Theorem rmspecsqrtnq 42896

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecsqrtnq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12869	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11192	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subcl 11486	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
6	5	sqrtcld 15461	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7		eluz2nn 12903	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 14267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 12547	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11		nnm1nn0 12547	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13		binom2sub1 14244	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
14	1, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
15		2cnd 12323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
16	15, 1	mulcld 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	subsubd 11627	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
19	14, 18	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)))
20		1red 11241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
23		eluzelre 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	22, 23	remulcld 11270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
25	24, 20	resubcld 11670	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
26	8	nnred 12260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
27		eluz2gt1 12941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
28	20, 20, 23, 27, 27	lt2addmuld 12496	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
29		remulcl 11219	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	21, 23, 29	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
31	20, 20, 30	ltaddsubd 11842	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
33	20, 25, 26, 32	ltsub2dd 11855	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) < ((𝐴↑2) − 1))
34	19, 33	eqbrtrd 5146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
35	26	ltm1d 12179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
36		npcan 11496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
37	1, 3, 36	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
38	37	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
39	35, 38	breqtrrd 5152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
40		nonsq 16783	. . 3 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
41	10, 12, 34, 39, 40	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
42	6, 41	eldifd 3942	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ℤ_≥cuz 12857  ℚcq 12969  ↑cexp 14084  √csqrt 15257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-numer 16759  df-denom 16760

This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  42897  rmxypairf1o  42902  rmxycomplete  42908  rmxyneg  42911  rmxyadd  42912  rmxy1  42913  rmxy0  42914  jm2.22  42986