Theorem prstcnid 49664

Description: Components other than Hom and comp are unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcnid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
prstcnid.no	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
prstcnid.nh	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
prstcnid	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘𝐶))

Proof of Theorem prstcnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		prstcnid.nh	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17119	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩))
4		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
5		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
6		prstcnid.no	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	4, 5, 1, 6	prstcnidlem 49663	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
8	3, 7	eqtr4id 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {csn 4573  ⟨cop 4579   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378   sSet csts 17074  Slot cslot 17092  ndxcnx 17104  lecple 17168  Hom chom 17172  compcco 17173   Proset cproset 18198  ProsetToCatcprstc 49660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-res 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-sets 17075  df-slot 17093  df-prstc 49661

This theorem is referenced by:  prstcbas  49665  prstcleval  49666  prstcocval  49668