Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecsqrtnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecsqrtnq 38080
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
rmspecsqrtnq (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 11898 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
21sqcld 13213 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 10247 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 subcl 10534 . . . 4 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancl 580 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
65sqrtcld 14463 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7 eluz2nn 11926 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
87nnsqcld 13236 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9 nnm1nn0 11581 . . . 4 ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11 nnm1nn0 11581 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
127, 11syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13 binom2sub1 13189 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
141, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
15 2cnd 11350 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
1615, 1mulcld 10314 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
173a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
182, 16, 17subsubd 10674 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
1914, 18eqtr4d 2802 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)))
20 1red 10294 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
21 2re 11346 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
23 eluzelre 11897 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
2422, 23remulcld 10324 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2524, 20resubcld 10712 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
268nnred 11291 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
27 eluz2gt1 11961 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
2820, 20, 23, 27, 27lt2addmuld 11528 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
29 remulcl 10274 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3021, 23, 29sylancr 581 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3120, 20, 30ltaddsubd 10881 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
3228, 31mpbid 223 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
3320, 25, 26, 32ltsub2dd 10894 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) < ((𝐴↑2) − 1))
3419, 33eqbrtrd 4831 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
3526ltm1d 11210 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
36 npcan 10544 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
371, 3, 36sylancl 580 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
3837oveq1d 6857 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
3935, 38breqtrrd 4837 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
40 nonsq 15748 . . 3 (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
4110, 12, 34, 39, 40syl22anc 867 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
426, 41eldifd 3743 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  cdif 3729   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cuz 11886  cq 11989  cexp 13067  csqrt 14260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-numer 15724  df-denom 15725
This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  38081  rmxypairf1o  38085  rmxycomplete  38091  rmxyneg  38094  rmxyadd  38095  rmxy1  38096  rmxy0  38097  jm2.22  38171
  Copyright terms: Public domain W3C validator