Theorem euen1 9023

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
euen1	⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Proof of Theorem euen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuen1 9022	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o)
2		reuv 3493	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ ∃!𝑥𝜑)
3		rabab 3495	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ 𝜑}
4	3	breq1i 5146	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)
5	1, 2, 4	3bitr3i 301	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∃!weu 2554  {cab 2701  ∃!wreu 3366  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5139  1_oc1o 8455   ≈ cen 8933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-1o 8462  df-en 8937

This theorem is referenced by:  euen1b  9024  modom  9241