 50042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
14		prstchomval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
15	13, 14	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = ≤ )
16	15	xpeq1d 5653	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = ( ≤ × {1o}))
17	6, 11, 16	3eqtr2rd 2779	1 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  {csn 4568  ⟨cop 4574   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1_oc1o 8391   sSet csts 17124  ndxcnx 17154  Basecbs 17170  lecple 17218  Hom chom 17222  compcco 17223   Proset cproset 18249  ProsetToCatcprstc 50036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ple 17231  df-hom 17235  df-cco 17236  df-prstc 50037

This theorem is referenced by:  prstcthin  50048  prstchom  50049  prstchom2ALT  50051