Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmyfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmyfval 41633
Description: Value of the Y sequence. Not used after rmxyval 41644 is proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmyfval ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด Yrm ๐‘) = (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem rmyfval
Dummy variables ๐‘› ๐‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7415 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
21fvoveq1d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) = (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))
32oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))
43oveq2d 7424 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
54mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
65cnveqd 5875 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
76adantr 481 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
8 id 22 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ๐‘Ž = ๐ด)
98, 2oveq12d 7426 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1))) = (๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1))))
10 id 22 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
119, 10oveqan12d 7427 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›) = ((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))
127, 11fveq12d 6898 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›)) = (โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘)))
1312fveq2d 6895 . 2 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›))) = (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
14 df-rmy 41631 . 2 Yrm = (๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2), ๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›))))
15 fvex 6904 . 2 (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))) โˆˆ V
1613, 14, 15ovmpoa 7562 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด Yrm ๐‘) = (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โ—กccnv 5675  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„คโ‰ฅcuz 12821  โ†‘cexp 14026  โˆšcsqrt 15179   Yrm crmy 41629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rmy 41631
This theorem is referenced by:  rmxyval  41644
  Copyright terms: Public domain W3C validator