Theorem euen1 8770

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
euen1	⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Proof of Theorem euen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuen1 8769	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o)
2		reuv 3448	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ ∃!𝑥𝜑)
3		rabab 3450	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ 𝜑}
4	3	breq1i 5077	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)
5	1, 2, 4	3bitr3i 300	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∃!weu 2568  {cab 2715  ∃!wreu 3065  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-1o 8267  df-en 8692

This theorem is referenced by:  euen1b  8771  modom  8953