Theorem rmspecsqrtnq 43355

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecsqrtnq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12794	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14100	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11090	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subcl 11386	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
6	5	sqrtcld 15396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7		eluz2nn 12832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 14200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 12472	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11		nnm1nn0 12472	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13		binom2sub1 14177	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
14	1, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
15		2cnd 12253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
16	15, 1	mulcld 11159	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	subsubd 11527	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
19	14, 18	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)))
20		1red 11139	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
23		eluzelre 12793	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	22, 23	remulcld 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
25	24, 20	resubcld 11572	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
26	8	nnred 12183	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
27		eluz2gt1 12864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
28	20, 20, 23, 27, 27	lt2addmuld 12421	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
29		remulcl 11117	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	21, 23, 29	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
31	20, 20, 30	ltaddsubd 11744	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
33	20, 25, 26, 32	ltsub2dd 11757	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) < ((𝐴↑2) − 1))
34	19, 33	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
35	26	ltm1d 12082	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
36		npcan 11396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
37	1, 3, 36	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
38	37	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
39	35, 38	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
40		nonsq 16723	. . 3 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
41	10, 12, 34, 39, 40	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
42	6, 41	eldifd 3901	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   − cmin 11371  ℕcn 12168  2c2 12230  ℕ₀cn0 12431  ℤ_≥cuz 12782  ℚcq 12892  ↑cexp 14017  √csqrt 15189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-numer 16699  df-denom 16700

This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  43356  rmxypairf1o  43360  rmxycomplete  43366  rmxyneg  43369  rmxyadd  43370  rmxy1  43371  rmxy0  43372  jm2.22  43444