Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmyfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmyfval 41643
Description: Value of the Y sequence. Not used after rmxyval 41654 is proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmyfval ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด Yrm ๐‘) = (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem rmyfval
Dummy variables ๐‘› ๐‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
21fvoveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) = (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))
32oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))
43oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
54mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
65cnveqd 5876 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
76adantr 482 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
8 id 22 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ๐‘Ž = ๐ด)
98, 2oveq12d 7427 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1))) = (๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1))))
10 id 22 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
119, 10oveqan12d 7428 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›) = ((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))
127, 11fveq12d 6899 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›)) = (โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘)))
1312fveq2d 6896 . 2 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›))) = (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
14 df-rmy 41641 . 2 Yrm = (๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2), ๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐‘Ž + (โˆšโ€˜((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘›))))
15 fvex 6905 . 2 (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))) โˆˆ V
1613, 14, 15ovmpoa 7563 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด Yrm ๐‘) = (2nd โ€˜(โ—ก(๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜((๐ด + (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)))โ†‘๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  โ—กccnv 5676  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180   Yrm crmy 41639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-rmy 41641
This theorem is referenced by:  rmxyval  41654
  Copyright terms: Public domain W3C validator