Theorem prstchomval 49136

Description: Hom-sets of the constructed category which depend on an arbitrary definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchomval.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchomval	⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Proof of Theorem prstchomval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		homid 17452	. . 3 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
4		slotsbhcdif 17455	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
5	4	simp3i 1142	. . 3 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
6	1, 2, 3, 5	prstcnidlem 49127	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
7		fvex 6917	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) ∈ V
8		snex 5434	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
9	7, 8	xpex 7769	. . 3 ⊢ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V
10	3	setsid 17240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ ((le‘𝐾) × {1o}) ∈ V) → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
11	2, 9, 10	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = (Hom ‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
12		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
13	1, 2, 12	prstcleval 49130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
14		prstchomval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
15	13, 14	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = ≤ )
16	15	xpeq1d 5712	. 2 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐾) × {1o}) = ( ≤ × {1o}))
17	6, 11, 16	3eqtr2rd 2783	1 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939  Vcvv 3479  {csn 4624  ⟨cop 4630   × cxp 5681  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  1_oc1o 8495   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  Basecbs 17243  lecple 17300  Hom chom 17304  compcco 17305   Proset cproset 18334  ProsetToCatcprstc 49124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ple 17313  df-hom 17317  df-cco 17318  df-prstc 49125

This theorem is referenced by:  prstcthin  49138  prstchom  49139  prstchom2ALT  49141