Theorem isppw 27166

Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isppw	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isppw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}
2	1	vmaval 27165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0))
3	2	neeq1d 3015	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
4		reuen1 9001	. . 3 ⊢ (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o)
5		hash1 14411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘1o) = 1
6	5	eqeq2i 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
7		prmdvdsfi 27159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
8		1onn 8604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
9		nnfi 9130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ Fin
11		hashen 14354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
12	7, 10, 11	sylancl 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
13	6, 12	bitr3id 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
14	13	biimpar 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
15	14	iftrued 4485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) = (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
16		en1b 9000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}})
17	16	bilani 508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}})
18		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ ℙ
19	17, 18	eqsstrrdi 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ)
20	7	uniexd 7720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V)
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V)
22		snssg 4739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V → (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ ↔ {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ ↔ {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ))
24	19, 23	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ)
25		prmuz2 16721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2))
27		eluzelre 12844	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℝ)
29		eluz2gt1 12915	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
30	26, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → 1 < ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
31	28, 30	rplogcld 26682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℝ+)
32	31	rpne0d 13036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ≠ 0)
33	15, 32	eqnetrd 3023	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0)
34	33	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
35		iffalse 4486	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1 → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) = 0)
36	35	necon1ai 2983	. . . . 5 ⊢ (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
37	36, 13	imbitrid 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
38	34, 37	impbid 214	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
39	4, 38	bitrid 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
40	3, 39	bitr4d 284	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃!wreu 3364  {crab 3413  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ifcif 4477  {csn 4579  ∪ cuni 4862   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  ωcom 7841  1_oc1o 8424   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   < clt 11210  ℕcn 12204  2c2 12266  ℤ_≥cuz 12833  ♯chash 14337   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16696  logclog 26607  Λcvma 27144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-prm 16697  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26609  df-vma 27150

This theorem is referenced by:  isppw2  27167