Theorem isppw 27447

Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isppw	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isppw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}
2	1	vmaval 27446	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0))
3	2	neeq1d 3014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
4		reuen1 9057	. . 3 ⊢ (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o)
5		hash1 14552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘1o) = 1
6	5	eqeq2i 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
7		prmdvdsfi 27440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
8		1onn 8653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
9		nnfi 9187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ Fin
11		hashen 14495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
12	7, 10, 11	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
13	6, 12	bitr3id 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
14	13	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
15	14	iftrued 4489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) = (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
16		en1b 9056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}})
17	16	bilani 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}})
18		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ ℙ
19	17, 18	eqsstrrdi 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ)
20	7	uniexd 7760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V)
22		snssg 4740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V → (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ ↔ {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ ↔ {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ))
24	19, 23	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ)
25		prmuz2 16877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2))
27		eluzelre 12980	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℝ)
29		eluz2gt1 13051	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
30	26, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → 1 < ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
31	28, 30	rplogcld 26963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℝ+)
32	31	rpne0d 13173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ≠ 0)
33	15, 32	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0)
34	33	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
35		iffalse 4490	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1 → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) = 0)
36	35	necon1ai 2982	. . . . 5 ⊢ (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
37	36, 13	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
38	34, 37	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
39	4, 38	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
40	3, 39	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃!wreu 3363  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ifcif 4481  {csn 4584  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  ωcom 7878  1_oc1o 8473   ≈ cen 8974  Fincfn 8977  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   < clt 11347  ℕcn 12339  2c2 12401  ℤ_≥cuz 12969  ♯chash 14478   ∥ cdvds 16428  ℙcprime 16852  logclog 26888  Λcvma 27425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-dvds 16429  df-prm 16853  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-log 26890  df-vma 27431

This theorem is used by:  isppw2  27448