MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  euen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem euen1 9068
Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
euen1 (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1o)

Proof of Theorem euen1
StepHypRef Expression
1 reuen1 9067 . 2 (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o)
2 reuv 3509 . 2 (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ ∃!𝑥𝜑)
3 rabab 3511 . . 3 {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} = {𝑥𝜑}
43breq1i 5149 . 2 ({𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1o)
51, 2, 43bitr3i 301 1 (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  ∃!weu 2567  {cab 2713  ∃!wreu 3377  {crab 3435  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  1oc1o 8500  cen 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-1o 8507  df-en 8987
This theorem is referenced by:  euen1b  9069  modom  9281
  Copyright terms: Public domain W3C validator