MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isppw 27172
Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
isppw (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isppw
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}
21vmaval 27171 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0))
32neeq1d 2998 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0))
4 reuen1 9065 . . 3 (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐴 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o)
5 hash1 14440 . . . . . . . . . 10 (♯‘1o) = 1
65eqeq2i 2748 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = (♯‘1o) ↔ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1)
7 prmdvdsfi 27165 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
8 1onn 8677 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ ω
9 nnfi 9206 . . . . . . . . . . 11 (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1o ∈ Fin
11 hashen 14383 . . . . . . . . . 10 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = (♯‘1o) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o))
127, 10, 11sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = (♯‘1o) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o))
136, 12bitr3id 285 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o))
1413biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1)
1514iftrued 4539 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) = (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o)
17 en1b 9064 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} = { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}})
1816, 17sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} = { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}})
19 ssrab2 4090 . . . . . . . . . . . 12 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ⊆ ℙ
2018, 19eqsstrrdi 4051 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}} ⊆ ℙ)
217uniexd 7761 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ V)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ V)
23 snssg 4788 . . . . . . . . . . . 12 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ V → ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℙ ↔ { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}} ⊆ ℙ))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℙ ↔ { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}} ⊆ ℙ))
2520, 24mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℙ)
26 prmuz2 16730 . . . . . . . . . 10 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℙ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2))
28 eluzelre 12887 . . . . . . . . 9 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℝ)
30 eluz2gt1 12960 . . . . . . . . 9 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2) → 1 < {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → 1 < {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})
3229, 31rplogcld 26686 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℝ+)
3332rpne0d 13080 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ≠ 0)
3415, 33eqnetrd 3006 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0)
3534ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0))
36 iffalse 4540 . . . . . 6 (¬ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1 → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) = 0)
3736necon1ai 2966 . . . . 5 (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1)
3837, 13imbitrid 244 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o))
3935, 38impbid 212 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1o ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0))
404, 39bitrid 283 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐴 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0))
413, 40bitr4d 282 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  ∃!wreu 3376  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cfv 6563  ωcom 7887  1oc1o 8498  cen 8981  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cn 12264  2c2 12319  cuz 12876  chash 14366  cdvds 16287  cprime 16705  logclog 26611  Λcvma 27150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-vma 27156
This theorem is referenced by:  isppw2  27173
  Copyright terms: Public domain W3C validator