Theorem rmspecsqrtnq 40728

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecsqrtnq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 13862	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10929	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subcl 11220	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
6	5	sqrtcld 15149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7		eluz2nn 12624	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 13959	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 12274	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11		nnm1nn0 12274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13		binom2sub1 13936	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
14	1, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
15		2cnd 12051	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
16	15, 1	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	subsubd 11360	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
19	14, 18	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)))
20		1red 10976	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12047	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
23		eluzelre 12593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	22, 23	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
25	24, 20	resubcld 11403	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
26	8	nnred 11988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
27		eluz2gt1 12660	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
28	20, 20, 23, 27, 27	lt2addmuld 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
29		remulcl 10956	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	21, 23, 29	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
31	20, 20, 30	ltaddsubd 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
32	28, 31	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
33	20, 25, 26, 32	ltsub2dd 11588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) < ((𝐴↑2) − 1))
34	19, 33	eqbrtrd 5096	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
35	26	ltm1d 11907	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
36		npcan 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
37	1, 3, 36	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
38	37	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
39	35, 38	breqtrrd 5102	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
40		nonsq 16463	. . 3 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
41	10, 12, 34, 39, 40	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
42	6, 41	eldifd 3898	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ℚcq 12688  ↑cexp 13782  √csqrt 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440

This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  40729  rmxypairf1o  40733  rmxycomplete  40739  rmxyneg  40742  rmxyadd  40743  rmxy1  40744  rmxy0  40745  jm2.22  40817