Theorem sdomn2lp 9156

Description: Strict dominance has no 2-cycle loops. (Contributed by NM, 6-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sdomn2lp	⊢ ¬ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem sdomn2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 9154	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ 𝐴
2		sdomtr 9155	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝐴)
3	1, 2	mto 196	1 ⊢ ¬ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 394   class class class wbr 5155   ≺ csdm 8975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-br 5156  df-opab 5218  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979

This theorem is referenced by: (None)