Theorem prstcnid 50830

Description: Components other than Hom and comp are unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcnid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
prstcnid.no	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
prstcnid.nh	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
prstcnid	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘𝐶))

Proof of Theorem prstcnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		prstcnid.nh	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17398	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩))
4		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
5		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
6		prstcnid.no	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	4, 5, 1, 6	prstcnidlem 50829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
8	3, 7	eqtr4id 2817	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  {csn 4587  ⟨cop 4837   × cxp 5652  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1_oc1o 8480   sSet csts 17353  Slot cslot 17371  ndxcnx 17383  lecple 17447  Hom chom 17451  compcco 17452   Proset cproset 18478  ProsetToCatcprstc 50826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-res 5666  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-sets 17354  df-slot 17372  df-prstc 50827

This theorem is used by:  prstcbas  50831  prstcleval  50832  prstcocval  50834