Theorem euen1 9050

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
euen1	⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Proof of Theorem euen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuen1 9049	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o)
2		reuv 3498	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ ∃!𝑥𝜑)
3		rabab 3500	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ 𝜑}
4	3	breq1i 5155	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)
5	1, 2, 4	3bitr3i 301	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∃!weu 2558  {cab 2705  ∃!wreu 3371  {crab 3429  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  1_oc1o 8479   ≈ cen 8960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-1o 8486  df-en 8964

This theorem is referenced by:  euen1b  9051  modom  9268