Theorem prstchomval 48795

Description: Hom-sets of the constructed category which depend on an arbitrary definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchomval.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchomval	⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Proof of Theorem prstchomval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		homid 17447	. . 3 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
4		slotsbhcdif 17450	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
5	4	simp3i 1139	. . 3 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	prstcnidlem 48786	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
7		fvex 6914	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) ∈ V
8		snex 5434	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
9	7, 8	xpex 7765	. . 3 ⊢ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V
10	3	setsid 17231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V) → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
11	2, 9, 10	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
12		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
13	1, 2, 12	prstcleval 48789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
14		prstchomval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
15	13, 14	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = ≤ )
16	15	xpeq1d 5712	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = ( ≤ × {1o}))
17	6, 11, 16	3eqtr2rd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2936  Vcvv 3477  {csn 4630  ⟨cop 4636   × cxp 5681  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425  1_oc1o 8492   sSet csts 17186  ndxcnx 17216  Basecbs 17234  lecple 17294  Hom chom 17298  compcco 17299   Proset cproset 18339  ProsetToCatcprstc 48783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ple 17307  df-hom 17311  df-cco 17312  df-prstc 48784

This theorem is referenced by:  prstcthin  48797  prstchom  48798  prstchom2ALT  48800