Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecsqrtnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecsqrtnq 40728
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
rmspecsqrtnq (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12594 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
21sqcld 13862 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 10929 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 subcl 11220 . . . 4 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
65sqrtcld 15149 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7 eluz2nn 12624 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
87nnsqcld 13959 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9 nnm1nn0 12274 . . . 4 ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11 nnm1nn0 12274 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
127, 11syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13 binom2sub1 13936 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
141, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
15 2cnd 12051 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
1615, 1mulcld 10995 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
173a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
182, 16, 17subsubd 11360 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
1914, 18eqtr4d 2781 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)))
20 1red 10976 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
21 2re 12047 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
23 eluzelre 12593 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
2422, 23remulcld 11005 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2524, 20resubcld 11403 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
268nnred 11988 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
27 eluz2gt1 12660 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
2820, 20, 23, 27, 27lt2addmuld 12223 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
29 remulcl 10956 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3021, 23, 29sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3120, 20, 30ltaddsubd 11575 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
3228, 31mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
3320, 25, 26, 32ltsub2dd 11588 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) < ((𝐴↑2) − 1))
3419, 33eqbrtrd 5096 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
3526ltm1d 11907 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
36 npcan 11230 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
371, 3, 36sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
3837oveq1d 7290 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
3935, 38breqtrrd 5102 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
40 nonsq 16463 . . 3 (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
4110, 12, 34, 39, 40syl22anc 836 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
426, 41eldifd 3898 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  cdif 3884   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cmin 11205  cn 11973  2c2 12028  0cn0 12233  cuz 12582  cq 12688  cexp 13782  csqrt 14944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440
This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  40729  rmxypairf1o  40733  rmxycomplete  40739  rmxyneg  40742  rmxyadd  40743  rmxy1  40744  rmxy0  40745  jm2.22  40817
  Copyright terms: Public domain W3C validator