Theorem ovmpoa 7422

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by NM, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpoga.1	⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpoga.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpoa.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpoa	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpoa.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpoga.1	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
3		ovmpoga.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
4	2, 3	ovmpoga 7421	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
5	1, 4	mp3an3 1449	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431  (class class class)co 7271   ∈ cmpo 7273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276

This theorem is referenced by:  1st2val  7852  2nd2val  7853  cantnffval  9399  cantnfsuc  9406  fseqenlem1  9781  xaddval  12956  xmulval  12958  fzoval  13387  expval  13782  ccatfval  14274  splcl  14463  cshfn  14501  bpolylem  15756  ruclem1  15938  sadfval  16157  sadcp1  16160  smufval  16182  smupp1  16185  eucalgval2  16284  pcval  16543  pc0  16553  vdwapval  16672  pwsval  17195  xpsfval  17275  xpsval  17279  rescval  17537  isfunc  17577  isfull  17624  isfth  17628  natfval  17660  catcisolem  17823  xpchom  17895  1stfval  17906  2ndfval  17909  yonedalem3a  17990  yonedainv  17997  plusfval  18331  ismhm  18430  mulgval  18702  eqgfval  18802  isga  18895  subgga  18904  cayleylem1  19018  sylow1lem2  19202  isslw  19211  sylow2blem1  19223  sylow3lem1  19230  sylow3lem6  19235  frgpuptinv  19375  frgpup2  19380  isrhm  19963  scafval  20140  islmhm  20287  xrsdsval  20640  ipfval  20852  dsmmval  20939  psrmulfval  21152  mplval  21195  ltbval  21242  mpfrcl  21293  evlsval  21294  evlval  21303  mhpfval  21327  matval  21556  submafval  21726  mdetfval  21733  minmar1fval  21793  txval  22713  xkoval  22736  hmeofval  22907  flffval  23138  qustgplem  23270  dscmet  23726  dscopn  23727  tngval  23793  nmofval  23876  nghmfval  23884  isnmhm  23908  htpyco1  24139  htpycc  24141  phtpycc  24152  reparphti  24158  pcoval  24172  pcohtpylem  24180  pcorevlem  24187  dyadval  24754  itg1addlem3  24860  itg1addlem4  24861  itg1addlem4OLD  24862  mbfi1fseqlem3  24880  mbfi1fseqlem4  24881  mbfi1fseqlem5  24882  mbfi1fseqlem6  24883  mdegfval  25225  quotval  25450  elqaalem2  25478  cxpval  25817  cxpcn3  25899  angval  25949  sgmval  26289  lgsval  26447  wwlksn  28198  wspthsn  28209  rusgrnumwwlklem  28331  clwwlkn  28386  2clwwlk  28707  numclwwlkovh0  28732  numclwwlkovq  28734  shsval  29670  sshjval  29708  faeval  32210  txsconnlem  33198  cvxsconn  33201  iscvm  33217  cvmliftlem5  33247  rngohomval  36118  rngoisoval  36131  prjcrvfval  40465  rmxfval  40723  rmyfval  40724  mendplusg  41008  mendvsca  41013  mnringvald  41796  addrval  42054  subrval  42055  mulvval  42056  sigarval  44334  ismgmhm  45306  dmatALTval  45710  naryfval  45943