Theorem prstcnid 48733

Description: Components other than Hom and comp are unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcnid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
prstcnid.no	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
prstcnid.nh	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
prstcnid	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘𝐶))

Proof of Theorem prstcnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		prstcnid.nh	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17256	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩))
4		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
5		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
6		prstcnid.no	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	4, 5, 1, 6	prstcnidlem 48732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩)))
8	3, 7	eqtr4id 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝐸‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {csn 4648  ⟨cop 4654   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515   sSet csts 17210  Slot cslot 17228  ndxcnx 17240  lecple 17318  Hom chom 17322  compcco 17323   Proset cproset 18363  ProsetToCatcprstc 48729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-res 5712  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-sets 17211  df-slot 17229  df-prstc 48730

This theorem is referenced by:  prstcbas  48734  prstcleval  48735  prstclevalOLD  48736  prstcocval  48738  prstcocvalOLD  48739