Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxfval 42327
Description: Value of the X sequence. Not used after rmxyval 42339 is proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxfval ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด Xrm ๐‘) = (1st โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem rmxfval
Dummy variables ๐‘› ๐‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7431 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
21fvoveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) = (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))
32oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))
43oveq2d 7440 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
54mpteq2dv 5252 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
65cnveqd 5880 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
76adantr 479 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
8 id 22 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ๐‘Ž = ๐ด)
98, 2oveq12d 7442 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1))) = (๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1))))
10 id 22 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
119, 10oveqan12d 7443 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›) = ((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))
127, 11fveq12d 6907 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›)) = (โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘)))
1312fveq2d 6904 . 2 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (1st โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›))) = (1st โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
14 df-rmx 42325 . 2 Xrm = (๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2), ๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (1st โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›))))
15 fvex 6913 . 2 (1st โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))) โˆˆ V
1613, 14, 15ovmpoa 7580 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด Xrm ๐‘) = (1st โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5233   ร— cxp 5678  โ—กccnv 5679  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  1st c1st 7995  2nd c2nd 7996  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149   โˆ’ cmin 11480  2c2 12303  โ„•0cn0 12508  โ„คcz 12594  โ„คโ‰ฅcuz 12858  โ†‘cexp 14064  โˆšcsqrt 15218   Xrm crmx 42323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-rmx 42325
This theorem is referenced by:  rmxyval  42339
  Copyright terms: Public domain W3C validator