Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecsqrtnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecsqrtnq 42387
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
rmspecsqrtnq (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12859 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21sqcld 14135 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3 ax-1cn 11191 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 subcl 11484 . . . 4 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancl 584 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
65sqrtcld 15411 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
7 eluz2nn 12893 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
87nnsqcld 14233 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
9 nnm1nn0 12538 . . . 4 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
108, 9syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
11 nnm1nn0 12538 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
127, 11syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
13 binom2sub1 14210 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) + 1))
141, 13syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) + 1))
15 2cnd 12315 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1615, 1mulcld 11259 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
173a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
182, 16, 17subsubd 11624 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1)) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) + 1))
1914, 18eqtr4d 2768 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1)))
20 1red 11240 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
21 2re 12311 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
23 eluzelre 12858 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2422, 23remulcld 11269 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
2524, 20resubcld 11667 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
268nnred 12252 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
27 eluz2gt1 12929 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐ด)
2820, 20, 23, 27, 27lt2addmuld 12487 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (1 + 1) < (2 ยท ๐ด))
29 remulcl 11218 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3021, 23, 29sylancr 585 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3120, 20, 30ltaddsubd 11839 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((1 + 1) < (2 ยท ๐ด) โ†” 1 < ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1)))
3228, 31mpbid 231 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1))
3320, 25, 26, 32ltsub2dd 11852 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1)) < ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1))
3419, 33eqbrtrd 5166 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) < ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1))
3526ltm1d 12171 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) < (๐ดโ†‘2))
36 npcan 11494 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + 1) = ๐ด)
371, 3, 36sylancl 584 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + 1) = ๐ด)
3837oveq1d 7428 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) + 1)โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
3935, 38breqtrrd 5172 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) < (((๐ด โˆ’ 1) + 1)โ†‘2))
40 nonsq 16725 . . 3 (((((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) < ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) < (((๐ด โˆ’ 1) + 1)โ†‘2))) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„š)
4110, 12, 34, 39, 40syl22anc 837 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„š)
426, 41eldifd 3952 1 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ– cdif 3938   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„•0cn0 12497  โ„คโ‰ฅcuz 12847  โ„šcq 12957  โ†‘cexp 14053  โˆšcsqrt 15207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-numer 16701  df-denom 16702
This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  42388  rmxypairf1o  42393  rmxycomplete  42399  rmxyneg  42402  rmxyadd  42403  rmxy1  42404  rmxy0  42405  jm2.22  42477
  Copyright terms: Public domain W3C validator