Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecsqrtnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecsqrtnq 41276
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
rmspecsqrtnq (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12783 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21sqcld 14058 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3 ax-1cn 11117 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 subcl 11408 . . . 4 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancl 587 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
65sqrtcld 15331 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
7 eluz2nn 12817 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
87nnsqcld 14156 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
9 nnm1nn0 12462 . . . 4 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
108, 9syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
11 nnm1nn0 12462 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
127, 11syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
13 binom2sub1 14133 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) + 1))
141, 13syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) + 1))
15 2cnd 12239 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1615, 1mulcld 11183 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
173a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
182, 16, 17subsubd 11548 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1)) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) + 1))
1914, 18eqtr4d 2776 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1)))
20 1red 11164 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
21 2re 12235 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
23 eluzelre 12782 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2422, 23remulcld 11193 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
2524, 20resubcld 11591 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
268nnred 12176 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
27 eluz2gt1 12853 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐ด)
2820, 20, 23, 27, 27lt2addmuld 12411 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (1 + 1) < (2 ยท ๐ด))
29 remulcl 11144 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3021, 23, 29sylancr 588 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3120, 20, 30ltaddsubd 11763 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((1 + 1) < (2 ยท ๐ด) โ†” 1 < ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1)))
3228, 31mpbid 231 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1))
3320, 25, 26, 32ltsub2dd 11776 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) โˆ’ 1)) < ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1))
3419, 33eqbrtrd 5131 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) < ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1))
3526ltm1d 12095 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) < (๐ดโ†‘2))
36 npcan 11418 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + 1) = ๐ด)
371, 3, 36sylancl 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + 1) = ๐ด)
3837oveq1d 7376 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) + 1)โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
3935, 38breqtrrd 5137 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) < (((๐ด โˆ’ 1) + 1)โ†‘2))
40 nonsq 16642 . . 3 (((((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐ด โˆ’ 1)โ†‘2) < ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) < (((๐ด โˆ’ 1) + 1)โ†‘2))) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„š)
4110, 12, 34, 39, 40syl22anc 838 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„š)
426, 41eldifd 3925 1 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3911   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ„šcq 12881  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-numer 16618  df-denom 16619
This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  41277  rmxypairf1o  41282  rmxycomplete  41288  rmxyneg  41291  rmxyadd  41292  rmxy1  41293  rmxy0  41294  jm2.22  41366
  Copyright terms: Public domain W3C validator