Theorem prstchomval 48731

Description: Hom-sets of the constructed category which depend on an arbitrary definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchomval.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchomval	⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Proof of Theorem prstchomval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		homid 17465	. . 3 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
4		slotsbhcdif 17468	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
5	4	simp3i 1141	. . 3 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	prstcnidlem 48722	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
7		fvex 6928	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) ∈ V
8		snex 5451	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
9	7, 8	xpex 7782	. . 3 ⊢ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V
10	3	setsid 17249	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V) → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
11	2, 9, 10	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
12		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
13	1, 2, 12	prstcleval 48725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
14		prstchomval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
15	13, 14	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = ≤ )
16	15	xpeq1d 5724	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = ( ≤ × {1o}))
17	6, 11, 16	3eqtr2rd 2787	1 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488  {csn 4648  ⟨cop 4654   × cxp 5693  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443  1_oc1o 8509   sSet csts 17204  ndxcnx 17234  Basecbs 17252  lecple 17312  Hom chom 17316  compcco 17317   Proset cproset 18357  ProsetToCatcprstc 48719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-er 8757  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-9 12357  df-n0 12548  df-z 12634  df-dec 12753  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ple 17325  df-hom 17329  df-cco 17330  df-prstc 48720

This theorem is referenced by:  prstcthin  48733  prstchom  48734  prstchom2ALT  48736