Theorem reuen1 8968

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reuen1	⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem reuen1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reusn 4672	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑦})
2		en1 8966	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≈ 1o ↔ ∃𝑦{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑦})
3	1, 2	bitr4i 278	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∃wex 1781  ∃!wreu 3341  {crab 3390  {csn 4568   class class class wbr 5086  1_oc1o 8393   ≈ cen 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-1o 8400  df-en 8889

This theorem is referenced by:  euen1  8969  isppw  27095