Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prstchomval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prstchomval 47184
Description: Hom-sets of the constructed category which depend on an arbitrary definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
prstcnid.c (𝜑𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k (𝜑𝐾 ∈ Proset )
prstchomval.l (𝜑 = (le‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
prstchomval (𝜑 → ( × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Proof of Theorem prstchomval
StepHypRef Expression
1 prstcnid.c . . 3 (𝜑𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2 prstcnid.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Proset )
3 homid 17301 . . 3 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
4 slotsbhcdif 17304 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
54simp3i 1142 . . 3 (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
61, 2, 3, 5prstcnidlem 47175 . 2 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
7 fvex 6859 . . . 4 (le‘𝐾) ∈ V
8 snex 5392 . . . 4 {1o} ∈ V
97, 8xpex 7691 . . 3 ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V
103setsid 17088 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V) → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
112, 9, 10sylancl 587 . 2 (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
12 eqidd 2733 . . . . 5 (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
131, 2, 12prstcleval 47178 . . . 4 (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
14 prstchomval.l . . . 4 (𝜑 = (le‘𝐶))
1513, 14eqtr4d 2775 . . 3 (𝜑 → (le‘𝐾) = )
1615xpeq1d 5666 . 2 (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = ( × {1o}))
176, 11, 163eqtr2rd 2779 1 (𝜑 → ( × {1o}) = (Hom ‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3447  {csn 4590  cop 4596   × cxp 5635  cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   sSet csts 17043  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  lecple 17148  Hom chom 17152  compcco 17153   Proset cproset 18190  ProsetToCatcprstc 47172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ple 17161  df-hom 17165  df-cco 17166  df-prstc 47173
This theorem is referenced by:  prstcthin  47186  prstchom  47187  prstchom2ALT  47189
  Copyright terms: Public domain W3C validator