Theorem rmspecsqrtnq 42238

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecsqrtnq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12850	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11182	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subcl 11475	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
6	5	sqrtcld 15402	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7		eluz2nn 12884	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 14224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 12529	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11		nnm1nn0 12529	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13		binom2sub1 14201	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
14	1, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
15		2cnd 12306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
16	15, 1	mulcld 11250	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	subsubd 11615	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
19	14, 18	eqtr4d 2770	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)))
20		1red 11231	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12302	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
23		eluzelre 12849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	22, 23	remulcld 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
25	24, 20	resubcld 11658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
26	8	nnred 12243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
27		eluz2gt1 12920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
28	20, 20, 23, 27, 27	lt2addmuld 12478	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
29		remulcl 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	21, 23, 29	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
31	20, 20, 30	ltaddsubd 11830	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
32	28, 31	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
33	20, 25, 26, 32	ltsub2dd 11843	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) < ((𝐴↑2) − 1))
34	19, 33	eqbrtrd 5164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
35	26	ltm1d 12162	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
36		npcan 11485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
37	1, 3, 36	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
38	37	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
39	35, 38	breqtrrd 5170	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
40		nonsq 16716	. . 3 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
41	10, 12, 34, 39, 40	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
42	6, 41	eldifd 3955	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3941   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11264   − cmin 11460  ℕcn 12228  2c2 12283  ℕ₀cn0 12488  ℤ_≥cuz 12838  ℚcq 12948  ↑cexp 14044  √csqrt 15198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-numer 16692  df-denom 16693

This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  42239  rmxypairf1o  42244  rmxycomplete  42250  rmxyneg  42253  rmxyadd  42254  rmxy1  42255  rmxy0  42256  jm2.22  42328