Theorem isppw 27092

Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isppw	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isppw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}
2	1	vmaval 27091	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0))
3	2	neeq1d 2992	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
4		reuen1 8975	. . 3 ⊢ (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o)
5		hash1 14339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘1o) = 1
6	5	eqeq2i 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
7		prmdvdsfi 27085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
8		1onn 8578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
9		nnfi 9104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ Fin
11		hashen 14282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
12	7, 10, 11	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = (♯‘1o) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
13	6, 12	bitr3id 285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
15	14	iftrued 4489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) = (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o)
17		en1b 8974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}})
18	16, 17	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} = {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}})
19		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ ℙ
20	18, 19	eqsstrrdi 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ)
21	7	uniexd 7697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V)
23		snssg 4742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ V → (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ ↔ {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ ↔ {∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}} ⊆ ℙ))
25	20, 24	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ)
26		prmuz2 16635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℙ → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2))
28		eluzelre 12774	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ ℝ)
30		eluz2gt1 12845	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → 1 < ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
32	29, 31	rplogcld 26606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℝ+)
33	32	rpne0d 12966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ≠ 0)
34	15, 33	eqnetrd 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0)
35	34	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
36		iffalse 4490	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1 → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) = 0)
37	36	necon1ai 2960	. . . . 5 ⊢ (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1)
38	37, 13	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o))
39	35, 38	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ≈ 1o ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
40	4, 39	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}), 0) ≠ 0))
41	3, 40	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃!wreu 3350  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ωcom 7818  1_oc1o 8400   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤ_≥cuz 12763  ♯chash 14265   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610  logclog 26531  Λcvma 27070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-prm 16611  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-vma 27076

This theorem is referenced by:  isppw2  27093