Theorem sdomn2lp 9136

Description: Strict dominance has no 2-cycle loops. (Contributed by NM, 6-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sdomn2lp	⊢ ¬ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem sdomn2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 9134	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ 𝐴
2		sdomtr 9135	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝐴)
3	1, 2	mto 200	1 ⊢ ¬ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   class class class wbr 5102   ≺ csdm 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977

This theorem is used by: (None)