Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecsqrtnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecsqrtnq 40292
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
rmspecsqrtnq (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12337 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
21sqcld 13601 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 10674 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 subcl 10964 . . . 4 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancl 589 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
65sqrtcld 14888 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7 eluz2nn 12367 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
87nnsqcld 13698 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9 nnm1nn0 12018 . . . 4 ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11 nnm1nn0 12018 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
127, 11syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13 binom2sub1 13675 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
141, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
15 2cnd 11795 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
1615, 1mulcld 10740 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
173a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
182, 16, 17subsubd 11104 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
1914, 18eqtr4d 2776 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)))
20 1red 10721 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
21 2re 11791 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
23 eluzelre 12336 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
2422, 23remulcld 10750 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2524, 20resubcld 11147 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
268nnred 11732 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
27 eluz2gt1 12403 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
2820, 20, 23, 27, 27lt2addmuld 11967 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
29 remulcl 10701 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3021, 23, 29sylancr 590 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3120, 20, 30ltaddsubd 11319 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
3228, 31mpbid 235 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
3320, 25, 26, 32ltsub2dd 11332 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) < ((𝐴↑2) − 1))
3419, 33eqbrtrd 5053 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
3526ltm1d 11651 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
36 npcan 10974 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
371, 3, 36sylancl 589 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
3837oveq1d 7186 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
3935, 38breqtrrd 5059 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
40 nonsq 16200 . . 3 (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
4110, 12, 34, 39, 40syl22anc 838 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
426, 41eldifd 3855 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  cdif 3841   class class class wbr 5031  cfv 6340  (class class class)co 7171  cc 10614  cr 10615  1c1 10617   + caddc 10619   · cmul 10621   < clt 10754  cmin 10949  cn 11717  2c2 11772  0cn0 11977  cuz 12325  cq 12431  cexp 13522  csqrt 14683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-sup 8980  df-inf 8981  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-q 12432  df-rp 12474  df-fl 13254  df-mod 13330  df-seq 13462  df-exp 13523  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-dvds 15701  df-gcd 15939  df-numer 16176  df-denom 16177
This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  40293  rmxypairf1o  40297  rmxycomplete  40303  rmxyneg  40306  rmxyadd  40307  rmxy1  40308  rmxy0  40309  jm2.22  40381
  Copyright terms: Public domain W3C validator